五年级奥数专题12观察与归纳

十二 观察与归纳(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 找规律,填得数. 22=22=124=4; 222=2222=1124=484; 2222=222222=11124=49284; 2222222222=( )2_ =_ =_.2. 图中第1格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别写着六个字母,其中与与与相对.如果将木块沿着图中方格滚动,当木块滚动到第21个格时,木块向上的面写的字母是_.3. 下面是三行按不同规律排列的,那么当=32时, +=_.2468101591317251017264. 如图所示,在左上角(第一行第一列)的位置上画上第1个点,然后按箭头方向依次画上第2,3,4,个点.那么,第1999个点在第_行第_几列.5. 有一张黑白相间的相间的方格纸,用记号(2,3)表示从上往下数第2行,从左往右数第3列的这一格(如图),那么(19,98)这一格是_色.6. 如图所示,在正六边形周围画出6个同样的正六边形(阴影部分),围成第1圈;在第1圈外面再画出12个同样的正六边形,围成第2圈;.按这个方法继续画下去,当画完第9圈时,图中共有_个与A相同的正六边形. 7. 下面是按规律列的三角形数阵: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 那么第1999行中左起第三个数是_.8. 将数1到30排成五列按下表的格式排下去,300是在_列.1234598761011121317161514181920212524232226*434445464748495042212223242526514120789102752401961211285339185431229543817161514133055373635343332315664636261605958579. 如图是一个大表的一部分,表中将自然数按从小到大的顺序排成螺旋形,在2处拐第一个弯,在3处拐第二个弯,在5处拐第三个弯,那么第18个拐弯的地方是_. 10. 一个人从中央(标有0)的位置出发,向东、向北各走1千米,再向西、向南各走2千米,再向东、向北走3千米,向西、向南各走4千米,如此继续下去.他每走1千米,就把所走的路程累计数标出(如图),当他走到距中央正东100千米处时,他共走了_千米. 4 3 2 5 0 1 东 6 7 8 9二、解答题11. 将自然数1,2,3,4按箭头所指方向顺序排列(如图),依次在2,3,5,7,10等数的位置处拐弯. (1)如果2算作第一次拐弯处,那么第45次拐弯的数是什么?(2)从1978到2010的自然数中,恰好在拐弯处的数是什么?12. 下图是一张把自然数按一定顺序排列的数表,用一个有五个空格的十字可以框出不同的五个数字,现在框出的五个数字的四个角上的数字之和是80,如果当框出的五个数字的和是500时,四个角上数字的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 13. 如图,在一张方格纸上画折线(用实线表示的部分),图中每个小方格的边长为1,从A点出发依次给每条直线段编号.(1)编号1994的直线段长是多少?(2)长度为1994的直线段的编号是多少?14. 把1到1997这1997个数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上(如图).从1开始按顺时针方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;(每隔一个数,擦去一个数)转圈擦下去,最后剩的是哪个数?十二 观察与归纳(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 先观察前面三个算式,从中找出规律,并根据找出的规律,直接在( )内填上适当的数. (1)1234567899=1111111101,(2)12345678918=2222222202,(3)12345678927=3333333303,(4)12345678972=( ),(5)12345678963=( ),(6)666666660654=( ),(7)999999990981=( ),(8)5555555505123456789=( ).2. 将下列分数约成最简分数:=_.3. 在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有_个.4. 大于1的整数加下图所示,排成8列,数1000将在第_列. 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 145. 将所有自然数如下图排列.15120这个数应在第_行第_个位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 11个数排成一列,相邻三个数之和等于20.已知第2个数是1,第13个数是9,第9个数是_.7. 一数列相邻四个数的和都是45,已知第6个数是11,第19个数是5,第44个数是24,那么第一个数是_.8. 数列1,1991,1990,1,1989,1988,1,从第三个数起,每个数是前两个数的差,这个数列中第一个零出现在第_项.9. 例6中第70个数被5除余_.10. 如下图,有一个六边形点阵,它的中心是个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,这个六边形点阵共有层,第层有_个点,这个点阵共有_个点. 二、解答题11. 现有如下一系列图形:当=1时,长方形分为2个直角三角形,总计数出5条边.当=2时,长方形分为8个直角三角形,总计数出16条边.当=3时,长方形分为18个直角三角形,总计数出33条边.按如上规律请你回答:当=100时,长方形应分为多少个直角三角形?总计数出多少条边?12. 下面的()、()、()、()为四个平面图.数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做). 顶点数边数区域数()46 3()()()观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个图有多少条边.13. 全体奇数排成下图形式,十字框子框出5个数,要使这五个数之和等于,(1) 1989; (2) 1990; (3) 2005; (4) 2035,能否办到?若能办到,请你写出十字框中的五个数. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 4714. 有一列数1,3,4,7,11,18(从第三个数开始,每个数恰好是它前面相邻两个数的和).(1)第1991个数被6除余几?(2)把以上数列按下述方法分组(1),(3,4),(7,11,18)(第组含有个数),问第1991组的各数之和被6除余数是几?答 案答 案1. 111111111,4; 12345678987654321,4; 49382715950617284.根据已知等式的观察和分析,可知算式演变规律有两种形式: 其一是等积恒变;其二是1111=121,111111=12321,.2222=222222=11124=49284;2222222222=11111111124 =123456789876543214 =49382715950617284. 2. A木块沿直线滚动4格,与原来的状态相同,所以木块到第5,9,13,21格时,与在第1格的状态相同,写的字母是A. 3. 318由数表可知A和B都是等差数列,根据等差数列的通项公式进行解答.当32时, =(32-2)+1=16;当=16时, =1+(16-1)4=61. 再由数表可知C数列的相邻两项的差值3,5,7,9,11,31组成等差数列,根据等差数列求和公式()进行解答.这15个差值的和是(3+31)15=255,则当=16时,=2+255=257.因此, =61+257=318. 4. 27,45.正长形网格内的所有格点数之和必是平方数,如22方格网中共有格点32=9(个),33方格网中共有格点42=16(个).因为1999=442+63=452-26,所以第1999个点必在第45行或第45列上.因为第452点在第1行第45列上,而1999=452-26,从第1行倒退26行,所以第1999个点在第27行第45列上. 5. 白观察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色,“行数+列数=偶数”时为黑色.而19+98为奇数,因此(19-98)这一格是白色. 6. 271提示:第几圈有6个正六边形,所以共有1+6(1+2+9)=271(个).7. 1995003第三行左起第三个数是1=1;第四行左起第三个数是3=1+2;第五行左起第三个数是6=1+2+3;第六边左起第三个数是10=1+2+3+4;归纳可知,第1999行左起第三个数是1+2+3+1997=1995003.8. D根据表中所列数据可以看出,除1以外,图中的连续自然数按8个数为一个周期如表格所示的规律排列,300=1+(378+3),余数为3,所以300是在列.23459876 9. 91观察拐弯处的数的规律,可得第个拐弯处的数:当为奇数时为 1+(1+3+5+);当为偶数时为 1+2(1+2+3+). 将=18代入,得91. 10. 39700观察右下角拐弯处的数的规律:第1个拐弯处为1=12=(21-1)2;第2个拐弯处为9=32=(22-1)2;第3个拐弯处为25=52=(23-1)2;.因此第个拐弯处的数为(2-1)2.距中央正东100千米处为他走到右下角的第100个拐点处再向北99千米处,故他共走了(2100-1)2+99=39700(千米). 11. 观察拐弯处的数的规律,可以得到个拐弯处的数,当为奇数时为 1+(1+3+5+)=()2+1;当为偶数时为 1+2(1+2+3+)=(1+)+1.(1)第45次拐弯处的数是()2+1=530.(2)试算=89时,拐弯处的数是()2+1=2026; =88时,拐弯处的数是(1+)+1=1981; =87时,拐弯处的数是()2+1=1937; 所以19782010中,恰在拐弯处的数是1981.12. 仔细观察十字框中的五个数里,中间一个是这五个数的平均值,也是其余四个数的平均值,所以中间一个数可由5005=100得到,且即得四个角上数字这和为1004=400. 13. 通过观察列出编号与长度的关系表:编号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)长度12345 从表中看出:长度为的线段编号为2-1和2. (1)编号为1994的线段长为: 19942=997. (2)长度为1994的线段有两条,编号分别为: 19942-1=3987; 19942=3988. 14. 如果依照题意在上图中进行操作,直到剩下一个数为止,实在是很困难的.我们还应从最简单的情况入手分析,归纳出解决问题的规律,再用此规律解题.如果是2个数1,2,最后剩下1;如果是3个数1,2,3,最后剩下3;如果是4个数1,2,3,4,最后剩下1;如果是5个数1,2,3,4,5,最后剩下3;如果是6个数1,2,3,4,5,6,最后剩下5;如果是1-7,7个数,最后剩下7;如果是1-8,8个数,最后剩下1.我们发现当数的个数是2,4,8时,最后剩下的都是1.实际上,当数的个数为时(),当擦完一圈后还剩个数,把问题化成个数的情况.不断作下去,最后化为2个数的情况,显然最后剩下的数为1.注意,1为起始数.由于210=1024,211=2048, 2101997211, 1997-1024=973. 这就是说,要剩210个数,需要先擦去973个数.按题意,每两个数擦去一个数,当擦第973个数时,最后擦去的数是:9732=1946.下一个起始数是1947,所以,最后剩下的数应是1947.答 案 答 案:1. 8888888808, 7777777707, 123456789, 123456789, 45. 2. 因为,即分子分母添上相同个数的6,分数值不变,所以. 3. 十位数字是1时,这样的两位数只有10这1个;十位数字是2时,这样的两位数有20,21这2个;十位数字是3时,这样的两位数有30,31,32这3个;由此可以推知:“十位上的数字是几,符合条件的两位数就有几个.”所以,符合题目条件要求的两位数,共计有:1+2+3+8+9=45. 4. 所有8的倍数均在第三列中,数1000是8的倍数,所以它在第三列中. 5. 每一行的最末一个数正好为该行行数的平方,该行开头的数是前一行最末一个数加1.由于1222151201232,15120-1222=236,故15120在第123行的236号上. 6. 14个数是每三个数的循环排列,第二个数是1,那么第8个数也是1.第13个数是9,那么第10个数也是9,所以第9个数是20-1-9=10. 7. 数列每隔4项重复出现.第2个数是11,第3个数是5,第4个数是24,那么第一个数是45-(11+5+24)=5. 8. 除开1不看,数列是 1991,1990,1989,1988,第1992个是0,再加上前面的996个1,第一个0出现在第1992+996=2988项上. 9. 写出每个数被5除的余数: 0,1,3,3,1,0,4,2,2,4,0,1,3,可见每10个余数循环一次,7010=7,第70个数被5除余为0. 10. 观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.第一层有点数:1;第二层有点数:16;第三层有点数:26;第四层有点数:36;第层有点数:(-1)6.因此,这个点阵的第层有点(-1)6个, 层共有点数为 1+16+26+36+(-1)6=1+61+2+3+(-1)=1+6=1+3(-1). 11. =1时,直角三角形212个,边数=21(1+1)+12=5; =2时,直角三角形222个,边数=22(2+1)+22=16; =3时,直角三角形232个,边数=23(3+1)+32=33;对一般的,共分为22个直角三角形,总计数出2(+1)+2条边. 所以=100时,共分为21002=20000个直角三角形,总计数出2100(100+1)+1002=30200条边. 12. (1)填表如下: 顶点数边数区域数()463()8125()694()10156(2)由该表可以看出,所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系: 4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以,我们可以推断:任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系: 顶点数+区域数-边数=1.(3)由上面所给的关系,可知所求平面图的边数. 边数=顶点数+区域数-1 =999+999-1 =1997注:本题第二问中的推断是正确的,也就是说任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系.当然,平面图有许许多多,且千变万化,然而不管怎么变化,顶点数加区域数再减边数,最后的结果永远等于1,这是不变的.因此, 顶点数+区域数-边数就称为平面图的不变量(有时也称为平面图的欧拉数以数学家欧拉的名字命名). 13. 十字框中5个数的和等于中间那个数的5倍,1989不是5的倍数,1990=5398是5的偶数倍,均不可能.20055=401,能办到的五个数是399,401,403,389,413. 20055=407,40712=3311,407在最右边一列上,故不可能. 14. 设表示数列中的等个数,=+(), =+(6)().容易列出下表: 被6除的余数 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 被6除的余数 3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3观察上表可知=(6), =(6),则=(6).就是说,数列中的数被6除所得的余数,每隔24个数重复出现. 由于1991=2482+23,因此=5(6),即数列中等1991个数被6除余数是5.按规定分组后,前1990组共有:1+2+3+1990=1981045(个)数,第1991组的各数之和为=+.据上表可知,数列中任意相邻的24个数之和被6除的余数就等于24个数分别被6除所得余数之和被6除所得的余数,即:+=(1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2)=66=0(6).由1991=2482+23得=+082(6).有+=+=0(6),1981045=2482543+13,=5(6),即被6除余数是5,故被6除所得的余数应是1.