2022年高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）

2022年高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。l.已知复数 ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案解析】D 解析：z=，复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）在第四象限故选：D【思路点拨】利用复数代数形式的除法运算化简，然后求出，得到的坐标，则答案可求【题文】2.已知集合 ，则集合中元素的个数为 A无数个 B 3 C. 4 D.5【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案解析】C 解析：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：x1或x3，即A=x|x1或x3，RA=x|1x3，集合NRA=0，1，2，3，即集合NRA中元素的个数为4个故选：C【思路点拨】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出A的补集，找出A补集与自然数集的交集即可【题文】3.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2， 那么输出的a值为 A. 4 B. 16 C 256 D.65536【知识点】程序框图L1【答案解析】C 解析：若a=2，则log3a=log324不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log344不成立，则a=42=16，若a=16，则log3a=log3164不成立，则a=162=256若a=256，则log3a=log32564成立，输出a=256，故选：C【思路点拨】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论【题文】4.设非零向量 ，满足 ，与 的夹角为 A. 60 B90 C120 D 150【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案解析】A 解析：设，非零向量，满足|=|=|，+=，ABC为等边三角形，与的夹角为60故选：A【思路点拨】设，由已知条件可得：ABC为等边三角形，即可得出答案【题文】5.已知正方形ABCD，其中顶点A、C坐标分别是 (2，0)、(2，4)，点P(x，y)在正方形内部（包括边界）上运动，则Z=2x+y的最大值是A10 B. 8 C.12 D.6【知识点】简单线性规划E5【答案解析】A 解析：作出平行四边形ABCD内的区域，由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线经过点D时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大设ABCD是平行四边形，则N（2，2），则DN=CN=2，即D（4，2），代入目标函数z=2x+y得z=24+2=10故选：A【思路点拨】利用条件先确定点C的坐标，由z=2x+y得y=2x+z，然后平移直线，利用z的几何意义确定目标函数的最大值即可【题文】6.设函数 ，且其图像相邻的两条对称轴为 ，则 A 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 B 的最小正周期为 ，且在 上为减函数 C. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数 D . 的最小正周期为 ，且在 上为减函数【知识点】两角和与差的正弦函数C5【答案解析】D 解析：f（x）=cos（x+）sin（x+）=2cos（x+）sin（x+）=2cos（x+），且f（x）的图象相邻的两条对称轴为x=0，x=，它的半周期为=0，=2，T=；当x=0时，f（x）=2cos（+）=k，kZ，=；f（x）=2cos2x，f（x）的最小正周期是，且在（0，）上是减函数故选：D【思路点拨】利用两角和的余弦公式化简函数f（x），由题意求出、的值，即可确定函数f（x）的解析式，并求出周期，判定函数f（x）的单调区间【题文】7函数 的图像为【知识点】函数的图象；指数函数的图像与性质B7【答案解析】D 解析：由题设条件，当x1时，f（x）=（x）=当x1时，f（x）=（x）=（x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【思路点拨】观察题设中的函数表达式，应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象【题文】8.下列命题正确的个数是命题“ ”的否定是“ ”：函数 的最小正周期为“ ”是“a=1”的必要不充分条件； 在 上恒成立 在 上恒成立；“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ” A1 B. 2 C. 3 D4【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案解析】B 解析：（1）根据特称命题的否定是全称命题，（1）正确；（2）f（x）=cos2axsin2ax=cos2ax，最小正周期是=a=1，（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x2x在x1，2上恒成立，而（x2+2x）min=32xmax=4，（3）不正确；（4），当=时，0（4）错误正确的命题是（1）（2）故选：B【思路点拨】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确【题文】 9.设双曲线 ，离心率 ，右焦点。方程 的两个实数根分别为 ，则点与圆的位置关系 A在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定【知识点】双曲线的简单性质H6【答案解析】A 解析：由圆的方程x2+y2=8得到圆心O坐标为（0，0），圆的半径r=2，又双曲线的离心率为e=，即c=a，则c2=2a2=a2+b2，即a2=b2，又a0，b0，得到a=b，因为方程ax2bxc=0的两个实根分别为x1和x2，所以x1+x2=，x1x2=，则|OP|=r=2，所以点P在圆x2+y2=8内故选：C【思路点拨】由已知圆的方程找出圆心坐标与圆的半径r，然后根据双曲线的离心率公式找出c与a的关系，根据双曲线的平方关系，把c与a的关系代入即可得到a等于b，然后根据韦达定理表示出两根之和和两根之积，利用两点间的距离公式表示出点P与圆心的距离，把a，b及c的关系代入即可求出值，与圆的半径比较大小即可判断出点与圆的位置关系【题文】10.点A，B，C，D在同一个球面上, ，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积最大值为 A B C. D2【知识点】球的体积和表面积G8【答案解析】C 解析：根据题意知，ABC是一个直角三角形，其面积为1其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的表面积为，球的半径为r，r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积SABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2四面体ABCD体积的最大值为SABCh=，故选：C【思路点拨】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【题文】11.已知 ABC外接圆O的半径为1，且 ，从圆O内随机取一个点M，若点M取自ABC内的概率恰为 ，则ABC的形状为 A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形【知识点】几何概型K3【答案解析】B 解析：=，圆的半径为1，cosAOB=又0AOB，故AOB=，又AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自ABC内的概率为，即=，S，设BC=a，AC=bC=，得ab=3，由AB2=a2+b22abcosC=3，得a2+b2ab=3，a2+b2=6联立解得a=b=ABC为等边三角形故选：B【思路点拨】根据向量的数量积求得AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论【题文】12.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【知识点】函数零点的判定定理. B9【答案解析】D 解析：因为对任意的x（1，+）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x（1，2时，f（x）=2x所以f（x）=x+2b，x（b，2b由题意得f（x）=k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为 故选C【思路点拨】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=x+2b，x（b，2b，又因为f（x）=k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 第卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置。【题文】13.设a为实数，函数 的导函数为，且 是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是_【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案解析】 解析：f（x）=3x2+2ax+（a3），因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（x）恒成立，即3（x）22ax+（a3）=3x2+2ax+（a3）恒成立，所以a=0，所以f（x）=3x23，所以f（0）=3，所以曲线y=f（x）在原点处的切线方程是y=3x，即3x+y=0故答案：3x+y=0【思路点拨】先利用偶函数的定义求出a的值，再求出函数f（x）在x=0时的导数，即切线的斜率即可写出切线方程【题文】14.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案解析】 解析：由三视图知：几何体是圆柱与球体的组合体，圆柱的高为1，圆柱底面圆的半径与球的半径都为1，几何体的体积V=121+13=故答案为：【思路点拨】 几何体是圆柱与球体的组合体，根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径，判断球的半径，把数据代入圆柱与球的体积公式计算【题文】15.若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则= .【知识点】数列递推式D1【答案解析】45 解析：对任意的正整数k，该数列中恰有2k1个k，数列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，设axx在第n+1组中，则1+3+5+（2n1）=n2xx，解得：n45axx在第45组中，故axx=45,故答案为：45【思路点拨】由对任意的正整数k，该数列中恰有2k1个k，可知数列为：1，2，2，2，3，3，3，3，3，假设axx在第n+1组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式n2xx，得到n值后加1得答案【题文】16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知 是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当 ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是_。【知识点】椭圆的简单性质H5【答案解析】 解析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n22mncos60，即4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a2，m=a1+a2，n=a1a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a224c2+a12=0，a1=3a2，e1e2=即,故答案为【思路点拨】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a1，由此能求出结果三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）“等比数列 中，且 是 和的等差中项，若 (1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求数列的前n项和【知识点】数列的求和；等比数列的性质D3 D4【答案解析】（1）（2） 解析：（1）由解得： （6分）（2）（8分）（12分）【思路点拨】（1）求数列an的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求（2）确定数列cn的通项，分组求和即可【题文】18.（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.【知识点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图优K2 I2【答案解析】（）（）（） 解析：（）分数在70，80）内的频率为1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）10=0.3，小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：2分 （）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030x=0.5x=，数据的中位数为70+=，6分 （）第1组：人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组：人（设为A，B，C） 共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为12分【思路点拨】（I）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在70，80）内的频率，再根据小矩形的高=求得小矩形的高，补全频率分布直方图；（II）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；（III）利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数，再计算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数，代入古典概型概率公式计算【题文】19（本小题满分12分） 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD，BF=3，G积H分别是CE和CF的中点、 (1)求证：AF/平面BDGH: (2)求【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G4 G8【答案解析】（1）见解析（2） 1 解析：（1） 证明：设，连接，在中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面. （6分） （2）解：因为四边形是正方形，所以. 又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面. 得 平面（8分） 则H到平面的距离为CO的一半 又因为，三角形的面积，所以（12分）【思路点拨】（1）设ACBD=O，连接OH，证明OHAF，即可证明AF平面BDGH；（2）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直，可得H到平面BDEF的距离为CO的一半，再利用等体积转换，即可得出结论【题文】20.（本小题满分12分）平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连级的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点 直线 交曲线E于M，N两点-(1)求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值； (2)若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程H8【答案解析】（1）（2） 16 解析：（1）设动点P坐标为，当时，由条件得：，化简得曲线E的方程为，,4分（说明：不写的扣1分）由题可设直线的方程为,联立方程组可得 ,化简得: 设,则，（6分） 又,则 , 所以,所以的大小为定值 （8分） ()令设在上单调递减.由，得K=0，此时有最大值16（12分）【思路点拨】（1）设动点P坐标为（x，y），当x2时，由条件得曲线E的方程为，设直线MN的方程为x=ky，联立，由此韦达定理得到=0，从而证明MAN的大小为定值90（）S=|AB|y1y2|=8令k2+4=t，（t4），得S=8，设f（t）=，利用导数性质能求出由t=4，得k=0，此时S有最大值16【题文】21.（本小题满分12分） 已知函数 的定义域是 ， 是 的导函数，且 在上恒成立(1)求函数 的单调区间。(2)若函数，求实数a的取值范围(3)设 是 的零点，求证： 【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算B12【答案解析】（1）的单增区间是，无单减区间（2）（3）见解析 解析：（1） 因为在上恒成立所以在上恒成立，所以的单增区间是，无单减区间（3分）（2） ， 因为在上恒成立所以在上恒成立即在上恒成立（4分）设 则令得 ，当时，；当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.（8分）（3）因为是的零点，所以 由（1）知，在上单调递增，所以当时，即所以当时，因为，所以，且即所以所以（12分）【思路点拨】（1）对F（x）求导，根据条件便能判断导数的符号，从而找到它的单调区间（2）求a的取值范围，所以想着找到关于a的不等式，并且使不等式一边是a，另一边是其它量将f（x）带入xf（x）f（x）0中，便能得到，只要让a大于的最大值即可，所以转而求该函数的最大值（3）看到要证的不等式，应该想到利用F（x）的单调性，由m+nm，m+nn，便可出现f（m+n），f（m），f（n），然后想办法出现，从而得出证明【题文】【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为m，的长为n，AD,的长是关于的方程的两个根。（）证明：，四点共圆；（）若，且，求，所在圆的半径。【知识点】圆周角定理；与圆有关的比例线段N1【答案解析】（）见解析（）5 解析：（）连结DE,根据题意在ADE和ACB中，ADAB=mn=AEAC即,又DAE=CAB,从而ADEACB因此ADE=ACB,所以C,B,D,E四点共圆。（）m=4,n=6,方程的两根为2,12.即AD=2，AB=12取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于A=900故GHAB,HFAC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为5.【思路点拨】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小【题文】23（本小题满分10分）选修4.4坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位 已知直线 的参数方程为 （t为参数，），曲线C的极坐标方程为 (1)求曲线C的直角坐标方程。 (2)设直线 与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求 的最小值【知识点】简单曲线的极坐标方程菁优N3【答案解析】（1）（2） 当时,|AB|的最小值为4 解析：（1）由,得 所以曲线C的直角坐标方程为（4分） （2）将直线l的参数方程代入,得 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则 t1+t2=,t1t2=, |AB|=|t1-t2|=, 当时,|AB|的最小值为4 （10分） 【思路点拨】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出【题文】24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是 (1)求a的值; (2)若存在实数解，求实数的取值范围。【知识点】绝对值不等式的解法N4【答案解析】（1）（2） 解析：由得：即当时，原不等式的解集是，无解；当时，原不等式的解集是，得（5分）（2）由题：因为存在实数解，只需大于的最小值由绝对值的几何意义，所以解得：（10分）【思路点拨】（1）由|ax+1|3得：4ax2；分a0与a0讨论，结合已知原不等式的解集是x|1x2，即可求得a的值；（2）易求g（x）=|x|+|x+，依题意，g（x）|k|存在实数解，只需|k|大于g（x）的最小值，而g（x）=|x|+|x+，|x（x+）|=1，从而去解不等式|k|1即可