序列的傅里叶变换的定义及性质

2.1 引言,信号和系统的分析方法分：时域(time domain)和频域（frequency domain)分析方法。 时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量不是连续变化的时间t,而是整数。系统则用差分方程来描述，频域分析采用Z变换或Fourier变换。其中，Fourier变换和模拟信号的Fourier变换不同，但都是线性变换，有很多共性。,2.2 序列的Fourier变换的定义及性质,2.2.1 序列Fourier变换的定义,定义,为序列x(n)的Fourier变换，可用FT(Fourier Transform)表示。,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和条件，即,FT的逆变换,故有,图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列Fourier变换的性质,1. FT的周期性,在定义(2.2.1)式中，n取整数，故下式成立,因此，序列的Fourier变换是频率的周期函数，周期为2. 在=0 和=2M 附近的频谱分布是相同的,在=0,2, 4 点上表示信号x(n)的直流分量（见图2.2.2(a)。而离开这些点越远，其频率应越高，但又是以2为周期的，则最高的频率应是 = (或 = (2M+1) )。,例如，x(n)=cosn，当 =2M, M取整数，x(n)的序列值如图2.2.2(a),代表直流分量；当(2M+1)时，x(n)的波形如图2.2.2(b)所示，代表最高频率信号，是一种变化最快的信号。由于FT的周期性，一般只需分析 之间或02 之间的FT即可。,图2.2.2cosm 的波形,2. FT的线性,则有,3. FT的时移与频移,4. FT的对称性,共轭对称序列。,将上式两边的n用-n替换，并取共轭，得到：,对比上面两公式，因左边相等，故有,可知，共轭对称序列其实部是偶函数，虚部是奇函数。,共轭反对称序列。,同法可得,可知，共轭反对称序列其实部是奇函数，虚部是偶函数。,例2.2.2 试分析序列,的对称性,解： 因x(n)满足式(2.2.10),所以是共轭对称序列，且可展为,对一般序列，可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：,并可用原序列x(n)分别求出共轭对称序列与共轭反对称序列：,见P36,对于频域函数,也有和前面类似的概念和结论：,同样有如下公式：,研究FT的对称性，可从两部分进行分析,(a) 将序列x(n)分成实部 xr (n) 和虚部 xi (n)，即,式中,FT后得到,上面两式中，xr(n)和虚部xi(n)都是实数序列。容易证明：,具有共轭对称性。,具有共轭反对称性。,(b) 将序列x(n)分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即,由式(2.2.18)和(2.2.19),FT后有,结论：序列x(n)共轭对称部分对应FT的实部，反对称部分对应FT的虚部。和(a)的结论比较?,5. 时域卷积定理,设,则有,证明,令 k=n-m,则,对LSI系统，求系统输出时，可在时域用(1.3.7),在频域用(2.2.31),6. 频域卷积定理,设y(n)=x(n)h(n) 则,(2.2.32),证明,(2.2.33),7. 帕斯维尔(Parseval)定理,证明,Parseval定理说明：信号在时域的总能量等于频域的总能量。,