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选修44坐标系与参数方程知识梳理考点自测1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.知识梳理考点自测2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 距离|OM|xOM (,)M(,)知识梳理考点自测3.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,).(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).知识梳理考点自测4.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(0,0),且从极轴到此直线的角为,则它的方程为:sin(-)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:直线过极点:=0和;直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;直线过 ,且平行于极轴:.5.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:圆心位于极点,半径为r:=;圆心位于M(a,0),半径为a:=;圆心位于 ,半径为a:=.0sin(0-)=+0 cos=a sin=b r 2acos 2asin 知识梳理考点自测参数方程 参数 知识梳理考点自测知识梳理考点自测 知识梳理考点自测A解析解析:化为普通方程为x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+22,77,因此曲线为线段.故选A.知识梳理考点自测B知识梳理考点自测D解析解析:C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=1,圆心C(-1,1),又直线kx+y+4=0过定点A(0,-4),故当CA与直线kx+y+4=0垂直时,圆心C到直线的距离最大,kCA=-5,知识梳理考点自测5.在极坐标系中,点A在圆2-2cos-4sin+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.1解析解析:设圆心为C,则圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.考点一考点二考点三考点四参数方程与极坐标方程间的互化参数方程与极坐标方程间的互化例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.考点一考点二考点三考点四解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos2-8sin cos+1-a2=0,由已知tan=2,可得16cos2-8sin cos=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.考点一考点二考点三考点四解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四求距离的最值求距离的最值 考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四求平面图形面积的最值求平面图形面积的最值例3(2017全国,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四解题心得对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.考点一考点二考点三考点四求动点轨迹的方程求动点轨迹的方程 考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四1.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
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