傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 傅里叶变换（Transform配de Fourier ）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计 学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理 中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者 它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续 傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是： 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来 的信号，将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信 号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。 傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是 一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就 能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应 的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单， 只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰 好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表 示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系 吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用 无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个 条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白 了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数 字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的 基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中 振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅 大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。拉普拉斯变换（Laplace Transform），是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函 数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数 域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换 的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程 来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普 拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、 分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置 （见控制系统校正方法）提供了可能性。拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微 分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一 个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应 用。一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数/ ）满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存 在一对傅里叶变换。即F j Lb f （t2-jQdt一s（正变换）（5. 1）f C）= js F（jjQd2兀-s（反变换）（5.2）但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号UC）,斜变信号 tu （t ），单边正弦信号sin tu ）等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅 里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号eau （）（a ）等，则根本就不存在傅里叶变 换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从-s到s区间的广义积分。求这个积分往往是十 分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零 输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究 线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号f ）总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f ）接入系统的时刻 作为t = 0的时刻（称为起始时刻），那么，在tvo的时间内即有f ）=0。我们把具有起始时 刻的信号称为因果信号。这样，式（5-1）即可改写为(5-3)式（5-3沖的积分下限取为0,是考虑到在t = 0的时刻f（t）中有可能包含有冲激函数5（t）。但要注意，式；5-2）中积分的上下限仍然不变（因积分变量是），不过此时要在公式后面标以t0,意即只有在t0时f Q才有定义，即f C)= js F(jIjQdt0(5-4a)2兀 一s或用单位阶跃函数U 加以限制而写成下式，即丄 js F(jdjQd UC)(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数f （t）不满足绝对可积条件时，可采取给f （t）乘以因子e -ct（a为任意实常数）的办法，这样即得到一个新的时间函数f -ct。今若能根据函数f ）的具体性质，恰当地选取的值，从而使当t TS时，函数f （t）e-Ct T 0，即满足条件则函数 w-ct即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子七 起着使函数f ）收敛的作用，故称e七为收敛因子。设函数f（t丄-ct满足狄里赫利条件且绝对可积（这可通过恰当地选取。的值来达到），则根据式(5-3)有F (j )f (t 1 Gte - jtdt =-G+j)t dt0-0-在上式中，沖是以(7 +)的形式出现的。令s =c +s 为一复数变量，称为复频1率。c的单位为s ,的单位为rad/s。这样，上式即变为F C)=_Tf ( -stdt0-由于上式中的积分变量为t,故积分结果必为复变量s的函数，故应将F(j)改写为F(s),即F(S 匚 o：f(t 丄(5-5)复变量函数F (s)称为时间函数f )的单边拉普拉斯变换。F (s)称为f )的像函数,为 F s 的原函数。一般记为F (s )= L【f (t)符号L-1 口为一算子，表示对括号内的时间函数f ()进行拉普拉斯变换。 利用式(5-4)可推导出求F ()反变换的公式，即f (t )e -对上式等号两边同乘以eot，并考虑到eot不是的函数而可置于积分号内。于是得f C)=丄 Js F(sotejo、td =卜 F(s)eG+Td =卜 F(sLtd2兀-s2兀-s由于式(5-6)中被积函数是F()，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变2兀-s(5-6)量代换。因s=o+ j写成丄俨jsF(sIds U2兀 j G js(t)(5-7b)故ds = dG+)= jda (因b为任意实常数)故且当时，s =G js ；当时，s =G+ js。将以上这些关系代入式(5-6)即f C)=丄广+何 F (s ktds(5-7a)2 兀j Gjst 0式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数F(s)求与之对应的原函数f(t)。一般记为fl-1 f (s)符号厶1 也为一算子，表示对括号内的像函数F (s)进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为f C)o F (s)或 F (s) o f (t)若f (t)不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(s)，即F(s)=fs f(tLtdts(5-8式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要 讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即f(t)O卩(j)而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，o F(s)三、复频率平面以复频率s =+j3的实部和虚部J为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：j轴以左的区域为左半开平面；妙轴以右的区域为右半开平面；妙轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数f )乘以收敛因子e y 后,所得新的时间函数f 丄9便有可能 满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f )的性质与值的相对关系而定。下面 就来说明这个问题。因f (s)J f (t:e -st dt 二 J f ( 2 -t e - jadt0-0-t-L)lim f (t )e -t = 0由此式可见，欲使FV7存在，则必须使-t满足条件t ”收敛域A面平5收敛坐标o左半开 平面右半开平面25-5-1图o的值由函数N的性质确定。根据0式(5-9)中的 o值指出了函数f )ey的收敛条件。的值，可将s平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。通过0点的垂直于轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，b0称为收敛坐标。收敛轴以右的区域（不包括收敛轴在内）即为收敛域，收敛轴以左的区域（包括收敛轴在内）则为非收敛域。可见/ Q或F ）的收敛域就是在s平面上能使式（5-9）满足的b的取值范围，意即b只有在收敛域内取值，/0（）的拉普拉斯变换 2 才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域（即 s 域）中的推广，因而也具有与傅里叶变换 的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这 些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1 中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课 中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。表 5-1 拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称f (C)F (s )1唯一性f (t)F C )2齐次性Af ()AF C )3叠加性f Q+ f (t)丿1 丿2F C)+ F C)1 24线性Af C)+ Af (t)1 1 2 2AFC)+ A F C)1 1 2 25尺度性f (at)， a 0丄 F (- a I a丿6时移性f( -1(t -1) t o0 0， 0F (s )e -10s7时域微分f (t )e - atF (s + a )8复频微广(t)sF (s)- f (0 -)积分f(t)s2F(s)f (0-)- f r(0-)f(n)(t)SnF (s )- sn-1 f 6 -)- sn - 2 f-)- f n-1 -)9复频移性f C)(-J dF ( )dstf (n) C)(-ddnF c) dsn10时域积分Jt f G)dT0 -F C )s11复频域积分f C)t严F C )s12时域卷积f C)* f C)丿1丿2F (s )F (s )1 213复频域卷积f C)f2 C)F (s)* F (s)2n 1214初值定理f (t)cos O t0-Ef(s + jo )+ F(s - jo )2 0 0f v 丿sin o t0f(s - jo )- F(s + jo )2 0 015终值定理f (0+)= lim f(t)= lim sF (s )t t0 +t s16调制定理f d lim f C)= lim sF (s )t fgt T 0利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数 f t U t 的拉()普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数F 丿或原函数表 5-2 拉普拉斯变换表序号f ()7 (t)F C )1a (/)1s 210sin & t11cos t+ a2 + 2S 2216S2 一217181 esT12n!2 + 219 f (t-nT)n=0F (s) 01 一 e-st20兰 U(t - nT) - U(t - nT -t )Tt n=0(e-sT)s e-sT 丿七、拉普拉斯反变换从已知的像函数F)求与之对应的原函数f),称为拉普拉斯反变换。通常有两种方1部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数FC)通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦即是s的一个有理分式，即Ns)bF bs+bFs 丿= ()mm=11 0n-1Ds丿 sn + a sn-iffas+a1 0(5-10)式中，a 0, a1,，an-1和b 1, b2，bm等均为实系数；m和n均为正整数。故可将 像函数卩(s)展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f I(欲将F 丿展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当m n时，应先用除N (s)法将F(s)表示成一个s的多项式与一个余式D(s)之和，即N (s )op) 这样余式 D s 已为一真分式。对应()N (s)N (s)F Vs 丿=Bs m - n + f B s + B Hor D Is 丿m - n10 D & 丿，于多项式Q(sL Bm-nsm-n + B1s + B0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激F (s )=函数本身。所以，在下面的分析中，均按D(s )已是真分式的情况讨论。分两种情况研究：(1)分母多项式D(s)= sn + an-1sn-1 + ais + a = 0的根为n个单根 P1 p2Ppn。由于D(s)= 0时即有F(s)2，故称D(s)= 0的根pi (i=1,2,n)为 F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分 式。即( ) N (s)b sm Hb sm-1 HHbs HbF(s)=亦=(s - P )C - P1) (s - p ) (s - p )=12inKKKK1 + 2+ +i + +ns-p s-ps-ps-p12in(5-11)式中，Ki (i=1,2,n)为待定常数。可见，只要将待定常数Ki求出，则F(s)的原函数f )即可通过查表5-2中序号6的公式而f C)= K epjt + K ep2t + + K ept + + K epnt = K eptUC)求得为12inii=1待定常数K1按下式求得，即N (s )() Ki =亦(s - Pi 丿s=pi(5-12)现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以- Pi)，即有F (s )C - pL 厶 i s 一 p1)K一 p 丿 +2i s 一 p2、Kp 丿 + + K + + niis 一 pniF (s )(s - p )1 s = pj=0 + 0 + + K + + 0i由于此式为恒等式，故可取pi代入之，并考虑到/丰p2 p2丰pipn工0这是2兀j根据式（5-7）知，拉普拉斯反变换式为J b一严个复变函数的线积分，其积分路径是s平面内平行于J轴的b = C1 b0的直线AB（亦即直 线AB必须在收敛轴以右），如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论 知，可将求此线积分的问题，转化为求F（s）的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的 代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回线确定的原则是：必须把F（s）的 全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线AB与 直线AB左侧半径R = 8的圆cr所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算, 就转化为求被积函数F（s ）est在F（s）的全部极点上留数的代数和，即f(t)=卜jF(sstds = J F(sstds + 2吋AB=JF(s)estds =Resp J2兀j AB+ClRl =1J F (s stds2吋CrJ F(s)e st ds = f (t )= JG+冋 F (s 2 stds式中 ABa-jsJF(s)estds = 0CR川=1，2,、为F(s)的极点，亦即D(s )= 0的根;Res pi 为极点 pi 的留数。以下分两种情况介绍留数的具体求法。(1)若 为DC)二0的单根即为F)的一阶极点,则其留数为Re sp L F(s)est (s - p、llls=pl(5-23)(2)若Pi为D0= 0的m阶重根即为F)的m阶极点,则其留数为p J1、,i(m -1) ds m -1d m-1st- p 、mis=pi(5-24)将式(5-23)，式(5-24)分别与式(5-12)，式(5-19)相比较，可看出部分分式的系数与留数的差别， 部分分式法与留数法的差别。它们在形式上有差别，但在本质上是一致的。与部分分式相比，留数法的优点是:不仅能处理有理函数，也能处理无理函数;若卩C) 有重阶极点，此时用留数法求拉普拉斯反变换要略为简便些(见例 5-10)。图 5-4