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第5讲不等式的应用1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.如果a，bR，那么a2b2_(当且仅当ab时取“”号).取“”号).2ab以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)，几何平均数(记作 G)，算术平均数(记作 A)，平方平均数(记作 Q)，即HGAQ，各不等式中等号成立的条件都是 ab.4.常用不等式则 z3x4y 的最小值为_.解析：不等式组表示的可行域如图 D40 所示的阴影部分，图 D40数在点 A(1,1)处取得最小值 z3x4y1.答案：1候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函则 zx2y 的最大值是()A.0B.2C.5D.6解析：画出可行域及直线 x2y0 如图 D41，平移 x2y0 发现，当其经过直线 3xy50 与 x3 的交点 A 时，zx2y最大为zmax3245.图 D41答案：C3.(2014 年福建)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是 20 元/m2，侧面造价是10 元/m2，则该容器的最低总造价是()CA.80 元B.120 元C.160 元D.240 元4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市，已知两地路线长 400 千米，为了安全，两辆货车间距至少不得(不计货车长度).8考点 1 实际生活中的基本不等式问题例 1：桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图 6-5-1，设池塘所占的总面积为 S 平方米.(1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值.图 6-5-1即当 x 为 45 米时，S 最大，且 S 的最大值为 1352 平方米.【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大.【互动探究】D1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是()A.218 m2B.388 m2C.468 m2D.648 m2解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则ab800.蔬菜的种植面积：S(a4)(b2)ab4b2a840 m，b20 m时，Smax648 m2.2.一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左、右各留有 4 cm 的空白，上、下各留有 3 cm 的空白，则当排版的长为_cm，宽为_cm 时，用纸最省.2418考点 2 实际生活中的线性规划问题例 2：某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m3，生产一个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m3，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元.(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，那么可获利润多少？(3)如何安排生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元，当x300时，zmax8030024 000(元).即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利润 24 000 元.(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，当y450时，zmax12045054 000(元).即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利润 54 000 元.(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，z80 x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 D42.图 D42作直线 l：80 x120y0，即直线 2x3y0.把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点 M，此时 z80 x120y 取得最大值.当 x100，y400 时，zmax8010012040056 000(元).因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为56 000 元.【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步.【互动探究】3.(2016 年新课标)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元.解析：设生产产品 A、产品 B 分别为 x，y 件，利润之和为z 元，那么目标函数 z2100 x900y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图 D43)，即可行域.图 D43所以当x60，y100时，zmax210060900100216 000(元).故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元.答案：216 000年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元4.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩(1 亩666.7 平方米)，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x，y 亩，种植总利润为 z 万元，则目标函数 z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y.作出约束条件如图 D44 所示的阴影部分.图 D44易求得点 A(0,50)，B(30,20)，C(45,0).平移直线 x0.9y0，当直线 x0.9y0 经过点 B(30，20)时，z 取得最大值为 48.故选 B.答案：B易错、易混、易漏 利用基本不等式时忽略了等号成立的条件 思路点拨：本题主要考查均值不等式的应用、分析问题及解决问题的能力，本题的关键就是如何利用14 m 旧墙，有两种方案：利用14 m 旧墙的一部分作为矩形厂房的一边，剩余的旧墙拆去，用所得的材料建新墙；14 m 旧墙全部是矩形厂房的一边，这时就不存在拆旧墙来建新墙的问题了.综合(1)(2)两种方案，以第一种方案总费用最低，即以 12 m旧墙改建，剩下 2 m 旧墙拆得的材料建新墙，其余的建新墙.【规律总结】此题是生活实际中常碰到的问题，有实际意义，综合分析能力很强，尤其x14，往往容易疏忽，不加以考虑，仅以分析，利用部分旧墙，拆除部分旧墙，用拆得的材料建新墙，其余的建新墙，虽然结果正确，但没有与作比较，不能算是一种完整的解法.
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