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一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十一讲 无穷小量的比较,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第六节 无穷小量的比较,一. 无穷小量比较的概念,二. 关于等阶无穷小的性质和定理,等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.,x 0 时的几个无穷小量的比较：,有何想法？,证,所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) ., x 0 时,不可比较的无穷小.,不存在, 但不是无穷大,与 x 是,二. 关于等阶无穷小的性质和定理,1. 定理,定理,设在某一极限过程中,证,综上所述,限过程中的第三个变量.,2. 定理,定理,综上所述,证,设在某极限过程中, , , 则 .,3. 定理,定理,无穷小量可以用其等价无穷小量替代.,定理告诉我们:,在计算只含有乘、除法的极限时,如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误:,将常用的等阶无穷小列举如下:,当 x 0 时,求,解,求,解,求,解,求,解,求,和差化积,解,此题也可先在 分子处加 1 减 1,求,解,证明：若在某极限过程中0, 0,在某极限过程中, 若 , 则,且 0, 则 的充要条件是,证,故,由于,解,解,变量代换,四则运算,等价无穷小,解,连续两次使用等价无穷小替代.,等价无穷小替代,解,函数的性质,等价无穷小替代,重要极限,也可再用等价无穷小替代,请看下面的定理.,定理,解,利用初等方法进行变化, 使之能用等价无穷小替代.,解,解,解,由于,解,即,故 原级数,解,
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