旋转体的体积

定积分的应用 -旋转体的体积,2,2、定积分的几何含义：,其中F(x) 是被积函数f(x)的原函数。,1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）,3、定积分基本性质,4、结论,最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。 （演示）。,旋转体的定义,示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。,旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴。,可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴,旋转体的体积计算公式,1、旋转轴为 x 轴（演示）,由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)0)所围成 的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的 体积为,由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)0)所围成 的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体 积为,2、旋转轴为 y 轴（演示）,旋转体的体积计算公式,例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，计算圆锥的体积。,解 ：如图所示,直线OP的方程为 ，,所求体积为,返回,例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面 图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。,解：如图所示,V2,V1,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕x轴旋转一周,绕x轴旋转一周,绕x轴旋转一周,轴,轴,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕y轴旋转一周,绕y轴旋转一周,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕x轴旋转一周,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕y轴旋转一周,问题的提出,返回,旋转体概念,返回,旋转体实例圆锥,返回,旋转体实例圆柱,返回,旋转体体积推导,返回,体积例题 3,返回,体积例题 2,返回,体积例题 5,返回,定积分与平面图形的面积,解,例1 计算由 和 所围 成的图形的面积。,还有其他方法吗？,