有理函数与三角函数的积分

有理函数与三角函数的积分,一、最简单的有理函数的积分,1、,2、,3、,、,二、一般有理函数的积分,1、定义：,两个多项式的商表示的函数称为有理函数,其中m、n 都是非负整数，,及,都是实数，且,分子与分母没有公因式,是真分式；,是假分式；,2、 假分式可化成一个多项式和一个真分式之和。,如,3、真分式可以化为部分分式之和。（难点）,多项式很容易实现积分，只需讨论真分式的积分。,（1）分母中若有因式,则可拆项为,（2）分母中若有因式,其中,真分式化为部分分式之和用的是待定系数法,则可拆项为,化为部分分式之和。,解：设,取,并将,例1、将,可根据等号两边同次项系数相等得到关于A、B、C的一元方程组求出系数，,也可代入特殊值来确定系数,代入方程,取,代入方程,取,代入方程,显然,有理函数化为部分分式之和，各项只会是三类函数的积分：, 多项式；,这三类函数的积分问题均已解决, 且原函数都是初等函数.,所以有理函数的原函数都是初等函数,例2、求,解：,例3、求,解：,例4、求,解：令,式，可换元成有理函数的积分。,三、有理三角函数的积分,万能（置换）公式,例5、求积分,解：,则,解(一):,例6、求积分,解(二):,分部积分,结论：,万能置换不一定是最佳方法, 三角有理式的计算中应先考虑其它手段, 不得已才用万能置换。,例7、 求积分,解：,1、有理式化成真分式，再分解成部分分式之和逐项积分。,2、三角有理式可采用万能公式化为有理式积分。,四、小结,（分解后的部分分式必须是最简分式）,练 习 题 五 （4）,求下列不定积分：,答案,练 习 题 五 （4）答 案,