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一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十八讲 函数的微分,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。,第四节 函数的微分,第四章 一元函数的导数与微分,一. 函数的微分,三. 二阶微分,微分的运算法则,四. 微分在近似计算中的应用,五.微分在误差估计中的应用,若 y = f (x) 在点 x0 处有(有限)导数, 则,现在反过来想一想：,若在 x0 点处 y = f (x) 的增量 y 可以,表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量,之和的形式,回忆复合函数求导法则中的一个定理,那么, 我们自然要问 A = ?,就是说, 在点 x0 处若可用关于自变量的增 量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时, 其关系式一定是 y = f (x0)x + o(x) 我们称 f (x0)x (或 Ax) 为函数在点 x0 处 增量的线性主部, 通常将它记为 dy = f (x0)x ( dy =Ax ).,微分,一. 函数的微分,1.微分的概念,y =Ax + o(x),此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。,设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量,x , 且 x0+x U(x0) 。,如果函数相应的增量可表示为,则称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数 。,2.可微与可导的关系,y = f (x0)x + o(x),dy = f (x0)x,也就是说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与,可导性是等价的 ,且 f (x) 在点 x0 处可微 ,则,解,什么意思？,自变量的增量就是自变量的微分：,函数的微分可以写成:,该例说明:,此外, 当 x 为自变量时, 还可记,即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的,微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也,可称为微商.,哈哈！除法, 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.,3. 微分的几何意义,微分的运算法则,1.微分的基本公式,微分的基本公式与导数的基本公式相似,微分公式一目了然, 不必讲了.,一阶微分形式不变性 ( 复合函数微分法则 ),在点 x0 处可微.,按微分的定义,但,故,说明什么问题？,我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的一阶微分形式不变性 .,解,故,由一阶微分形式不变性, 再来看 复合函数、反函数、参数方程等的求 导公式就会有另一种感觉：,解,三. 二阶微分,其二阶微分为,设函数 y = f (x) 二阶可导, 当 x 为自变量时,由此看出, 当 x 为自变量时,除法,类似可定义 n 阶微分:,注意这里 x 是自变量,具有这种不变性？,看一下二阶微分的情形：,性, 且可构成复合函数 y = f ( (t) , 则,设函数 y = f (x), x = (t) 都具有相应的可微,就是说, 二阶微分不具备微分形式不变性.,三. 微分在近似计算中的应用,函数增量的近似值：,函数值的近似值：,解,所以, 球的体积增量大约为,得,解,四.微分在误差估计中的应用,设某个量的精确值为 A, 它的近似值为 a,为 a 的相对误差.,A 为测量 A 的绝对误差限, 简称 A 的绝对误差.,为测量 A 的相对误差限, 简称 A 的相对误差.,则称:,| A a | 为 a 的绝对误差;,则称:,设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm ,测量 D 的绝对误差限 D0.05 mm ,试估计,计算圆钢的截面积时的面积误差,解,由于D 的绝对误差限 D0.05 mm, 所以,而,因此 , A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,已知测量 x 的绝对误差限为 x ,y 的绝对误差:,y 的绝对误差限约为,y 的相对误差限约为,即有,若根据直接测量的 x 值计算 y 值 ,
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