几何与代数课件：lec21 特征值与特征向量的性质-讲义提纲

教学内容和学时分配教学内容和学时分配221 1TTyA AA b 1TTAyA A AA bPb 1TTPA A AA 2112121222212nnnnnaa aa aa aaa aAEa aa aa 2112112100nnaaaaaa aa a 121211120000inininaiaiaa aa acc 112,iiarrain 1nT 所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根),T 211211221222212000,000nnnnnnaa aa aaaaa aaa aAa aa aa 121100,010001n 1r A 10a 21aa 31aa 1naa 1111,nnkk 11,nkk 此时，线性无关的特征向量只有一个此时，线性无关的特征向量只有一个.T T T T T注意到注意到TTA 所以所以 即为即为A的对应特征值的对应特征值 =T 的的特征向量特征向量.0nkk所以只要找一个非零向量满足上述方程即可所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.则对应则对应 =T 的的特征向量为特征向量为(EA)=有有非零非零解解|EA|=0 是是方阵方阵A的一个特征值的一个特征值.A为方阵为方阵,不是不是A的特征值的特征值 (E A)可逆可逆.设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为 2,1,4,则则可逆的矩阵可逆的矩阵:(A)E A(B)4E A(C)2E A(D)2E+A若方阵若方阵A不可逆不可逆，则，则A的一个特征值为的一个特征值为()()0若方阵若方阵A满足满足A2=2A,0不是不是A的特征值的特征值,则则A=A可逆可逆A=2E先解先解|EA|=0,求求;将将 代入代入(EA)=,求求非零通解非零通解.0,s.t.A =EA不可逆不可逆 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 a22 ann11()nnniiia 11()+1nnnniiiaA 二二.性质性质 11()+1nnnniiiEAaA 111()+1nnnnniiiiEA 11,nniiiitr fAffAf设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,2,3,则则 trB=?*2BEA 11 5 3=19 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为2,1,1,则则1?AA1522102AA 2010110101001A2AEO fA 21fxx 21fxx2TTTAA 21niitrAa 所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值 满足满足0,T 20T 所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值2112121222212,nTnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa 所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根),T T 00T 二二.性质性质 0,s.t.A =.(EA)=有有非零非零解解 是是方阵方阵A的一个特征值的一个特征值|EA|=0 EA不可逆不可逆二二.(A)1(2,3,4)2(1,2)(B)3(2),4,5,6,8,13,1411120111nnnFFFF0111A1lim?nnnFF1limnnnFF