优化设计总结

机械优化设计总结尹佐超 20071710226 力学 0701机械优化设计是将机械工程设计问题转化为最优化问题，然后选择恰当的最优化方法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优设计方案。从中可以看到，机械优化设计包含两个部分，首先是把实际的机械设计问题用数学表达式加以描述，即转化为数学模型，然后是根据数学模型的特性，选择某种适当的优化设计方法及其程序，通过电子计算机求得最优解。这也是我们这门课的主要内容。一、数学模型的建立首先是几个概念的建立。设计变量：可做变量处理的独立参数。目标函数：在设计中能最好地反映该项设计所追求的某些特定目标的评价标准。约束条件：对设计变量的取值加以某些限制的条件。根据实际问题的各种条件，将最优化问题抽象成数学模型，标准化为：f(X)g(X)0(u，1,2,m)uh(X)，0(v，1,2,pn)v将最优化问题抽象为数学上的求最优解问题之后，求最优解就成了我们所需要解决的问题，而很多或简单或复杂的最优解问题，是很难求出准确解的，即便能够求出，也需要大量繁杂的计算，所以我们必须开发出一些方法，让计算机帮助我们解决这个问题，限于计算机的构成及设计原理，我们开发了各种是数值方法。根据数学模型的不同，主要是问题维数的不同、目标函数的不同、约束条件的不同，最优化问题主要有以下几类：1、一维搜索的最优化方法迭代基本格式：X(k+1)，X(k)+(k)S(k)目标：求(k)使 f(X(k)+(k)S(k)，minf(X(k)+(k)S(k)一维搜索寻优过程总体分为两大步骤：（1）确定函数的极小点所在的初始搜索区间方法：进退法思路：从一点出发，按一定的步长，试图确定出函数值呈现出”高低高“的三个点。一个方向不成功，就退回来沿相反方向搜索。（2）在搜索区间内搜索寻优极小点方法一：黄金分割法（0.618法）思路：通过固定的算式从初始搜索区间的端点确定出新的可能区间端点，再通过初始搜索区间端点和新的可能区间端点的函数值的比较消去这四点间形成的最小值最不可能存在于之的某个区间，从而不断缩小搜索区间，直到最小点的存在范围达到允许的误差范围为止这种方法下每次新生成的区间的长度都是上次迭代的区间的长度的 0.618 倍，属于消去法的一种。方法二：二次插值法思路：设函数在a,b内呈现“大一小一大”的单峰变化，在a,b内以低次（二次或三次）插值多项式P（x）来逼近原目标函数，求得多项式的极值点，逐步缩短搜索区间，反复计算，直到给定精度。这种方法属于曲线拟合方法的范畴。2、多变量无约束优化方法无约束最优化问题是：求 n 维设计变量 X二x,x,xt使目标函数为minf（X），而对12nX没有任何限制；如果存在X，使 mnf（X）=f（X，），则称X，为最优点，f（X，）为最优值。在工程实际中，所有设计问题几乎都是有约束的，但无约束最优化问题却是优化技术中极为重要和基本的内容，而且约束最优化问题还可以转化为无约束最优化问题来求解。多变量无约束优化方法可以分为直接法和间接法两种，其中直接法只需要计算、比较函数值来确定迭代方向和步长；间接法需要计算函数的一阶或二阶导数来确定迭代方向和步长。它们各有各的特点，直接法收敛速度慢，但不要求函数有较好的解析性质、适用范围广，在工程实际中，函数形式往往比较复杂，不易求导数，因此，直接法在工程界的重视和采用；而间接法收敛速度快。无约束最优化方法的一般过程是：（1）选择一个初始点 X，这一点越靠近局部最小点越好。（2）如已取得某设计点X仏）（k=0,1,2,;X（0）是X（k）的一个特例），并且该点还不是近尹佐超 20071710226 工程力学 0701似最小值点，则在X(k)点根据函数f(X)的性质，选择一个方向S(k),沿此方向搜索函数值应该是下降的，称S(k)为下降方向。(3)当搜索方向确定以后，由X(k)点出发，沿S(k)方向进行搜索，定出步长因子(k)，得新设计点X(k+1)，X(k)+(k)S(k)并满足 f(X(k+1)f(X(k)。具有这种性质的算法称为下降算法。(k)可以是一维搜索放啊发确定的最优步长因子，亦可用其他方法确定。(4)若新点X(k+1)满足迭代计算终止条件，则停止迭代，X(k+1)点就作为近似局部极小点X；否则，又从X(k+1)出发，返回第(2)步继续进行搜索迭代。如何产生这些搜索方向就成为各种无约束优化方法的主要特征方法一：变量轮换法基本原理：变量轮换法又称坐标轮换法，它是把一个 n维无约束最优化问题转化为依次沿相应的 n个坐标轴方向的一维最优化问题，即搜索方向S(k)是 e 方向(ii方向坐标轴的单位向量)并反复进行若干轮循环迭代来求解的直接搜索方法。以二元函数为例，搜索方向及各迭代点如右图所示效能特点：变量轮换法属于“爬山法”x的一种，虽然目标函数值步步降低，但路线曲折，收敛速度较慢，特别是随着问题的维数的1升高而下降。同时该法对目标函数有一定的要求，如果目标函数的等值线出现脊线时无效。方法二：原始共轭方向法适用范围：二次正定函数或局部可用二次正定函数逼近的函数。相关背景：二维二次正定函数有几个重要特点，一是它的等值线是同心椭圆族，且椭圆中心就是以二维二次正定函数为目标函数的极小点，二是如果对同心椭圆族的任意两个椭圆做平行方向上的切线，则切点的连线过椭圆的中心。基本思路：根据二维二次正定函数的特点，本方法的关键是寻找某两个同心椭圆的同一方向上的如图，二维情况下，由初始点 X出发，分别沿坐0A标轴方向搜索到最优点 X和 X，再沿 S方向搜123索到 X点，再从 X点开始按如图方向搜索得到33X和 X点，最终得到的 XX方向即为能得到1232最优点的搜索方向。由图可知，XX和 XX0312即为两同心椭圆的平行切线，X和 X是切点,32按前面所说的二维二次正定函数的特点，X(1)X(2)方向即为通过极小点的方向。32方法三：鲍威尔法鲍威尔法主要是解决了原始共轭方向法中 n 个共轭方向可能线性相关从而导致得不到最优方向的问题，做法是通过比较计算，优化新一环迭代计算的基本方向组，从而得到比较正确的共轭方向。方法四：梯度法搜索方向：沿函数的负梯度方向效能特点：当初始点离最优点较远时，函数值下降速度很快，但由于搜索路线曲折，收敛速度较慢。方法五：牛顿法基本思路：原目标函数f(X)用在迭代点Xk邻域展开的泰勒二次多项式(X)去近似的替代，再以(X)这个二次函数的极小点 X,乍为原目标函数的下一个迭代点 X(k,1)，这样重复迭代若干次后，使迭代点列逐步逼近原目标函数的极小点X*。搜索方向:S(k)一H(X(k)1Vf(X(k)，其中 H(X(k)为赫森矩阵。效能特点：牛顿法利用目标函数的二阶偏导数，更全面的考虑了梯度变化的趋势，从而得到更快的收敛速度。缺点也很明显，它需要目标函数有非常好的性质，一阶二阶偏导数必须存在，赫森矩阵必须正定且非奇异。它的计算也相当复杂，需要计算梯度，赫森矩阵等。方法六：变尺度法DFP法)尹佐超 20071710226 工程力学 0701基本思路：变尺度法是在牛顿法和梯度法的基础上建立起来的。它的基本思想是构造一个矩阵，将该矩阵和梯度方向的乘积作为搜索方向，这个搜索方向具有如下性质，初始点时它指向目标函数的负梯度方向，随着迭代的进行，搜索方向逐步逼近牛顿法的搜索方向，从而综合梯度法和牛顿法的优点。上面提到的矩阵当然必须避开赫森矩阵，以减小计算量。搜索方向：S（k），-A（k）f（X（k）,AX(k)AX(k)t_A(k)Ag(k)Ag(k)TA(k)AX(k)TAg(k)Ag(k)TA(k)Ag(k)效能特点：只需计算一阶偏导数，不需计算二阶偏导及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择无严格要求，收敛速度快，对于高维问题被认为是无约束极值问题最好的优化方法之一。、约束最优化方法约束最优化问题是，求维设计变量 X，x,x,x，受约束于 g（X）0（u，1,2,加）和12nuh（X），0（v，1,2,pn）,使目标函数 minf（X），f（X*）。v方法一：约束随机方向搜索法约束随机方向搜索法是解决小型约束最优化问题的一种较为流行的直接求解方法，它是典型的“瞎子爬山”式的数值迭代方法。方法二：复合形法复合形法的基本思路是在维空间的可行域中选取（通常取）个设计点作为初始复合形（多面体）的顶点，然后比较复合形各顶点目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点称为坏点，以坏点之外各点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点，一般来说此映射点的目标函数值总是小于坏点的，也就是说映射点由于坏点。这时，以映射点替代坏点与原复合形除坏点之外其余各点构成个顶点的新的复合形。如此反复迭代计算，在可行域中不断以目标函数值低的新点替代目标函数值最大的坏点，从而构成新复合形，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的各顶点与其形心非常接近，满足迭代精度要求为止。最后输出复合形各顶点中的目标函数值最小的顶点为近似最优点。这种方法对目标函数没有什么限制，而且计算直接简便，但是收敛速度不稳定。方法三：惩罚函数法惩罚函数法是将约束优化问题通过变换、转换为一系列无约束最优化问题来处理的一种间接解法，它是在原无约束最优化问题的目标函数中，引进约束影响的附加项，从而构成一个新的无约束最优化问题的目标函数，通过合理选择这些附加项，可以使这个新目标函数的无约束最优点的序列收敛到原问题的最优点。基本原理：将一个约束最优化问题minf(X)XeDRnD:g(X)0(u1,2,m)uh(X)0(v1,2,p,n)v转换成形如minp(X,r(k),r(k)minf(X)+r(k)迟121XeRnXeRn.u1的无约束最优化问题。其中(p(X,r(k),r(k)称为惩罚函数，f(X)为原目标函数，Gg(X)和12uHh(X)称为关于约束条件的泛函，它们是非负的。r(k)和 r(k)称为惩罚因子。v12每调整一次惩罚因子，都可以得到一个无约束最优化问题极值点，极值点点列的极限就是约束最优化问题的极值点。惩罚函数法又分内点法和外点法，其实这只是泛函选取的不同造成的，外点法用的泛函是 Gg(X)min0,g(X)2，内点法的是 Gg(X)-1/g(X)或 Gg(X)-lng(X)。uuuuuu它们的适用范围，惩罚因子的选择，都因各自的泛函不同而有所不同，但思路都是一样的是用惩罚函数的极值点去逼近原目标函数的极值点。、多目标函数的优化设计方法单目标函数优化问题中，任何两个设计方案都可以通过目标函数值来比较优劣，但多目标函数优化问题中任何两个解不一定能评价出优劣，这是两者的最大区别。但在解多目标函数的优化问题时，一般是把它转化为单目标函数问题来解，也就是用某单目标函数所得最优方案来作为多目标函数问题的最优方案。通常用统一目标函数法，主要目标法，协调曲线法来形成新的目标函数。5 的相关知识首先是解决数值问题的软件工具，它的运算对象是矩阵或数组，得到的结果也是矩阵，它又不单纯是数值计算工具，也能进行一定的逻辑运算，所以能通过一定的函数形式来进行复杂多样的数值问题求解。下面主要总结学过的一些命令，所学的相关问题基本都可以通过下列命令求解：求的行列式求的逆求的特征值与特征向量矩阵的分解对称正定矩阵的乔列斯基）分解求在初始点临近的极小点a求一元函数在区间内的极小点，其中是在空间编辑的一个外部函数（文件）。求多元函数在向量附近的局部极小值，其中是在空间编辑的一个外部函数（文件）。求解一般线性规划问题minCTxS.t.AxbeqeqAxbLxUbblinpro1g（C，Ab，Lbb，UAb）求解二次规划问题min2xTHx+fTxS.t.AxbeqeqAxbLxUbbquadprog（H，f，b，LAb，bU，b）A 还有很多函数就不一一列出了。三、个人心得该门课程的学习让我对机械优化问题有了一定的了解和认识，学到了一些解决优化问题的方法，初步掌握了计算机解决优化问题的软件工具的使用方法。面对性质极其复杂的函数，先贤们开发出了一整套的数值方法，为一些无法得到准确解的问题提供了一个数值解的途径。这套数值方法至今仍在不断地发展。