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第二章,拉伸、压缩与剪切,2-1 轴向拉压的概念,曲柄连杆机构,P,特点：,连杆为直杆,外力大小相等方向相反沿杆轴线,杆的变形为轴向伸长或缩短,以轴向伸长或轴向缩短为主要特征的变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。,以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件称为拉（压）杆.,a) 受力特征: 构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合力的作用线沿杆件轴线.,b) 变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短.,讨论: 下图中哪些是轴向拉伸杆?,FN 称为 轴力-内力的合力作用线总是与杆件的轴线重合, 通常记为FN.( 或N).,2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,杆件拉伸时, FN 为正拉力（方向从横截面指向外）;,轴力FN的正负规定:,FN :,F,F,F,FN,F,FN,杆件压缩时, FN 为负压力（方向指向横截面 ）.,轴力FN的正负规定:,FN :,F,F,F,FN,F,FN,轴力图 用坐标 (x,FN) 来表示轴力沿杆件轴线的变化情况. x 表示横截面的位置. FN 表示轴力的大小. 于是可以得到轴力图。,FN图,F,FN图,F,在应用截面法时，外力不能自由移动。 例如:,注意：,等价吗?,我们的研究对象是变形体.,举例：,例2-1 画出如下所示杆件的轴力图.,步骤 1 : 计算约束反力.,解：,A,B,C,D,E,20kN,40kN,55kN,25kN,600,300,500,400,1800,假设内力为正.,截面 1-1：,截面 2-2：,步骤2 : 使用截面法计算选定截面上的轴力.,截面 3-3：,选择右半部分更易于分析。,截面 4-4 ：,步骤3: 画出杆件的轴力图.,20,10,5,FN (kN),50,从轴力图我们发现,问题：,轴向拉压杆横截面上的应力,1）横截面内各点处产生何种应力？,2）应力的分布规律？,3）应力的数值？,杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形,所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律,我们可以做一个实验,P,P,P,P,杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。,变形后原来的矩形网格仍为矩形。,对于轴向载荷情况，所有横截面变形后仍保持为平面并相互平行，且垂直于轴线.,平面假设,因此，所有纵向纤维的变形相等，根据均匀性假设，各纵向纤维受力相等。正应力均匀分布于横截面上.,推论:,1. 均质直杆受轴向载荷作用不产生剪切变形，因此横截面上没有剪应力.,2. 任意两个横截面之间纵线的伸长（或缩短）都是相同的.,=常量,=常量,因此正应力计算公式为,轴力与应力的关系,理论计算:,公式的限制条件:, 上述计算正应力的公式对横截面的形式没有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如果在轴向载荷作用时不能满足平面假设，则公式将不再有效., 试验和计算表明，该公式不能描述载荷作用点附近截面上的应力情况，因为这些区域的应力变化比较复杂，截面变形较大.,公式限制条件:,该公式不能描述载荷作用点附近的应力情况.,圣维南原理,力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响.,例2-2 计算阶梯状方形柱体的最大工作应力，已知载荷F =50 kN。,解: 柱段I上横截面的正应力为,(压力),150kN,50kN,柱段II上 横截面的正应力为,(压力),因此最大工作应力为,圆柱是怎样断裂的？,为什么圆柱会断裂？,2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,根据平衡方程计算内力,在斜截面上应力是如何分布的？,变形假设: 变形后，原先平行的两个斜面仍保持为平面并相互平行.,推论: 两个平行斜面之间的全部径向直线具有相同的轴向变形.,也就是说，斜面上各点的合应力相同.,这里 s0 是横截面( )上的正应力.,通常将斜截面上的应力分解为正应力和剪应力.,某点处各个方向上的应力称为该点的应力状态.,对于轴向受拉或者受压杆件，其在某一点的应力状态可以由横截面上的正应力确定，称为单向应力状态.,讨论:,(1),(2),(横截面),(纵截面),(横截面),(纵截面),例2-3 图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺寸为40mm10mm，载荷F50kN。试求斜截面m-m上的正应力和切应力。,F,F,m,m,40,解:,直杆所受的轴力为,横截面面积为,则正应力为,斜截面的方位角为,斜截面上的正应力和切应力分别为,(压力),材料的力学性能,材料的力学性能取决于,内部结构,外部环境,材料的力学性能通常由常温静载试验（室温、缓慢平稳加载）获得.,2-4 材料拉伸时的力学性能,材料受力时，在强度和变形方面表现出来的性质.,拉伸试验,拉伸试验试样,圆柱形试样,或,方柱形试样,或,国家标准-GB,标准试样：,电子万能试验机,液压式万能试验机,拉伸图,4个阶段:,弹性阶段,屈服阶段,硬化阶段,局部变形阶段,应力-应变曲线图,这里,A 横截面原始面积. 名义应力,l 试验段原长 名义应变,1 低碳钢拉伸时的力学性能,.弹性阶段OB,在此区段，变形是弹性的.,E 直线 OA的斜率,比例极限 p 点 A,弹性极限 e 点B,OA 段称为线性段,. 屈服阶段,在此阶段，应力几乎不变，而变形却急剧增长,在试件的磨光表面上，可以看到与轴线大致成45 的斜纹 滑移线,屈服极限 段内应力 最低值,屈服现象,. 硬化阶段,在此阶段，材料又增强了抵抗变形的能力.,强度极限 b 最高点 G 对应的应力值 ，材料所能承受的最大正应力,要使材料应变增大必须增加应力，这种现象称为材料的应变硬化.,.局部变形阶段,试件的某一局部范围内，横截面显著缩小缩颈现象, 直至断裂.,a. 伸长率,l 试验段原长; l1 断裂时的试验段长度.,b. 断面收缩率,A1 断裂时断口的横截面面积.,A 横截面的原面积 .,低碳钢Q235的力学性能指标,塑性指标,弹性指标 :,通常如果 , 该材料称为塑性材料;,如果 , 称为脆性材料.,强度指标 :,胡克定律 :,卸载定律及冷作硬化,在此阶段卸载, s-e 曲线是一条直线.,如果立即重新加载，则s-e 曲线首先沿卸载曲线线性变化，然后沿原曲线变化。,ee_ 弹性应变,ep 残余应变 (塑性),冷作硬化由于预加塑性变形，而使材料的比例极限或弹性极限提高的现象.,e或p,ep,2 其他塑性材料拉伸时的力学性能,锰钢没有屈服和缩颈阶段.,硬铝和退火球墨铸铁没有明显的屈服阶段.,总的来说, 对于以上材料:,5%, 属于塑性材料.,对于没有屈服阶段的塑性材料，可以将sp0.2作为名义屈服极限，称为条件屈服应力或屈服强度.,sp0.2,卸载后产生 ep=0.2%塑性应变所对应的应力值,0.002残余应变,铸铁拉伸时的s e 曲线,1. 变形始终很小，延伸率小。 2. 没有屈服、硬化、颈缩阶段，只有强度极限s b (拉断时的最大应力)。其值远低于低碳钢。 3. 无明显直线阶段。,典型脆性材料,3 铸铁拉伸时的力学性能,铸铁试件轴向拉伸时的断裂截面,压缩试件,短的圆截面柱体,短的正方形截面柱体, 2.5 材料在压缩时的力学性能,标准试件：,a.低碳钢压缩时的-曲线,特点： 1)压缩时的屈服应力ss 和弹性模量E 与拉伸时基本相同. 2) 具有较好延展性，压缩时无断裂发生.,特点： 1) 压缩时，其强度极限sb 和延伸率 d 远高于拉伸时的强度极限和延伸率, 因此铸铁适合于作为抗压构件; 2) 其s e 曲线仅在较低应力水平上接近虎克定律; 3) 破坏断面的法线与轴线大致成45的夹角 .,b.铸铁压缩时的-曲线,破坏,断裂,塑性变形,对于塑性材料，极限应力为,对于脆性材料，极限应力为,当材料发生屈服或者断裂致使构件丧失正常工作能力的现象称为强度失效。,2-7 失效、安全系数和强度计算,使材料产生强度失效的应力称为极限应力 。,或,许用应力:,n安全因数，实际强度与必需强度的比值。,调节经济性与安全性之间的矛盾。,拉压杆的强度条件：,或,强度分析的三类问题,(1) 强度校核,(2) 选择截面尺寸,(3) 确定许可载荷,杆内的最大应力 不得超过材料的许用应力。,工程上， 是允许的。,例2-4 三角形屋顶如图所示，已知：均布载荷密度q=4.2kN/m, AB杆许用应力 s = 170MPa .（1）若AB杆直径d =16mm,请校核该杆的安全性.（2）确定AB的最小直径.,A,C,B,1.42m,8.5m,9.3m,0.4m,q,解:,1. 计算支座反力.,由结构的平衡及对称性,由分离体受力图, 可得,2. 计算杆件轴力.,3. 计算杆件应力并校核强度.,可见杆件满足强度要求.,4. 确定AB杆的最小直径.,（取14.1mm）,AB杆的最小直径为14.1mm。,例2-5 两杆桁架如图所示. 杆件AB 由两个10号工字钢杆构成, 杆 AC 由两个截面为80mm80mm 7mm 的等边角钢构成. 所有杆件材料均为钢 Q235，s =170MPa. 试确定结构的许用载荷 F .,(1) 由节点A的平衡条件,解:,可得,A,(2) 从型钢表查得两杆件截面面积为,(3) 根据强度条件，计算杆件的许用轴力:,AC,AB,AC,AB,(4) 杆件的许用载荷为,绝对变形,正应变,相对变形,长度变化的测量,单位长度上的变形; 无量纲量,2-8 轴向拉压杆的变形,载荷和变形之间的线性关系 .,胡克定律,当 p,=E (a),因为,带入 (a), 可得,(b),上述关系式(a)和(b)称为胡克定律.,E 弹性模量; 具有与应力相同的量纲 ( ) , 单位 Pa.,胡克定律在拉（压）杆上的应用,EA 杆件的轴向抗拉（或抗压）刚度。,=E,区别,胡克定律在任意单向应力状态下的应用,FN、A或E分段变化：,FN或A沿轴线连续变化 :,横向变形,绝对变形,横向正应变,或,m - 泊松比,泊松比,在线弹性范围内，杆件上任一点的横向正应变与该点的纵向正应变成正比，但符号相反.,低碳钢 (Q235) 弹性常数:,例2-6 台阶形杆件受载如图所示，已知AB和BC段的截面面积为 A1=400mm2、A2=250mm2. 材料的弹性模量为 E=210GPa。试计算AB段、BC段和整个杆件的伸长量；并计算截面C相对于截面B的位移以及截面C的绝对位移.,解:,由平衡方程计算各截面上的轴力,因此,杆件AC的总伸长量,截面C相对于截面B的位移,截面C的绝对位移,变形能固体在外力作用下，因变形而储存的能量.,单位:,变形能的计算:,由能量守恒定律，可得,J,弹性体的功能原理,2-9 轴向拉压杆的变形能,杆件轴向拉伸或压缩时的弹性变形能的计算,载荷所作的功为 :,变形能:,应变能密度,单位:,材料单位体积内储存的变形能,因为轴向拉压杆件的变形能在全部体积内均匀分布，因此它的能密度可以写成下面的形式：,F,l1,l,F,例2-7 计算图示杆件的变形能.,解:,例2-8 计算图示杆件的变形能，并根据功能原理计算节点A的位移A. 已知 P =10 kN, 杆长 l =2m，杆的直径 d =25mm, =30, 弹性模量 E =210GPa.,解静不定问题的一般内容,建立并解,平衡方程,变形协调方程,力位移关系方程,2-10 拉压超静定问题,例2-9 如图所示静不定杆件，已知截面积A和弹性模量E，求两端的约束力FA和FB.,解:,步骤1,去除约束，代之以约束力FA 和FB,步骤2,建立平衡方程,步骤3,建立变形协调方程,L,F,a,b,A,B,C,平衡方程,变形协调方程,步骤4,找出力位移之间的关系，并将其带入变形协调方程,步骤5,联立求解方程 (a) 和 (b)，得到结果,讨论:,1. 如果 a=L/3 、b=2L/3,那么FA=2F/3 、 FB =F/3,2. 已知FA和FB,可画出轴力图.,+2F/3,-F/3,3. 由轴力可直接得到两段杆件上的应力.,分析:,如图所示静不定结构，已知AB杆是刚性的并在A点铰接，在C、D两点由两根金属丝支撑，它们的直径和弹性模量分别是d1, d2, E1, E2 ，许用应力为 1 和2, 如果要求许用载荷 P, 如何建立平衡方程和变形协调方程?, 2-11 温度应力和装配应力,温度应力,超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时杆件的膨胀或收缩受到限制，由此产生的杆件内的应力。,杆件自由膨胀时的温度变形,约束力产生的缩短为：,变形协调条件：,温度应力,变形协调条件：,解得：,温度应力：,碳钢:,装配应力,变形协调条件：,解得：,装配应力：,对超静定结构，加工误差会引起杆件内的应力。, 2-12 应力集中的概念,应力集中由于截面尺寸显著变化而引起应力局部增大的现象。,应力集中因数,为局部最大应力， 为削弱处的平均应力。,（a）静载荷作用下：,塑性材料所制成的构件对应力集中的敏感程度较小；,即当 达到 时，该处首先产生破坏。,（b）动载荷作用下：,无论是塑性材料制成的构件还是脆 性材料所制成的构件都必须要考虑应力 集中的影响。,脆性材料所制成的构件必须要考虑应力集中的影响。,2-13 剪切和挤压的实用计算,工程中构件或零件彼此连接时，起连接作用的部件称为连接件。如螺栓、铆钉、键等等。,螺栓,键,铆钉,从连接失效形式的可能性出发，以大致反映其受力基本特征作为简化依据，计算“名义应力”，并结合试验确定相应的许用应力。,假定计算法,连接件的失效形式,剪断,挤压破坏,拉断,受力特征：,杆件受到两个大小相等，方 向相反、作用线垂直于杆的 轴线并且相互平行且相距很 近的力的作用。,变形特征：,杆件沿两力之间的截面发生错动，甚至破坏。,剪切面：发生错动的面。,单剪切：有一个剪切面的杆件，如铆钉。,1.剪切实用计算,一个剪切面,单剪切,双剪切：有两个剪切面的杆件，如螺栓。,单剪切,双剪切,剪切面上的内力：,剪力 Fs ，与剪切面平行。,A -剪切面面积,名义剪应力:,通常假定：剪切面上的剪应力是均匀分布的。,剪切强度条件：,名义许用剪应力,1、选择截面尺寸;,2、确定最大许可载荷；,3、强度校核。,在假定的前提下进行 实物或模型实验，并考虑安全因数，确定许用应力。,2.挤压实用计算,挤压：连接件和被连接件在接触面上彼此承压的现象。,挤压应力 ：挤压面上由挤压力引起的应力。,挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、 压溃或连接件（如销钉）被压扁。,*挤压强度问题,挤压力（中间部分）：,挤压面 ：挤压力的作用面。,挤压实用计算方法： 假设挤压应力在整个挤压面上均匀分布。,挤压面面积的计算：,1、平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。,h平键高度,l平键长度,剪切实用计算,键:连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴 和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。,2、柱面接触（如铆钉）：挤压面面积为实际的承压面积在其直径 平面上的投影。,d铆钉或销钉直径，, 接触柱面的长度,挤压强度条件：,剪切实用计算,*注意：,在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接 件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计 算，相应的采用较低的许用挤压应力。,名义许用挤压应 力，由试验测定。,*挤压强度条件：,剪切实用计算,例2-10 图示钢板用铆钉连接，承受轴向拉力F作用。已知板厚t=2mm，板宽b=15mm，铆钉直径d=4mm，接头边距a=10mm，材料的许用切应力 =100MPa，许用挤压应力 =300MPa，许用拉应力 =160MPa。试确定该拉力的许可值。,解：,（1）失效形式分析,铆钉剪断,挤压失效,钢板拉断,钢板剪断,（2）铆钉剪切强度分析,剪力,由剪切强度条件,因此,（3）挤压强度分析,挤压力,挤压面积,由挤压强度条件,因此,（4）钢板拉伸强度分析,由拉伸强度条件,因此,（5）钢板剪切强度分析,由剪切强度条件,因此,比较可得,本章完,例 2-4 计算在内部压力作用下的薄壁容器径向横截面上的张应力. 已知：,由于 , 我们可以认为径向横截面上的张应力是沿容器壁厚方向上均匀分布的.,解:,d,d,b,p,因为结构是对称的，因此每个径向截面上的内力时相同的.,p,d,d,p,计算图示结构中AB杆和CB杆的应力，已知： F=20kN. AB 是直径为20mm的圆形杆; CB 是截面尺寸为1515的方型杆 .,解：1、 计算轴力:,45,例2-5,2、计算应力.,解: 已知,该应力小于钢的比例极限. (Q235 比例极限为 200MPa.),例2-10 计算例2-3中薄壁管的直径变化量 ，已知,忽略内压p的影响，圆管的圆周方向变形为,因,圆管的周向应变 和径向应变 的关系为:,注意:,例2-11 如图所示，两圆形杆件在节点A受载荷P =100kN作用. 试计算节点A的位移A. 已知两杆件长度均为l =2m, 直径 d =25mm, =30, 弹性模量E = 210GPa。,解: 由静力学平衡方程,可得,由虎克定律计算杆件的伸长量,由结构和受载的对称性，可知节点A只有垂直方向的位移.,节点A的位置应满足两杆之间的约束和各杆的伸长量.,关键-如何确定节点A受载后的位置?,A,A,因此,从变形图可计算节点A的位移. 由对称性可知,A,A,带入数据可得,元件尺寸的改变, 代数量,本例有助于我们进一步理解位移和变形的概念.,变形,位移,点的位置的改变，矢量,位移与各杆的约束有关并与变形条件保持一致.,两者之间关系,解：,步骤 1 : 计算约束反力.,例 5-2 画出下列杆件的轴力图.,步骤 2 :使用截面法计算选定截面上的轴力.,F,F,q,F,F,F,步骤3: 画出杆件的轴力图.,
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