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第七节函数与方程,1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y(x)(xD)，把使 成立的实数x叫做函数y(x)(xD)的零点 (2)几个等价关系 方程(x)0有实数根函数y(x)的图象与 有交点函数y(x)有 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是(x)0的根,(x)0,x轴,零点,(a)(b)0,(a，b),(c)0,2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 的函数y(x)，通过不断地把函数(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)用二分法求函数(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证 ，给定精确度； 第二步，求区间(a，b)的中点x1；,(a)(b)0,一分为二,零点,(a)(b)0,第三步，计算 ： 若(x1)0，则x1就是函数的零点； 若 ，则令bx1(此时零点x0(a，x1)； 若 ，则令ax1(此时零点x0(x1，b)； 第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步,(x1),(a)(x1)0,(x1)(b)0,（1）函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗？ （2）是否任意函数都有零点？ 提示：（1）函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. (2)并非任意函数都有零点，只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.,1函数(x)x23x4的零点的个数是() A1 B2 C3 D以上都不对 【解析】 (x)0，即x23x40的根是x4或x1，函数(x)0有两个零点 【答案】B,2函数(x)ln x 的零点所在的大致区间是() A(1,2) B(2,3) C(e，3) D(e，) 【答案】B,【解析】 (2)(3)0. 故零点所在区间为(2,3),3函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(),【解析】B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件 【答案】B,4用二分法求函数(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得(x)3xx4的一个零点的近似值(精确到0.01)为_ 【解析】由表中(1.562 5)0.003，(1.556 2)0.029，可知零点近似值为1.56. 【答案】1.56,5函数(x)x 的零点个数为_ 【答案】2,【解析】 方法二：在同一直角坐标系中画出yx与y的图象，观察其交点的个数，显然为2个,零点的判断,判断下列函数在给定区间是否存在零点 (1)(x)x23x18，x1,8； (2)(x)log2(x2)x，x1,3 【思路点拨】第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解,【自主探究】方法一： (1)123118200， (1)(8)0， 故(x)x23x18，x1,8存在零点 方法二：令(x)0得x23x180，x1,8 (x6)(x3)0， x61,8，x31,8， (x)x23x18，x1,8有零点,(2)方法一：(1)log231log2210， (3)log253log2830， (1)(3)0， 故(x)log2(x2)x，x1,3存在零点 方法二：设ylog2(x2)，yx，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1x3时，两图象有一个交点， 因此(x)log2(x2)x，x1,3存在零点,【方法点评】函数零点的存在性问题常用的方法有： 1解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断 2用定理：零点存在性定理 【特别提醒】如果函数y(x)在a，b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但(a)(b)0不一定成立 3利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y(x)，yg(x)图象，其交点的横坐标是(x)g(x)的零点,1判断下列函数在给定区间上是否存在零点 (1)(x)x31； (2)(x) x，x(0,1),【解析】(1)(x)x31(x1)(x2x1)， 令(x)0，即(x1)(x2x1)0，x1， (x)x31有零点1.,(2)方法一：令(x)0得 x0， 0， x1，而1(0,1)， (x) x，x(0,1)不存在零点 方法二：令y ， yx，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当0x1时，两图象没有交点,故(x) x，x(0,1)没有零点,二分法求零点,用二分法求函数(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精度度0.1) 【分析】依据二分法求函数(x)的零点近似值的步骤 【自主探究】由于(1)11110， (x)在区间1,1.5存在零点， 取区间1,1.5作为计算的初始区间，,用二分法逐次计算列表如下： |1.3751.312 5|0.062 50.1， 函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.312 5,1.375内，故函数零点的近似值为1.312 5.,【方法点评】 1.求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值 2精确度与精确到是两个不同概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解,2求方程2x4x4的一近似解(精确到0.1) 【解析】原方程即为 2x4x40，令(x)2x4x4. (0)2040430，(0)(1)0， 函数在区间(0,1)内有零点x0，取区间(0,1)的中点x10.5， 用计算器可得(0.5)0.59.,因为(0.5)(1)0，所以x0(0.5,1)， 再取(0.5,1)的中点x20.75， 用计算器可得(0.75)0.68，因为 (0.5)(0.75)0，所以x0(0.5,0.75)， 同理可得x0(0.5,0.625)，x0(0.562 5,0.625)， 由于|0.6250.562 5|0.062 50.1， 此时区间(0.562 5,0.625)的两个端点精确到0.1的近似值都是0.6，所以原方程精确到0.1的近似解为0.6.,与二次函数有关的零点分布问题,(1)何值时，(x)x22mx3m4 有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大； (2)若函数(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围 【思路点拨】(1)二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；(2)利用函数图象求解 【自主探究】(1)若函数(x)x22mx3m4有且仅有一个零点， 则等价于4m24(3m4)0， 即4m212m160，即 m23m40 解得m4或m1.,方法一：方程思想 若(x)有两个零点且均比1大， 设两零点分别为x1，x2， 则x1x22m，x1x23m4， 故m的取值范围是m|5m1,方法二：函数思想 若(x)有两个零点且均比1大， 结合二次函数图象可知只需满足 m的取值范围是m|5m1,(2)若(x)|4xx2|a有4个零点， 即|4xx2|a0有四个根， 即|4xx2|a有四个根， 令g(x)|4xx2|，h(x)a. 则作出g(x)的图象， 由图象可知要使|4xx2|a有四个根， 则g(x)与h(x)的图象应有4个交点 故需满足0a4，即4a0. a的取值范围是(4,0),【方法点评】此类方程根的分布问题通常有两种解法： 1一是方程思想利用根与系数的关系 2函数思想构造二次函数利用其图象分析，从而求解，本题中(2)没有用方程思想的原因是较为复杂，本题体现了函数与方程思想、数形结合思想的具体应用,3已知函数(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小；求实数a的取值范围 【解析】方法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系得(a2)(a21)10， 即a2a20， 2a1.,方法二：函数的大致图象如图所示，则有(1)0， 即1+(a2-1)+a-20，a2+a-20，-2a1.,1(2009年福建高考)若函数(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则(x)可以是() A(x)4x1 B(x)(x1)2 C(x)ex1 D(x)ln,【解析】4个选项中的零点是确定的 又g(0)4020210， g(x)4x2x2的零点介于 之间从而选A. 【答案】A,2(2009年重庆高考)已知以T4为周期的函数(x) 其中m0，若方程3(x)x恰有5个实数解，则m的取值范围为(),【解析】对于方程3(x)x可化为(x)f(x,3) 构造函数, 它们恰有5个交点，y1周期T4.其中y1可化为分段函数，当1x1时，为 x21上半部分；当1x2时，为yx1；当2x3时，为yx3. y2 为一条过原点的直线如图要使它们适合题意，需使ly 与曲线C2(如图)有两交点，与C3没有交点,【答案】B,3.(2009年山东高考)若函数(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_ 【解析】函数(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，01.,【答案】(1，),4.(2008年广东高考)已知aR，若关于x的方程x2x |a|0有实根，则a的取值范围是_,【解析】,【答案】,5.(2008年湖北高考)已知函数(x)x22xa，(bx)9x26x2，其中xR，a，b为常数，则方程(axb)0的解集为_ 【解析】(bx)b2x22bxa9x26x2， a2，b29且2b6，b3. (axb)(2x3)又由(x)(x1)21， (x)0无实数解，方程(axb)0也无实数解 【答案】,1.函数零点个数(方程(x)0的实根个数)的确定方法 (1)判断二次函数(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2bxc0的实根个数一般地由判别式0，0，0完成 (2)对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图象进行 (3)对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要用在闭区间a，b上是连续曲线，且(a)(b)0，还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有多少个零点方程有几个实根,2.利用二分法求方程近似解的方法 给定精确度，用二分法求函数(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间a，b验证(a)(b)0，给定精确度. (2)求区间(a，b)的中点x1. (3)计算(x1),若f(x1)0则x1就是函数的零点 若(a)(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1) 若(x1)(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b) (4)判断是否达到精确度及其，即|ab|，则得零点近似值a(或b)，否则重复以上步骤 3.对函数零点存在的判断中，必须强调 (1)(x)在a，b上连续，(2)(a)(b)0. 事实上，这是零点存在的一个充分不必要条件,课时作业 点击进入链接,
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