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8.1空间几何体的结构 及其三视图和直观图知识梳理考点自测1.空间几何体的结构特征 平行且相等 全等 任意多边形 有一个公共顶点的三角形 相似 矩形 直角边 直角腰 圆锥 半圆面或圆面 知识梳理考点自测2.空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括,分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求:,.画法规则:一样高,一样长,一样宽;看不到的轮廓线画线.正视图、侧视图、俯视图 正前 正左 正上 长对正 高平齐 宽相等 正侧 正俯 侧俯 虚 知识梳理考点自测3.空间几何体的直观图(1)画法:常用画法.(2)规则原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为,z轴与x轴.原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中,平行于y轴的线段长度在直观图中.斜二测 45(或135)垂直 保持原长度不变 变为原来的一半 知识梳理考点自测1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形.(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形.(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.知识梳理考点自测知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.()(5)在用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中A=45.()知识梳理考点自测2.如图为某个几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为()A.圆锥B.三棱锥C.三棱柱D.三棱台C解析解析:由三视图可知,该几何体是一个横放的三棱柱,故选C.知识梳理考点自测3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()B知识梳理考点自测解析解析:由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其侧视图为B项中的图.故选B.知识梳理考点自测4.已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可以是.(把你认为正确的图的序号都填上)知识梳理考点自测解析解析:直观图如图的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图;直观图如图的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个圆柱)的俯视图为题图;直观图如图的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个圆柱)的俯视图为题图;直观图如图的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图.知识梳理考点自测5.利用斜二测画法得到的:三角形的直观图一定是三角形;正方形的直观图一定是菱形;等腰梯形的直观图可以是平行四边形;菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是.1解析解析:由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误.考点一考点二考点三空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征例1(1)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)以下命题:以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3DA考点一考点二考点三解析解析:(1)A错误,如图是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图,若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.(2)命题错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.考点一考点二考点三思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.考点一考点二考点三对点训练对点训练1(1)以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是()A.球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆(2)设有以下命题:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;底面是矩形的平行六面体是长方体;四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;棱台的相对侧棱延长后必交于一点;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.其中真命题的序号是.A 考点一考点二考点三解析解析:(1)画几何体的三视图要考虑视角,但对于球,无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.(2)命题符合平行六面体的定义,故命题是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题是错误的;命题正确,如图(1),PD平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明PAB,PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题由棱台的定义知是正确的;命题错误,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥.如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的.考点一考点二考点三平面图形与其直观图的关系平面图形与其直观图的关系例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D是ABC中BC边的中点,且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是ACC考点一考点二考点三(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()A考点一考点二考点三解析解析:(1)ADy轴,根据斜二测画法规则,在原图形中应有ADBC,又AD为BC边上的中线,所以ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且最长,AD最短.考点一考点二考点三思考用斜二测画法画直观图的法则和技巧有哪些?解题心得1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.考点一考点二考点三CD考点一考点二考点三考点一考点二考点三空间几何体的三视图空间几何体的三视图(多考向多考向)考向1由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如右图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是()A.a,b B.a,cC.c,b D.b,dA考点一考点二考点三(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()B考点一考点二考点三解析解析:(1)当正视图和侧视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且两条对角线为实线,故选A.(2)该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影到左右两边的距离相等,因此选B.思考由直观图识别三视图时应注意什么问题?考点一考点二考点三考向2由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)三视图如图所示的几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台A考点一考点二考点三(2)(2017全国,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12C.14 D.16B考点一考点二考点三解析解析:(1)由三视图可知几何体如图,故选B.(2)由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为12.考点一考点二考点三思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些?考点一考点二考点三考向3由三视图的两视图推测另一视图例5已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为()C考点一考点二考点三解析解析:由已知条件得直观图如图所示,正视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA形成的投影,应为虚线.故选C.考点一考点二考点三思考如何由三视图的两视图推测另一视图?解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,看看给出的部分三视图是否符合.考点一考点二考点三对点训练对点训练3(1)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()D考点一考点二考点三(2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()A考点一考点二考点三(3)(2017河北邯郸二模,文9)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.12 B.15C.18D.21C考点一考点二考点三(4)(2017山东潍坊二模,文8)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为r的圆,若该几何体的体积为9,则它的表面积是()A.27 B.36C.45 D.54C考点一考点二考点三(5)一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是()C考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状.3.三视图的画法(1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.考点一考点二考点三1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易混淆实虚线.
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