等边三角形的判定定理教学设计

等边三角形的判定定理教学设计教学目标1、在具体情境中经历“探索发现猜测证明”的过程，认识证明的必要性。2、掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程，并能用它们证明有关命题。3、理解定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”的证明思路，并能进行简单应用。4、通过定理的逻辑证明，让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展学生的推理意识和能力。教学重点探索等边三角形的两个判定定理，以及定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”。教学难点证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”时辅助线的作法。教学过程1、 情境导入观察与思考；（1） 如图，具备什么条件的三角形是等腰三角形？（2） 如图，具备什么条件的三角形是等边三角形？补充条件（3） 补充条件 如图，具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？2、探索定理（1） 探索判定定理：有三个角相等的三角形是等边三角形（2） 探索判定定理：有一个角为60的等腰三角形是等边三角形要分两种情况进行证明。归纳形成等边三角形的判定定理（4） 探索定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）生用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 其中，图（1）是等边三角形，因为ABDACD，所以AB=AC，又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 生图（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形 师同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？ 生在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半 师我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ 生可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC而ADB=90，即ADBC根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC所以BD=AB，即在RtABD中，BAD=30，它所对的边BD是斜边AB的一半 师生共析这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起下面我们一同来完成这个定理的证明过程 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD 证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60 延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图） ACB=60， ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的对应边相等） ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） BC=BD=AB 师这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题 （演示课件） 例5右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？ 分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB 解：因为DEAC，BCAC，A=30，由定理知 BC=AB，DE=AD， 所以BD=7.4=3.7（m） 又AD=AB， 所以DE=AD=3.7=1.85（m） 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m 师再看下面的例题 例等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高 已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的长 分析：观察图形可以发现，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一个外角，则DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出CD 解：ABC=ACB=15， DAC=ABC+BAC=30 CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 师下面我们来做练习 随堂练习 （一）课本P146练习 RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 答案：B=60，A=30，AB=2BC （二）补充练习 1已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求证：BD=AB 证明：在RtABC中，A=30， BC=AB 在RtBCD中，B=60， BCD=30 BD=BC BD=AB 2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段 求证：其中一条是另一条的2倍 已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分线 求证：CD=2AD 证明：在RtABC中，A=90，ABC=2C， ABC=60，C=30 又BD是ABC的平分线， ABD=DBC=30 AD=BD，BD=CD CD=2AD 课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用 课后作业 （一）课本P14811、12、13、14题 （二）预习P151P152，并准备活动课 1找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字 2思考镜子对实物的改变 活动与探究 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30 过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”从辅助线的作法中得到启示 结果： 已知：如图（1），在RtABC中，C=90，BC=AB求证：BAC=30 证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD ACB=90， ACD=90 又AC=AC， ACBACD（SAS） AB=AD CD=BC， BC=BD 又BC=AB， AB=BD AB=AD=BD， 即ABD为等边三角形 B=60 在RtABC中，BAC=30 板书设计 14322 等边三角形（二） 一、定理的探究 定理：在直角三角形中，有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题 1已知，如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形 求证：AN=BM 证明：ACM与CBN是等边三角形 ACM=BCN ACM+MCN=BCN+NCM， 即ACN=MCB 在ACN和MCB中， ACNMCB（SAS） AN=BM 2一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC，BAC=30，AB=10cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？ 解：在RtABC中，CAB=30，AB=10cm BC=AB=5cm CB1AB， B+BCB1=90 又A+B=90， BCB1=A=30 在RtACB1中，BB1=BC=2.5cm AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm） 在RtAB1C1中，A=30 B1C1=AB1=7.5=3.75（cm）