第二章轴向拉伸和压缩

第二章 轴向拉伸和压缩 知识要点1.轴向拉伸(压缩)的力学模型构件特征构件为等截面直杆。受力特征外力或外力的合力作用线与构件的轴线重合。变形特征杆件轴线在受力后均匀伸长(缩短)，即杆件两横截面沿杆轴线方向产生相对的平行移动。2轴向拉伸(压缩)时，横截面上的内力轴力(1)内力的定义 由外力作用引起的构件内部相互之间的作用力。(2)截面法 截面法是求内力的一般方法。在需求内力的截面处，用一假想平面，沿该截面将杆件截开，取其一部分，将弃去部分对留下部分的作用，代之以内力，然后考虑留下部分的平衡，由平衡条件求出该截面上的未知力。(3)轴力 轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以表示，沿杆件轴线方向。(4)轴力的正负号规定 以拉力为正，压力为负。(5)轴力图 表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化规律的图线。3轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力(1)应力的定义由外力作用所引起的内力密度。(2)应力的特征应力被定义在物体的假想平面或边界上的一点处。应力的量纲为单位面积上的力，应力的单位为，或记做Pa(3)轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力应力分布规律：对于等截面直杆，正应力在整个截面上均匀分布计算公式： 4轴向拉伸(压缩)时，斜截面上的应力(1)斜截面上的应力正应力 切应力 (2)最大、最小应力 ， ， 5。轴向拉伸(压缩)时的强度低碳钢的静拉伸试验弹性变形与塑性变形a弹性变形：解除外力后，能完全消失的变形。b塑性变形：解除外力后，不能消失的永久变形。变形的四个阶段弹性变形阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。力学性能指标a. 强度指标：比例极限-应力和应变成正比时的最高应力值弹性极限-只产生弹性变形的最高应力值。屈服极限-应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值。强度极限-材料在断裂前所能承受的最大应力值。 b弹性指标：弹性模量E= c塑性指标：延伸率 截面收缩率 d冷作硬化：材料经过预拉至强化阶段，卸载之后，再受拉力时,呈现比例极限提高，塑性降低的现象。 (2)轴向拉伸(压缩)时的强度条件构件的最大应力不得超过材料的许用应力 许用应力是材料容许承受的最大工作应力 强度计算的三类问题 强度较核 截面设计 许用荷载计算 (由计算) 6轴向拉伸(压缩)时的变形与位移 (1)变形的定义 受力物体形状改变时,两点之间线距离或两正交直线之间夹角的改变，前者称为线变形，后者称为角变形。 (2)轴向拉(压)时的变形 纵向变形 纵向应变 胡克定律 或 胡克定律的适用条件.应力不超过材料的比例极限，即材料处于弹性范围；.在计算的长度范围内，,均为常数。横向变形 横向应变 泊松比 ,恒为负值 位移的计算 受力物体形状改变时，相对于某参考坐标系，线距离，或一线段方向改变的角度，物体上一点位置改变的直线距离，或一线段方向改变的角度。 位移的计算 选取参考坐标系。计算杆件的变形量。根据变形的相容性(变形相容的条件)作位移图(或结构的变形图),由位移的几何关系计算位移值。 习题详解1 试求下图所示各杆11和22横截面上的轴力，并作轴力图。 解 如图所示。解除约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号。轴力图是平行于杆轴线的直线。轴力图线在有轴向力作用处，要发生突变，突变量等于该处作用力的数值。对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题图所示。截面1和截面2上的轴力分别为和 。解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图、所示。截面1和截面2上的轴力分别为 ， 解题步骤与相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。2 试求题图所示等直杆横截面11、22和33上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，试求各横截面上的应力。 解 如图所示。首先解除杆的约束，代之以约束反力，利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。然后作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号，凡与外法线指向一致的力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴的直线，在有轴向外力作用处，轴力图将发生突变，对应于正的外力，轴力图将向上跳，对应于负的外力，轴力图将下跌，上跳或下跌的量，等于对应的外力数值。轴力图如图所示。截面1上的轴力，截面2上的轴力。各横截面上的应力分别为 3 试求图所示阶梯状直杆横截面l1、22和33上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，并求各横截面上的应力。 解 如图所示。首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号：凡指向与外法线的正向相同者，标以正号，反之标以负号，如图所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变量等于对应处的外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上跳和下跌量与对应的外力数值相等，如图所示。由轴力图可知，截面1-1上的轴力，截面2-2上的轴力，截面3-3上的轴力。 各截面上的应力分别为4 如图所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。试求拉杆和横截面上的应力。解 作受力图解除图所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图，如图所示 求支座反力 利用静力学平衡原理， ， ， 及可得 ， (3)计算拉杆的轴力取半个屋架为研究对象，作受力图，如图所示，由静力学平衡方程， 及，得 计算拉杆的轴力取铰接点 为研究对象，作受力图，如图所示，由静力学平衡方程 ， 及，得(5)计算拉杆和横截面上的应力查文献1中附录型钢表，等边角钢的截面积，所以拉杆和横截面上的应力5 石砌桥墩的墩身高 。其横截面尺寸如图所示。如荷载，材料的密度，试求墩身底部的横截面上的压应力。解 (1)计算桥墩自重由桥墩高，材料密度，横截面面积 可得桥墩自重 (2)计算桥墩底部截面上的轴力解除地面对桥墩的约束，代之以约束反力，如图所示，则桥墩的轴力等于约束反力，并有 (3)桥墩底部横截面上的压应力 （压）6 如图所示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。解 拉杆横截面上的正应力应用斜截面上的正应力和剪应力公式可得它们的方向被分别表示在图、和中。7 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积和材料的弹性模量。试作轴力图，并求杆端点的位移。 解 首先解除约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。再以杆左端的外法线为标准，将受力图中各外力标以正负号，凡与的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴线的直线，在有外力作用处，轴力图线发生突变，突变量等于对应外力的数值，对应于正号的外力，轴力图上跳，对应于负号的外力，轴力图下跌，如图所示。根据轴力图，应用胡克定律，计算杆端的位移为 8 一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量。如不计柱的自重，试求： 作轴力图；(2)各段柱横截面上的应力；(3)各段柱的纵向线应变；(4)柱的总变形。 解 (1)作轴力图 解除处约束，代之以约束反力，应用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。以截面的外法线为标准，将受力图中各力标以正负号，凡是和的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号，自下向上画轴力图。轴力图是平行于木桩轴线的直线，在有外力作用处，将发生突变，突变量等于对应的外力数值，对应正号的外力，轴力图向右突变，对应负 号的外力，轴力图向左突变，如图所示。 (2)计算各段柱横截面上的应力 。(3)计算各段柱的线应变 应用胡克定律，各段柱的线应变为 (4)计算柱的总变形 9 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。 解 解法一 应用胡克定律确定材料的弹性根据轴向拉伸杆的应力公式，杆横截面上的应力为 解法二 先计算杆的应力和应变再应用胡克定律确定材料的弹性模量E=10 (1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方向的线应变 (2)一根直径为的圆截面杆，在轴向拉力作用下，直径减小，如材料的弹性横量，泊松比，试求轴向拉力(3)空心圆截面钢杆，外直径，内直径，材料的松比。当其受轴向拉伸时，已知纵向线应变，试求其壁厚。解 (1)设圆截面的直径为，则其周长，在轴向力作用下，其径向线应变为周向线应变为 所以，证明了径向线应变等于周向线应变，即 由波松比的定义及，可得 应用胡克定律可确定圆截面上的应力 所以，轴向拉力 (3)由纵向线应变和泊松比可计算出径向线应变 受拉伸后，空心圆截面的内、外直径分别变为所以，变形后的壁厚 11受轴向拉力作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数，试求与两点的距离改变量。解 解法一 变形前，两点间的距离为横截面上的应力 杆的纵向应变 杆的横向应变 变形后变为，变为，与两点间的距离 变形后之间距离改变量解法二 变形前两点间的距离为横截面上的正应力 杆的纵向应变 杆的横向应变 变形后两点间距离的改变量可12如图所示的结构中，为水平放置的刚性杆，杆的 材料相同，其弹性模量，已知，。试求点水平位移和垂直位移。解 解法1 将杆截开，三杆内的轴力分别为，如图所示，利用静力学原理可得， 可得 ，因杆不受力，所以在外力作用下，杆不变形，只是随杆的变形而绕铰接点作刚体转动，如图所示。杆和的伸长相同，由胡克定律有 变形后，刚性杆平行移动至位置。因此，只要确定了点的位置，刚性杆的新位置也就确定，从而力的作用的新位置，也可确定。严格地说点应是以点为圆心，以杆即为半径划圆弧，与以点为圆心，以杆变形后的长度即为半径划圆弧的交点。但由于是小变形，应用威里奥特图解法，点可由过点的垂线，与过点，的垂线，二垂线的交点便确定了点，如图所示。由图中几何关系可知，点的垂直位移等于其水平位移，等于杆的伸长量。由于刚性杆因杆和的变形只作刚体平移，所以力的作用点的垂直位移和水平位移与点的位移相同，即 垂直位移朝下，水平位移向右。解法二 应用卡氏定理 因外力作用点处，无水平力作用，所以计算点的水平位移时，须在点加一水平虚荷载，其数值等于零，如图所示。利用静力学平衡条件， ， 可得各杆的轴力 ， 结构的总应变能 应用卡氏定理，点的水平位移将代入上式，得 计算点的垂直位移时，对图利用静力学平衡条件， ， 可得各杆的轴力 ， 结构的总应变能 应用卡氏定理，点的垂直位移 13 如图所示的实心圆钢杆在点以铰相连接，在点出作用有垂直向下的力。已知干的直径分别为，钢的弹性模量。试求点在铅垂方向上的位移。解 解法一 应用卡氏定理 取铰接点作为研究得对象，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件， 可求得各杆和的轴力分别为 ，杆系的应变能应用卡氏定理，力的作用点的垂直方向位移 解法二 单位荷载法(1)计算荷载产生的轴力。步骤同解法一，(2)计算单位荷载产生的轴力。取铰接点为研究对象，在点作用以单位荷载，如图所示。则由静力学平衡条件可得杆的轴力点的铅垂位移 解法三 应用功能转换原理计算杆的轴力，步骤与解法一相同，。设在外力作用下，点的铅垂方向的位移为，则外力作功为 二杆的应变能之和为由功能转换原理，有显然，这一结果与解法一和解法二相同。解法四 威里奥特图解法(1)利用静力学平衡条件可得二杆内的轴力(2)计算杆和的伸长。利用胡克定律，有(3)应用威里奥特图解法，分别过杆和伸长后的点和，作二杆的垂线，相交于点，再过点作水平线，与过点的铅垂线相交于点，则，便是点的铅垂位移，如图所示。由图中的几何关系 ， 可得 ， ， 所以点的铅垂位移 14如图所示和两点之间原有水平方向的一根直径为的钢丝，在钢丝的中点加一竖直荷载。已知钢丝产生的线应变为，其材料的弹性模量，钢丝的自重不计。试求：(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律)；(2)钢丝在点下降的距离；(3)荷载的值。 解 设钢丝未加荷载前长，加荷载后，点下降，钢丝内轴力为，则段和段的伸长量都是 二段伸长后的长度均为 由图所示的几何关系有式中，为钢丝的伸长应变，其数值甚小，所以项为高阶微量，与项相比，可以略去不计，故上式可近似写为 对图应用静力学平衡条件 ，可得 由于角很小，可近似地用代替，即 将式代入式 ，得 将式代入式，得点的下降距离 由上式可得 已知钢丝的应变 所以有 钢丝横截面的应力 将式代入式，得点的下降距离由式 ，可得荷载15 如图所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解 设距左端处的截面面积为，直径为，其上的轴力为，如图所示。显然，根据图所示的几何关系，有 所以 应用胡克定律，杆的伸长量 16 有一等截面的钢杆承受轴向拉力 ，已知杆的横截面积，材料的弹性模量，试求杆中所积蓄的应变能。 解 杆中的应变能为17 如图所示，两根杆和的材料相同，其长度和横截面面积也相同。杆承受作用在端点的集中荷载；杆承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度为。试比较这两根杆内积蓄的应变能。解 (1)计算杆的应变能因杆的轴力是常数，所以，应变能 (2)计算杆内的应变能 杆任意横截面上的轴力不再是常数，如图所示，它是截面位置坐标的函数 所以应变能 杆和内积蓄的应变能之比为18如图所示的是一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为力为。如提升闸门的钢质丝杠内径为，钢的许用应力，试校核丝杠的强度。解 丝杠内的轴力，所以丝杠 内的应力 丝杠的工作应力，所以安全。19 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆用两根不等边角钢组成，钢的许用应力。试问在提起重量为的重物时，斜杆是否满足强度条件? 解 取滑轮中心为研究对象，假设缓慢、均匀地拉链条，则拉力等于被起重物的重量，受力图如图所示。利用静力学平衡条件 得 查文1献中附录型钢表，的不等边角钢的截面积，所以，斜杆横截面上的应力工作应力，所以安全。20 如图所示，一块厚、宽的旧钢板，其截面被直径的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线。钢板承受轴向拉力。材料的许用应力，试校核钢板的强度。解 假想用一平面将钢板从圆孔处截开，在被削弱的截面上的应力合力必等于外力，如图所示。钢板内的轴力，危险截面即被削弱的截面面积 钢板内的 最大的应力为因最大应力，所以安全。21 一结构受力如图所示，杆件均有两根等边的角钢组成。已知材料的许用应力，试选择角钢的型号。解 计算杆件的内力，并选择角钢的型号将结构拆成三部分，如图所示。对图列静力学平衡方程， 解上式，得 杆的轴力为，根据强度条件 杆的截面应为查文献1中附录型钢表，的等边角钢截面积为，两根的截面积，所以，杆可选两根的等边角钢。 (2)计算杆内的应力，并选择角钢型号 对图，利用静力学平衡条件 可得 根据强度条件 可得杆的截面应为查文献1中附录型钢表，的等边角钢截面积为，两根的截面积，所以，杆选用两根的等边角钢。 22 一桁架受力如题图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择杆和的角钢型号。解 (1)计算杆和的轴力首先取桁架整体为研究对象，解除支座约束，代之以约束反力、作受力图，如图所示。因结构和荷载均对称，所以利用静力学平衡条件，可很容易地确定支座反力 再取结点为研究对象，作受力图，如图所示，利用静力学平衡条件 可的杆轴力 最后取结点为研究对象，作受力图，如图所示。由静力学平衡条件 可得杆的轴力 (2)计算杆所需的截面积根据强度条件 杆和需要的截面积分别为 (3)选择杆和的角钢型号 查文献1中附录型钢表，的等边角钢截面积为，的等边角钢的截面积为，所以杆选用两根的等边角钢，杆选用两根的等边角钢。23 一结构受力如题图所示，杆件、都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力，材料的弹性模量，杆及可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点，处的位移。解 (1)计算杆、的轴力 将结构拆成两部分，解除约束，代之以约束反力，分别作受力图，如图、所示。对题图利用静力学平衡条件， ， 可得杆和的轴力分别为 再对图应用静力学平衡条件， ， 可得杆和的轴力分别为 (2)依据强度条件计算4根杆需要的截面积(3)选择各杆应选用的不等边角钢的型号 查文献1中附录型钢表，的不等边角钢的面积，不等边角钢截面积，的不等边角钢截面积为，所以，杆可选用两根的不等边角钢，杆可选用两根的不等边角钢，杆和均可选用两根的不等边角钢。24 已知混凝土的密度，许用压应力。试按强度条件确定如图所示的混凝土柱所需的横截面面积和。若混凝土的弹性模量，试求柱顶的位移。 解 (1) 确定柱的横截面面积 在确定柱的段截面积时，可距柱顶截取任意长度为的一段作为研究对象，作受力图，如图所示，柱段任一横截面上的轴力为。柱段的危险截面为截面，该截面上的轴力为，根据强度条件 可确定截面的面积 解上式得 在 确定柱的段的横截面积时，可自截面以下处，将柱截开，作受力图，如图所示，柱段任一横截面上的轴力为，柱段的危险截面在处，根据强度条件，可确定截面的面积解上式，可得 计算柱顶的位移因柱的轴力是横截面位置坐标的函数。所以柱的变形应利用胡克定律的积分形式计算，即 所以，柱顶的位移为 25 刚性梁用两根钢杆悬挂着，受力如图所示。已知钢杆的直径分别为和，钢的许用应力，弹性模量。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形，及两点的竖直位移。 若荷载作用于点处，试求点的竖向位移。（计算表明，事实上这实线弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。）解 校核钢杆的强度解除点的约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。应用静力学平衡条件 ， ， 可得 杆件和内的应力分别为杆和内的应力均小于许用应力，故安全。(2)计算钢杆和的变形及点的竖直位移应用胡克定律，钢杆和的变形分别为 点和的竖直位移分别为 ， (3)如图所示，若将荷载作用于处，则荷载全部由杆承担，所以，点的位移便是点的位移，并有计算在此情况下点的位移。由可得 显然，与第一种情况下点的位移相等。26 如图所示的三铰拱屋架的拉杆用锰钢杆制成。已知此材料的许用应力，弹性模量。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。 解 首先将三铰拱屋架简化为图所示的力学模型，并解除处的约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件， ， ， 可得支座反力 ， 为了计算拉杆的轴力，取半个屋架为研究对象 ，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件， 可得拉杆的轴力根据强度条件可确定拉杆的直径 应用胡克定律，钢拉杆的伸长 27 简单桁架及其受力如图所示，水平杆的长度保持不变，斜杆的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：(1)两杆的夹角值；(2)两杆横截面面积比值。解 取点为研究对象，作受力图，如图所示。由静力学平衡条件 ， ， 可得， 当两杆的内力同时达到许用应力时，有将和的表达式代入以上两式，得 ，构成桁架的两杆的总体积 体积是角的函数，使体积最小的条件是所以有 故结构的总体积最小时，角，体积最小时，结构的重量也最小。两杆的横截面面积之比为28 如图所示，一内半径为，厚度为，宽度为的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分布的压力，试求：(1)由内压力引起的圆环径向截面上的应力；(2)由内压力引起的圆环半径的伸长。解 用一假想的平面，将圆环沿直径截开，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件 ，得 圆环径向截面上的应力 圆环圆周方向的应变 若在内压力作用下，圆环的直径伸长为，则圆环的周长增长了 或用圆环圆周方向的应变表示为 由式、得 ， 将代入上式，得 ， 所以内压引起的圆环半径的伸长为 41