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高考大题专项突破六高考大题专项突破六高考中的概率、统计与统计案例高考中的概率、统计与统计案例-2-从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断,其中回归分析、独立性检验、用样本的数据特征估计总体的数据特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生的数据处理能力;二是统计与概率综合,以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;三是古典概型的综合应用,以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方法、茎叶图等统计知识交汇考查.-3-4-5-4.独立性检验:对于取值分别是x1,x2和y1,y2的分类变量X和Y,其样本频数列联表是:-6-5.概率的基本性质(1)随机事件的概率:0P(A)1;必然事件的概率是1;不可能事件的概率是0.(2)若事件A,B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B).(3)若事件A,B对立,则P(AB)=P(A)+P(B)=1.6.两种常见的概率模型(1)古典概型;(2)几何概型.-7-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型一样本的数字特征的应用例1(2017全国,文19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:-8-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-9-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-10-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-11-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-12-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解题心得(1)在预测总体数据的平均值时,常用样本数据的平均值估计,从而做出合理的判断.(2)平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定.-13-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练1(2017吉林东北师大附中三模,文18)学校为了了解A,B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长,分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查,得到他们观看电视节目的时长分别为(单位:小时):A班:5,5,7,8,9,11,14,20,22,31;B班:3,9,11,12,21,25,26,30,31,35.将上述数据作为样本.(1)绘制茎叶图,并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息(至少写出2条);(2)分别求样本中A,B两个班级学生的平均观看时长,并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长;(3)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b,求ab的概率.-14-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-15-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)A班的样本数据中不超过11的数据a有6个,分别为5,5,7,8,9,11;B班的样本数据中不超过11的数据b有3个,分别为3,9,11.从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个,记为(a,b),分别为:(5,3),(5,9),(5,11),(5,3),(5,9),(5,11),(7,3),(7,9),(7,11),(8,3),(8,9),(8,11),(9,3),(9,9),(9,11),(11,3),(11,9),(11,11),共18种,其中ab的有:(5,3),(5,3),(7,3),(8,3),(9,3),(11,3),(11,9),共7种.-16-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型二利用回归方程进行回归分析例2下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.-17-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-18-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-19-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-20-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于r和 的计算公式比较复杂,求它们的值计算量比较大,因此为了计算准确,可将它们分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.-21-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练2(2017湖北武汉五月调考,文19)据某市地产数据研究显示,2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示,3月至7月房价上涨过快,为抑制房价过快上涨,政府从8月开始采用宏观调控措施,10月份开始房价得到很好的抑制.(1)地产数据研究院发现,3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的回归方程;(2)若政府不调控,依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价.-22-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-23-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-24-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型三频率分布直方图与独立性检验的综合例3(2017全国,文19)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:-25-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.-26-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62.因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表-27-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.解题心得有关独立性检验的问题解题步骤:(1)作出22列联表,(2)计算随机变量K2的值,(3)查临界值,检验作答.-28-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练3某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.-29-(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?题型一题型二题型三题型四题型五题型六-30-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-31-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有400.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率-32-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有600.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有400.375=15(人),据此可得22列联表如下:因为1.792.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.-33-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型四频率分布表(图)与概率的综合例4(2017全国,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.-34-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.-35-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为 ,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 ,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.-36-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解题心得在统计中,某事件的概率无法知道,可以通过计算现实生活中某事件的频率来代替概率,又用概率计算其他事件的数量.-37-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练4(2017北京,文17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.-38-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 =20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)10100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60 =30.所以样本中的男生人数为302=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为6040=32.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为32.-39-题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型五抽样与古典概型的综合例5(2017河南郑州三模,文18)某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下:(1)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?(2)在(1)中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随机抽取2天,求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.-40-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-41-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解题心得解决抽样与古典概型的综合问题的方法:(1)定数,利用统计知识确定频数;(2)定型,根据事件“有限性和等可能性”判断是否为古典概型;(3)定性,由题意用列举的方法确定试验的基本事件总数和某事件所含的基本事件数;(4)代入公式求解.-42-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练5某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市1565岁的人群抽取了n人,回答问题统计结果如图表所示.-43-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.-44-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)第1组人数50.5=10,所以n=100.1=100;第2组人数1000.2=20,所以a=200.9=18;第3组人数1000.3=30,所以x=2730=0.9;第4组人数1000.25=25,所以b=250.36=9;第5组人数1000.15=15,所以y=315=0.2.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279=231,所以第2,3,4组每组应依次抽取2人,3人,1人.(3)记抽取的6人中,第2组的记为a1,a2,第3组的记为b1,b2,b3,第4组的记为c,则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c),其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c).-45-题型六独立性检验与古典概型的综合例6(2017湖南长沙一模,文18)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”,部分统计数据如下表:题型一题型二题型三题型四题型五题型六-46-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)试根据以上数据,运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?(2)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4名同学记为A组,不使用智能手机且成绩优秀的8名同学记为B组,计划从A组推选的2人和B组推选的3人中,随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验,求挑选的两人恰好分别来自A,B两组的概率.-47-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-48-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解题心得1.古典概型是基本事件个数有限,每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型,计算概率时,要先判断再计算.2.独立性检验的步骤:列表、计算、检验.-49-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练对点训练6为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎放开”人数如下表:-50-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)由以上统计数据填下面22列联表,并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;(2)若对年龄在5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?-51-题型一题型二题型三题型四题型五题型六-52-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)22列联表为:所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.-53-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)设年龄在5,15)中支持“生育二胎放开”的4人分别为a,b,c,d,不支持“生育二胎放开”的1人记为M,则从年龄在5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,M),(b,c),(b,d),(b,M),(c,d),(c,M),(d,M),共10种.设“恰好这两人都支持生育二胎放开”为事件A,则事件A所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种,所以所以对年龄在5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率为-54-率与统计相结合的综合问题,其中解决题目中有关概率问题的关键是读懂题意,能从题目的统计背景中抽取有关概率的相关信息,然后将信息转化为概率试验中的基本关系,按照求某事件概率的方法,计算试验的基本事件数和所求事件包含的基本事件数,进而依据古典概型的概率公式求解.
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