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一元微积分学,大 学 数 学（一）,第六讲 常数项级数的审敛法,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第二章 数列的极限与常数项级数,本章学习要求：,第二章 数列的极限与常数项级数,第五节 常数项级数的审敛法,一.正项级数的审敛法,二.任意项级数的敛散性,一.正项级数的审敛法,1.正项级数的定义,若级数,则称之为正项级数.,定义,实质上应是非负项级数,2.正项级数收敛的充要条件,正项级数,Sn 有界.,定理,正项级数的部分和数列是单调增加的,单调有界的数列必有极限,理由,在某极限过程中有极限的量必界,级数,是否收敛？,该级数为正项级数, 又有,(n =1, 2, ),故 当n 1 时, 有,即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数,解,3. 正项级数敛散性的比较判别法,且 0 un vn ( n = 1, 2, ),大收小收, 小发大发.,记, 0 un vn (n = 1, 2, ), 0 Sn Gn,证 (1),证 (2),判断级数,的敛散性. ( 0 x 3 ),由于,又,由等比级数的敛散性可知：,原级数收敛.,解,讨论 P 级数,( p 0 ) 的敛散性.,当 p1时, P 级数为调和级数:,它是发散的.,当 0 p 1 时, 有,由比较判别法, P 级数此时是发散的.,解,当 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项,而,对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：,故当 p 1 时, P 级数收敛.,综上所述:,当 p 1 时, P 级数收敛.,当 p 1 时, P 级数发散.,4.比较判别法的极限形式,由于,( 0 + ),故 0, N 0, 当 n N 时,不妨取,运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.,证(1),当 0 + 时,由于,( = 0 ),取 =1 时, N 0, 当 n N 时,故由比较判别法, 当 = 0 时,证(2),由于,( = ), M 0 (不妨取 M 1) ,即,由比较判别法,证(3),故, N 0, 当 n N 时,当 = 时,0 vn un,判别级数,的敛散性 ( a 0 为常数).,因为,( 即 = 1 为常数 ),又,是调和级数, 它是发散的,发散.,解,原级数,故,解,由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：,5.达朗贝尔比值判别法,利用级数本身来进行判别.,即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：,解,需要讨论 x 的取值范围,综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.,解,这是一个正项级数:,单调增加有上界,以 e 为极限.,由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.,由级数收敛的必要条件得,利用级数知识求某些数列得极限.,解,达朗贝尔( DAiember Jean Le Rond )是法 国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎， 1783年10月卒于巴黎。 达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在 巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教 堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄 养在一工匠家里。,达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。 达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科 学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国 科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。,达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。 达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达 朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和 为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精 力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一 维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分 方程表示场。 达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友 勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔 去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬 礼。,6. 柯西根值判别法,解,记,解,即,当 x a 时,当 0 x a 时,当 x = a 时, = 1, 但,故此时原级数发散.,（级数收敛的必要条件）,二. 任意项级数的敛散性,1.交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数,或,其中, un 0 ( n = 1 , 2 , ).,它的一般形式为,定义,(莱布尼兹判别法),满足条件:,(1),(2) un un+1 ( n =1, 2, ),则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 .,(级数收敛的必要条件),定理,若交错级数,(单调减少),0 (由已知条件),证明的关键在于它的极限是否存在？,只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.,证,1) 取交错级前 2m 项之和,由条件 (2) ：,得 S2m 及,由极限存在准则：,un un+1, un 0,2) 取交错级数的前 2m +1 项之和,由条件1) :,综上所述, 有,讨论级数,的敛散性.,这是一个交错级数：,又,由莱布尼兹判别法, 该级数是收敛.,解,解,由莱布尼茨判别法, 原级数收敛.,微积分学的创始人之一,数学大师,莱布尼茨Friedrich. Leibniz (16461716年),莱布尼茨（Leibniz）,莱布尼茨 (16461716年) 是在建立微积分中唯一可以与 牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文 后，得到哲学学士学位。1666年以论文论组合的艺术获 得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。,1671年，他制造了他的计算机。1672 年 3月作为梅因兹 的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和 科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之 前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。,1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他 更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入 各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业 余生活的活动范围是庞大的。,除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史 学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数 学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工 作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的 著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保 持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。,他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学 中的发明和化学、生理学方面的发现 （ 1700 年柏林科学院成 立）。,莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他 的思想的发展，实际上都包含在他从1673年起写的，但从未发 表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从 一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所 用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的 书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方 式时所出现的简单思想。,1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书 中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目 的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪 曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都 揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。 特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分 （看作是和）必定是相反的过程；1676 年 6月 23日的手稿中， 他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ，其中 dy， dx 是变量 的差，dy/dx 是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而 且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸 好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。,1716年，他无声无息地死去。,2.任意项级数及其敛散性,(1) 级数的绝对敛和条件收敛,定义,定理,( 即绝对收敛的级数必定收敛 ),证, un | un |,从而,定理,(达朗贝尔判别法),解,由 P 级数的敛散性：,即原级数绝对收敛.,记,解,由达朗贝尔判别法：,解,由调和级数的发散性可知,但原级数是一个交错级数, 且满足：,故原级数是条件收敛, 不是绝对收敛的.,由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛.,(2) 绝对收敛级数的性质,性质1. 任意交换绝对收敛级数中各项的位 置, 其敛散性不变, 其和也不变.,性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一 个绝对收敛的级数, 且其和等于 原来两个级数的和之积.,(3) 任意项级数敛散性的一个判别法,(狄利克雷判别法),定理,其中, M 0 为与 n 无关的常数,单调递减趋于零,部分和有界,其中, x 2k , kZ .,解,单调递减趋于零,又,而 x 2k , kZ ,于是,且,故,
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