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一元微积分学,大 学 数 学（一）,第二十九讲 一元微积分的应用(二),脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中, 函数(曲线)的凹凸性、拐点、 函数图形的描绘,第六章 一元微积分的应用,本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。,一、曲线的凹凸性、拐点,二、曲线的渐近线,三、函数图形的描绘,第六章 一元微积分的应用,第三节 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘,我们说一个函数单调增加, 你能画出函数,所对应的曲线的图形吗?,.,.,一、曲线的凹凸性、拐点,它的图形的形式不尽相同.,一般说来, 对于一个区间上单调的函数的,图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线,的“上方”或“下方”的问题 .,简单地说 , 在区间 I 上 :,曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的;,曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.,定义,1. 曲线凹凸性的定义及其判别法,有何体会？,判别可微函数的凸凹性主要是对,进行比较.,有什么公式能把以上的函数值与函数的,二阶导数联系在一起呢?,泰勒 公式,结论是正确的, 我们是利用函数的连续,性将开区间内的结论延伸到了闭区间上.,以上过程实际上证明了下面的判别曲线,凹凸性的一个方法.,定理,该函数的图形 请自己绘出.,解,解,解,比较例3 和例4 , 发现使得曲线所对,的分界点 .,我们的兴趣 , 因为它可能是曲线凹凸性,应的函数的二阶导数等于零的点引起了,连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.,2. 曲线拐点的定义及判别法,定理,( 判别拐点的必要条件 ),定理,( 判别拐点的充分条件 ),根据拐点的定义立即可证明该定理 .,定理,( 判别拐点的充分条件 ),求拐点一般步骤,拐点,拐点,解,解,解,你清楚它们之间的联系吗?,画画图就能搞清楚.,中学就会求了.,若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无,限远离坐标原点时, 动点 P 到一直线 L 的距离,趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条,渐近线 .,二、曲线的渐近线,定义,水平渐近线,垂直渐近线,想想： 怎么求 a ,b ?,斜渐近线,解,解,曲线无水平渐近线,(函数间断),曲线有斜渐近线吗？,解,所以, 该曲线无水平渐近线和垂直渐近线 .,解,现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：,定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、,周期性、 连续性、 间断点、 可微性、,单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、,拐 点、 渐近线、 零点位置 .,用极限讨论函数的变化趋势 .,用泰勒公式将函数离散化 .,作函数图形的一般步骤如下：,(1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 .,(2) 求函数的一、二阶导数 ,(3) 列表 , 确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点 .,(4) 求曲线的渐近线 .,(5) 作出函数的图形 .,三、函数图形的描绘,确定极值可疑点和拐点可疑点 .,解,极大,拐点,曲线无水平渐近线 .,
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