第5章 测量误差的基本知识

第5章 测量误差的基本知识 本章提要 通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。 5.1 观测误差概述 5.1.1 观测及观测误差 对未知量进行测量的过程，称之为观测。测量所获得的数值称为观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为测量误差或观测误差。用代表观测值，设X代表真值，则有 (5-1)式中就是观测误差，通常称为真误差，简称误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复观测若干测回，各测回的观测值往往互不相等；同一组人员，用同样的测距工具，对A、B两点间的距离重复测量若干次，各次观测值也往往互不相等。又如，平面三角形内角和的真值应等于180，但三个内角的观测值之和往往不等于180；闭合水准线路中各测段高差之和的真值应为0，但事实上各测段高差的观测值之和一般不等于0。这些现象在测量实践中是经常发生的。究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观测误差的缘故。5.1.2 观测误差的来源 测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测误差来源于以下三个方面：观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测误差主要由仪器误差、观测者的误差以及外界条件的影响组成。仪器误差是指测量仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制，致使观测值含有一定的误差。观测者带来的误差是由于观测者技术水平和感官能力的局限，致使观测值产生的误差。外界条件的影响是指观测过程中不断变化着的大气温度、湿度、风力、透明度、大气折光等因素给观测值带来的误差。一般认为，在测量中人们总希望使每次观测所出现的测量误差越小越好，甚至趋近于零。但要真正做到这一点，就要使用极其精密的仪器，采用十分严密的观测方法，付出很高的代价。然而，在实际生产中，根据不同的测量目的，是允许在测量结果中含有一定程度的测量误差的。因此，我们的目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将误差限制在与测量目的相适应的范围内。5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种，即 (5-2)式中：粗差； 系统误差； 偶然误差。(1)粗差粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往就含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。 粗差产生的原因较多。可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。 在观测中应尽量避免出现粗差。发现粗差的有效方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，采用必要而又严密的检核、验算等。国家技术监督部门和测绘管理机构制定的各类测量规范，一般也能起到防止粗差出现和发现粗差的作用。含有粗差的观测值都不能使用。因此，一旦发现粗差，该观测值必须舍弃并重测。尽管我们十分认真、谨慎，粗差有时仍然难免。因此，如何在观测数据中发现和剔除粗差，或在数据处理中削弱粗差对观测成果的影响，乃是测绘界十分关注的课题之一。(2)系统误差在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如，水准仪的视准轴与管水准器轴不平行对读数的影响，经纬仪的竖直度盘指标差对竖直角的影响，地球曲率对测距和高程的影响，均属系统误差。系统误差在观测成果中具有累积性。 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响，如角度测量中采取盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等；另一种是找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正，如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。(3)偶然误差 在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性，即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性，这样的误差称为偶然误差。产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角观测值之和不一定等于真值180。由式(51)计算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间3，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差个数k，将k除以总数n(此处n=358)，求得各区间的kn，kn称为误差出现的频率，结果列于表5-1。 偶然误差的区间分布 表5-1误差区间负误差正误差合计个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n034540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01104641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816944332611600.2540.2270.1840.1230.0920.0720.0310.01703669912121515181821212424右侧各列的和1810.5051770.4953581.000从表5l中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过24。统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即 (5-3)本章此处及以后“ ”表示取括号中下标变量的代数和，即。用图示方法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误差大小为横坐标，以频率kn与区间的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为频率直方图。图51 频率直方图 可以设想，当误差个数，同时又无限缩小误差区间，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。5-2 正态分布曲线该曲线称为误差分布曲线，是正态分布曲线。其函数式为： (5-4)式中：圆周率；自然对数的底；误差分布的标准差。即正态分布曲线上任一点的纵坐标均为横坐标的函数。标准差的大小可以反映观测精度的高低，其定义为： (5-5) 在图51中各矩形的面积是频率kn。由概率统计可知，频率kn就是真误差出现在区间上的概率P()，记为： (5-6)式(5-4)和式(5-6)中是误差分布的概率密度函数，简称密度函数。 5.2 衡量观测值精度的标准 为了衡量观测结果的精度优劣，必须建立衡量精度的统一标准。有了标准才能进行比较。衡量精度的标很多种，这里介绍以下主要的几种。5.2.1 中误差 由式(55)定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，定义中误差m作为衡量精度的一种标准： (5-7)在一组观测值中，当中误差m确定后，可以绘出它所对应的误差正态分布曲线。在式(54)中，当0时，以中误差m代替标准差是最大值。因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，m较小，则曲线的纵轴顶峰较高，曲线形状较陡峭，如图53中，表示该组观测精度较高；的曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，较大，表明该组观测精度低。如果令的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标： (5-8)也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。5.2.2 相对误差 中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度的时候，单纯用绝对误差有时还不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和200m的两段距离，中误差皆为0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。此时，为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差K是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示： (5-9)式中当m为中误差时，K称为相对中误差。在上述例中用相对误差来衡量，就可容易地看出，后者比前者精度高。在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核。相对较差定义为： （5-10）相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度。显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。还应该指出，用经纬仪测角时，不能用相对误差来衡量测角精度，因为测角误差与角度大小无关。5.2.3 极限误差和容许误差 (1) 极限误差由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。我们知道，标准差或中误差是衡量观测精度的一种指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，但从统计意义上来讲，它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式(5-6)有： (5-11)表示真误差落在区间(-，+)内的概率等于0.683。同理可得： (5-12) (5-13)上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在范围以外的个数约占误差总数的32；在2范围以外的个数约占4.5；在3范围以外的个数只占0.3。绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此可以认为3是真误差实际出现的极限，即3是极限误差： (514)(2)容许误差测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差。 即 (5-15)或 (5-16)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。 5.3 误差传播定律 在实际测量工作中，有些量往往不是直接观测值，而是通过其他观测值间接求得的，这些量称为间接观测值。设Z是独立变量的函数，即 (517)其中函数Z的中误差为，各独立变量对应的观测值中误差分别为，如果知道了与之间的关系，就可以由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与其函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。设 (5-18)式中：各独立变量相应的观测值； 的偶然误差。则 (5-19)按泰罗级数展开，有：(5-20)等式右边第二项就是函数Z的误差，即 (5-21)又设各独立变量都观测了次，则其误差的平方和为： (5-22)由偶然误差的特性4可知，当观测次数时，上式中的总和趋近于0，又根据式(57)有： (5-23) (5-24)上两式中 (5-25)或 (5-26)这就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。简单函数的中误差传播公式 表5-2(点击图片放大) 误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以研究确定容许误差值以及事先分析观测可能达到的精度等，下面举例说明应用方法。【例5-1】在1：5000地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差。解 D=Md=5000234.5/1000=1172.5m，根据表5-2第1式，。距离结果可以写为D=1172.5m1.0m。【例 5-2】对一个三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为按公式求得另一个角。试求角的中误差。解 根据公式5-2第2式，有：【例 5-3】，观测值D=225.85m0.06m，=157003020。求的中误差。解 根据式(5-26)，有： =3.1cm【例5-4】 水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差(包括照准误差，气泡居中误差及水准尺刻划误差)。若以3倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。解 普通水准测量每站测得高差，则每站观测高差的中误差为：观测n站所得高差，高差闭合差为已知值(无误差)。则闭合差的中误差为： 以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许误差为：【例 5-5】试用误差传播定律分析视线倾斜时视距测量的精度。解 测量水平距离的精度分析根据视距测量原理，有视线倾斜时的视距公式，则： 所以水平距离D的中误差为：=由于根式内第二项的值很小，为了方便讨论可以将其略去。则有：式中：视距离隔的读数中误差，因=下丝读数-上丝读数，故上、下丝读数的中误差。由生理实验可知，人的肉眼当视角小于1时分辨不出两个点。可见人眼的可分辨视角为60。当测量仪器的望远镜放大倍率为24倍，通过望远镜来观测时，可达到的分辨视角。因此，上、下丝读数的误差为，以它作为读数的中误差代入上式后可得：于是当很小时，上式可写为：则相对中误差为：考虑到其他因素的影响，可以认为视距测量的距离精度可达1/300。测量高差的精度分析根据视距测量的高差主值计算公式，有 则高差主值的中误差为：根式中前一项，当D=100m时，很小，故略去。于是当角不大时，可将上式改写为：若，则。即视距测量每100m距离对应的高差主值的中误差为3cm，误差的最大值可达9cm。 5.4 等精度直接观测平差 除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长度等)的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其真值作出可靠的估计。在测量实践中，重复测量的目的还在于提高观测成果的测量，同时也为了发现和消除粗差。重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为了消除这种矛盾，就必须依据一定的数据处理准则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以适当的改正，从而求得观测量的最佳估值，同时对观测进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作“测量平差”。在相同条件下进行的观测是等精度观测，所得到的观测值称为等精度观测值。如果观测所使用的仪器精度不同，或观测方法不同，或外界条件差别较大，不同观测条件下所获得的观测值称为不等精度观测值。 对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差结果是得到未知量最可靠的估值，最接近其真值，称为“最或是值”。5.4.1 求最或是值 在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最或是值。设对某量进行了n次等精度观测，其观测值为，该量的真值为X，各观测值的真误差为。由于真值X无法确知，测量上取n次观测值的算术平均值为最或是值，以代替真值。即 (5-27)观测值与最或是值之差，称为“最或是误差”，用符号来表示。 (5-28)当n个最或是误差相加，有： (5-29)即最或是误差的总和为0。式(5-29)可以用作计算中的检核，若值计算无误，其总和必然为0。显然，当观测次数时，。5.4.2 评定精度 (1)观测值中误差由于独立观测中单个未知量的真值X是无法确知的，因此真误差也是未知的。所以不能直接应用式(57)求得中误差。但可以用有限个等精度观测值求出最或是值后，再按公式(528)计算最或是误差，用最或是误差计算观测值的中误差。其公式推导如下：对未知量经n次等精度观测，得观测值，则真误差 (5-30)最或是误差如式(5-28)，式(5-28)与式(5-30)相减得： (5-31)令，则 (5-32)对式(5-32)两端取平方和： (5-33)因，又有根据偶然误差特性4，当时，上式等号右边的第二项趋近于0，故于是有即 (5-34)式(5-34)是等精度观测中用最或是误差计算中误差的公式。【例 5-6】对某角进行了5次等精度观测，观测结果列于表5-3。试求其观测值的中误差。等精度直接观测平差计算 表5-3观测值最或是误差+30+1-3-190191解 根据式(5-27)和式(5-28)计算最或是值、最或是误差，利用式(5-29)进行检核，计算结果列于表5-3中。观测值的中误差为：（观测值的中误差）(2)最或是值的中误差设有某量进行n次等精度观测，观测值为，中误差为m。最或是值的中误差M的计算公式推导如下： (5-35)根据误差传播定律，有： (5-36)所以： (5-37)顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下： (5-38)【例 5-7】计算例5-6的最或是值的中误差。解 利用式(5-37)得（算术平均值的中误差） 从公式(537)可以看出，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。因此增加观测次数可以提高算术平均值的精度。当观测值的中误差时，算术平均值的中误差M与观测次数n的关系如图54所示。由图可以看出，当n增加时，M减小。但当观测次数n达到一定数值后(如n10)，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。故不能单纯以增加观测次数来提高测量成果的精度，应设法提高观测值本身的精度。例如，使用精度较高的仪器、提高观测技能、在良好的外界条件下进行观测等。 5.5 不等精度直接观测平差 在对某一未知量进行不等精度观测时，各观测值的中误差也不相同，各观测值便具有不同的可靠性。因此，在求未知量的最可靠估值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权”的数值来表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，设对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了4次，其观测值为；第二组观测了3次，观测值为。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测值，即 (5-39)对观测值来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为： (5-40)上式的计算实际是： (5-41)从不等精度观测平差的观点来看，观测值是4次观测值的平均值，是3次观测值的平均值，和的可靠性不一样，可取4、3为其相应的权，以表示、可靠程度的差别。分析式(541)，分子、分母乘以同一常数，最后结果不变。因此，权只有相对意义，起作用的不是它们的绝对值，而是它们之间的比值，权通常用字母表示，且恒取正值。5.5.1 权与中误差的关系 一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，可以根据中误差来定义观测值的权。设n个不等精度观测值的中误差分别为，则权可以用下式来定义： (5-42)其中可取为任意正常数。前面所举的例子，和是等精度观测值，观测值的中误差为m，则第1组的算术平均值的中误差，可以根据式(5-37)得：同理，可得第2组算术平均值的中误差为：在式(5-42)中分别代入和，得： ： 若取，则、的权分别为。【例 5-8.】 设以不等精度观测某角度，各观测值的中误差分别为。求各观测值的权。解 由式(5-42)可得： 若取则。若取则。若取=9则p1=4/81 p2=9 p3=9/4选择适当的值可以使权成为便于计算的数值。【例 5-9】对某一角度进行了n次观测，求算术平均值的权。解 设一测回角度观测值的中误差为m。上式(5-37)，算术平均值的中误差为。由权的定义并设 ，则一测回观测值的权为：算术平均值的权为：由例5-9可知，取一测回角度观测值之权为1，则n个测回观测值的算术平均值的权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精密比值，以便更合理地处理观测数据。例如，设每一测回的观测值的中误差为，其权为，并设，则有： (5-43)等于1的权称为单位权，而使权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用(或)表示。对于中误差为的观测值，其权为： (5-44)相应的有中误差的另一表达式： (5-45)5.5.2 加权平均值及其中误差 对同一未知量进行了n次不等精度观测，观测值为，其相应的权为，则加权平均值为不等精度观测值的最或是值，计算公式可写为： (5-46) 或 (5-47)校核计算方式为： (5-48) 其中 为最或是误差。下面计算加权平均值的中误差。由式(5-47)，根据误差传播定律，可得的中误差为： (5-49)式中：为 的中误差。根据权的定义公式(5-42)和式(5-44)有 ，所以 (5-50) 实际上常用最或是误差来计算中误差。与式(5-38)类似，有： (5-51) (5-52)【例 5-10】 在水准测量中，从三个已知高程点A、B、C出发测得E点的三个高程观测值及各水准路线的长度。求E点高程的最或是值及其中误差。解 取路线长度的倒数乘以常数C为观测值的权，并令C=1，计算在表5-4中进行。不等精度直接观测平差计算 表5-4测段高程观测值路线长度权最或是误差AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6根据式(5-46)，E点高程的最或是值为：根据式(5-51)，单位权中误差为：根据式(5-52)或式(5-45)，最或是值的中误差为：。