毕业论文之置换矩阵的性质及其推广

通化师范学学院本 科 生生 毕 业 论论 文（ 20012 届 ）题 目 置换换矩阵的的性质及及其推广广 系 别: 数 学学 系 专 业: 数学与与应用数数学 班 级: 二二 班 作者姓名: 居海丽丽 学号: 2200880600102204 指导教师: 高玉玉峰 职称: 助 教教 学历: 研究生生 论文成绩: 2012 年 5 月目 录摘 要.IAbstrractt.III1引言.11 1.1置换换矩阵的的定义.2 1.22广义置置换矩阵阵的定义义.222置换矩阵阵的性质质.332.1置换换矩阵的的基本性性质.32.2对称称置换矩矩阵.77 2.22.1 对称置置换矩阵阵的定义义.7 2.22.2 对称置置换矩阵阵的基本本性质.73广义置换换矩阵的的性质.83.1广义义置换矩矩阵的基基本性质质.83.2广义义置换矩矩阵的判判定.994置换矩阵阵的应用用.94.1置换换矩阵在在矩阵行行列式变变换中的的应用.994.2置换换矩阵在在模糊交交换矩阵阵中的应应用.115结束语.12致谢语.122参考文献.122指导教师评评语.评阅人评语语.置换矩阵的的性质及及其推广广 数学系20008级级2班 居海海丽摘 要:本文介介绍了置置换矩阵阵和对称称置换矩矩阵的定定义和基基本性质质,探讨讨了广义义置换矩矩阵的基基本性质质及判定定方法,讨论了了置换矩矩阵在矩矩阵行列列式变换换和模糊糊交换矩矩阵中的的应用.关键词:置置换矩阵阵;对称称置换矩矩阵;广广义置换换矩阵;模糊交交换矩阵阵Propeertiies andd Prromootioon oof PPermmutaatioon MMatrrixClasss2, 220088, DDepaartmmentt off Maatheematticss Juu Haailii Abstrractt:Thee paassaage is inttrodduceed ffromm deefinnitiion andd baasicc prropeertiies of perrmuttatiion mattrixx andd syymmeetryy peermuutattionn maatriix ,theen,ssomee prropeertiies andd deeterrminne mmethhodss off geenerraliizedd peermuutattionn maatriix aare stuudieed ,perrmuttatiion mattrixx iss diiscuusseed iin llinees - roows chaangeed oon mmatrrix andd fuuzzyy coommuute mattrixx. Keeywoordss:Permmutaatioon mmatrrix; syymmeetryy peermuutattionn maatriix; genneraalizzed perrmuttatiion mattrixx ; fuzzzy commmutte mmatrrix1引言 置置换矩阵阵是布尔尔矩阵的的特例,在代数数学中占占有重要要地位,许多高高等代数数、矩矩阵论的的书籍都都有涉及及.置换换矩阵具具有良好好的特性性与结构构,对置置换矩阵阵的定义义和性质质进行深深入的研研究是十十分必要要的.置置换矩阵阵的推广广形式在在实际生生活中也也有重要要应用.上世纪纪末,华华罗庚教教授就曾曾在研究究“计划经经济大范范围最优优化的数数学理论论”中引入入了这类类重要的的非负可可逆矩阵阵广义义置换矩矩阵.因因此,本本文也将将探讨广广义置换换矩阵的的性质及及判定方方法. 在在下文将将用到一一些数学学符号,在这里里介绍一一下:设是置换矩矩阵中的的任意元元素,所所以,我们定定义如下下: (1),我们把把“”叫做互互补运算算.即00的补为为1,11的补为为0. (2),我们把把“”叫做并并运算.即表示示取元素素中的大大者. (3),我们把把“”叫做交交运算.即表示示取元素素中的小小者. (4),我们把把“-”叫做差差运算. 其中“”,“”满足结结合律. 为为了使后后文讲述述的更加加清楚,将他们们分别应应用于矩矩阵中,首先设设为置换矩矩阵,以以下事例例中设 我们还得出出以下式式子成立立 (1) 例例 (2) 例例(3) 例 (4) 例例 (5)1.1置换换矩阵的的定义 如如何研究究好置换换矩阵,对它的的定义分分析是十十分重要要的,所所以给出出如下定定义: 对对于阶布布尔方阵阵中任意意的、行或列列,当行行列不相相同时即即（）时时有如下下式子成成立 或 .我们把这样样的布尔尔方阵叫叫做正交交. 对对于阶布布尔方阵阵中的任任意的、行或列列,有如如下式子子成立 或 .我们把这样样的布尔尔方阵叫叫做标准准的.如果既是正正交的又又是标准准的布尔尔方阵,我们称称这样的的矩阵为为置换矩矩阵. 例例 为置换矩阵阵. 由由以上定定义可以以明确置置换矩阵阵每行每每列有唯唯一一个个1,行行列上的的其它元元素均为为0.1.2广义义置换矩矩阵的定定义 设设集合=1,2,为AA到本身身的一个个映射,则我们们可以得得到和这这个映射射相伴随随的矩阵阵,就是是 或 ,就叫做做与映射射相伴的的广义置置换矩阵阵. 例例 设集集合A=1,2,33,4,5,则可可以得到到映射的的相伴矩矩阵为 从上面的例例题可以以看出广广义置换换矩阵是是一种特特殊的(0,11)矩阵阵.2置换矩阵阵的性质质 第第一部分分介绍了了置换矩矩阵与广广义置换换矩阵的的定义,本节将将研究置置换矩阵阵和对称称置换矩矩阵的性性质及证证明,并并给出具具体例子子加以说说明.2.1置换换矩阵的的基本性性质 性性质1 如果是是置换矩矩阵,那那么以下下式子成成立:,反之亦亦然. 证证明 充充分性 因为,则由定定义知,所以是正交交的, 又又因为 所以是标准准的. 必必要性 因为是是置换矩矩阵,所所以存在在正交性性,则有有,所以. 注注 或. 例例1设 则故有. 性性质2 如果是是置换矩矩阵,那那么以下下式子成成立 (1); (2).证明 根据据矩阵运运算法则则 . 例例2 那么则有故. 性性质3 如果分分别是置置换矩阵阵,具有有相同的的阶数,那么以以下式子子成立 证证明 同理. 例例3 设设,为阶置换换矩阵, , 则 , 所以. 性性质4 如果是是置换矩矩阵,并并且有,那么以以下式子子成立 证证明 由由已知可可知是置置换矩阵阵,故有有,所以以,所以. 例例4 设设 则有取所以 故成立. 性性质5 如果,分别是是已知的的置换矩矩阵,那那么以下下矩阵方方程有解解,则其其解为. 证证明 因因为,等等式左右右两边分分别乘以以,有,所以 . 例例5 设设 , 则当时, 此时符合题题意,.即.2.2对称称置换矩矩阵2.2.11对称置置换矩阵阵的定义义如果置换矩矩阵符合合那么我们把把它称为为对称置置换矩阵阵,.2.2.22对称置置换矩阵阵的基本本性质 性性质6 如果是是阶布尔尔矩阵,并且是是对称置置换矩阵阵,那么么. 证证明 因因为是对对称置换换矩阵,则存在在所以当时,则；当当时,则则故. 例例6 设设为对称称置换矩矩阵,令令则. 性质7 如如果是对对称置换换矩阵,那么以以下式子子成立 证证明 由由于,故故得证. 例例7 设设 , 则 , 所以成立.3广义置换换矩阵的的性质3.1广义义置换矩矩阵的基基本性质质 广广义置换换矩阵是是置换矩矩阵的推推广形式式,下面面的六个个命题总总结出了了广义置置换矩阵阵的基本本性质,并通过过证明得得出这六六个命题题互相等等价.命题1 如如果是阶矩阵阵,那么么以下命命题是等等价的:(1)是广广义置换换矩阵；(2)是广广义置换换矩阵；(3)是广广义置换换矩阵（为自然数）；(4)是广广义置换换矩阵,这里的的,(5)是广广义置换换矩阵,这里的的是置换换矩阵；(6)或（）是是对称正正定的广广义置换换矩阵. 证证明 (1)(2) 显然成成立.(1)(33) 因因为,故为广广义置换换矩阵.(1)(44) 因因为,故故为广义义置换矩矩阵.(1)(55) 因因为,故故为广义义置换矩矩阵.(1)(66) 因因为,故故 为为广义置置换矩阵阵且为非非奇异的的,则还还为正定定的. (2)(33) 因因为得证证.(3)(44) 因因为所以以是广义义置换矩矩阵,故故得证.(4)(55) 因因为,所所以,所所以是广广义置换换矩阵,所以得得证. (5)(66) 因因为,所所以,所所以是广广义置换换矩阵,所以,所以为为对称的的,非奇奇异,故故还为正正定.3.2广义义置换矩矩阵的判判定 本本节首先先给出广广义置换换矩阵的的等价定定义并给给出两个个广义置置换矩阵阵的判定定定理.定义1我们们设代表表阶矩阵阵,这里里的,如果存存在 ,那么就称称为广义义置换矩矩阵.引理1令为为一个阶阶可逆矩矩阵,一一个维的的非负向向量,它它有唯一一一个正正分量,如果. 证证明 (1)设设至少有有一个正正分量,否则,那么与与已知条条件相矛矛盾,所所以至多多有一个个正分量量.(22)可设设有两个个或两个个以上正正分量,可分别别设为,由条件件可得到到下列式式子成立立 由于可知,则 为奇奇异矩阵阵,与可可逆矛盾盾. 综上,则有有唯一的的一个正正分量. 定定理1 如果是是广义置置换矩阵阵存在置置换矩阵阵和正对角角矩阵使使得. 证证明 ()已知知 ,所所以, 故为广广义置换换矩阵.()因为并并且存在在,所以以每一列列只含有有一个正正元素,有因为为可逆,则,所所以得每每一行只只含有一一个正元元素,所所以有置置换矩阵阵和正对对角矩阵阵使得,故故有. 定定义2对任意意的阶实实矩阵,如果与与都为正对对角矩阵阵,我们们称为广广义正交交矩阵. 定定理2 如果是是广义置置换矩阵阵为非负负的广义义正交矩矩阵.证明 ()为非负负的正交交矩阵,则且为为广义正正交矩阵阵,则 和都为正正对角矩矩阵,易易推出是是广义置置换矩阵阵.()是广义义置换矩矩阵,则则存在置置换矩阵阵和正对对角矩阵阵使得,使使得和都是正正对角矩矩阵,故故为非负负的广义义正交矩矩阵.4置换矩阵阵的应用用4.1置换换矩阵在在矩阵行行列式变变换中的的应用定义3我们们交换阶阶单位阵阵的任意意行（或或列）,从而得得到的矩矩阵为阶阶置换矩矩阵.令令是阶单位位阵交换换第,第第两行（或或两列）而而得出的的置换矩矩阵.定理3 置置换矩阵阵左或右右分别乘乘以,相相当于交交换了的的第两行行或两列列.证明 设 则可以得到到如果 则有 例例8 设设为8阶阶置换矩矩阵,则则令 , 则得出第三行行与第六六行互换换. 定定理4 如果是是阶置换换矩阵,那么也也是阶置置换矩阵阵. 例例9 则也为阶置换换矩阵.4.2置换换矩阵在在模糊交交换矩阵阵中的应应用 定定理5 如果是是阶置换换矩阵,那么左左（右）乘乘以模糊糊矩阵,也就是是交换矩矩阵的几几行（列列）. 从从而引出出如下定定义 定定义4如如果存在在,当时,我们称称叫做模糊糊交换矩矩阵.记记做这里里的,分别为为阶和阶置置换矩阵阵. 例例10 设 , , 则那么叫做的的模糊交交换矩阵阵.记定理6 如如果,那那么是的模糊糊交换矩矩阵的充充要条件件是是的模糊糊交换矩矩阵.证明 必要要性 因因为,所所以存在在分别为为阶和阶置置换矩阵阵,则有有,又由由于也为为阶和阶置置换矩阵阵,那么么,故.同理可证得得充分性性. 定定义5如如果是阶置换换矩阵,并且有有是非零模模糊阵,则叫做做的强模模糊交换换矩阵. 定定理7 如果它它是对称称的充要要条件是是的强模糊糊交换矩矩阵也是是对称的的. 证证明 ()令为阶置换换矩阵,根据定定义有是是的模糊糊交换矩矩阵,又又因为,所以得得强交换换阵对称称,必要要性得证证.()令,这这里的是是阶置换换矩阵,并且,则有,又因为为,故是对对称的,充分性性得证. 定定理8 如果,那么是是的强模糊糊交换矩矩阵的充充要条件件是是的强模模糊交换换矩阵.证明 ()令为阶置换换矩阵,并且有有,因为为是阶置换换矩阵,故也为为阶置换换矩阵,则有,所以是是的强模模糊交换换矩阵.同理充分性性可证.5结束语 本本文介绍绍了置换换矩阵,对称置置换矩阵阵,广义义置换矩矩阵的定定义、性性质及证证明,探探讨了广广义置换换矩阵的的判定方方法,讨讨论了置置换矩阵阵在矩阵阵的行列列式变换换和模糊糊交换矩矩阵两个个方面的的应用.在定义义方面,本文主主要介绍绍了置换换矩阵和和广义置置换矩阵阵的定义义及等价价定义；在性质质方面,介绍了了置换矩矩阵和广广义置换换矩阵的的基本性性质,给给出了证证明过程程,并通通过具体体事例加加以说明明；在应应用方面面,探讨讨了置换换矩阵在在矩阵行行列式变变换和模模糊交换换矩阵中中的应用用.置换换矩阵在在代数学学,经济济学等领领域有很很重要上上的应用用,其应应用性质质有待进进一步研研究. 致谢语 感谢谢高玉峰峰老师在在论文写写作过程程中对我我的热心心帮助和和悉心指指导,也也感谢帮帮助我的的同学们们！ 参考文献 1夏祖勋勋,陈国勋勋.布尔尔矩阵的的特例置换矩矩阵JJ.镇江船船舶学院院学报,19886,1:774-779. 2晏晏林.广广义置换换矩阵J.陕西师师范大学学学报（自自然科学学版),20002,(300):660-662.3罗汉汉,邓远北北.广义义置换矩矩阵的性性质JJ.湖南大大学学报报,19991,1(118):94-97.4王鸿鸿绪,潘杰.关于置置换矩阵阵的注J.辽阳石石油化工工高等专专科学院院学报,20001,3(117):54-57.5陈景景林,董会英英.关于于矩阵的的特征值值J.首都都师范大大学学报报(自然然科学版版),20002,4(223):22-23.6周积积团.矩矩阵方程程PX=XQ的的解JJ.广东工工学院学学报,119966,1(113):23-27.7杨正正民,勒宝琳琳.主对对角线全全为零的的置换模模式矩阵阵的惯量量J.太原原师范学学院学报报(自然然科学报报),20006,2(55):449-551.10.1.202203:3503:35:5122.10.13时35分3时35分51秒10月. 1, 221 十月 20223:35:51 上午03:35:512022年10月1日星期六03:35:51