大学物理电磁场第3章

第三章 恒定磁场,下 页,4.电感、能量的计算,重点：,2.恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件,1.磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念,3.磁位问题,客观意义,下 页,上 页,1. 研究磁场的意义,磁现象是客观存在，是我们了解和认识自然不可缺少的一部分。,理论意义,导体中有电流，在导体内部和它周围的媒质中就不仅有电场还有磁场，磁的本质是动电现象，仅研究电场是不全面的。,工程意义,许多工程问题与电流的磁效应有关，需要知道磁场分布、磁力、电感的大小。,当导体中通有恒定电流时，在空间产生不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。,分析恒定电流产生的恒定磁场与分析静止电荷产生的静电场在思路和方法上有许多共同之处，可以采用类比的方法。但由于磁是动电现象，因此与静电场又有本质的不同，有其本身的特点，在学习中必须掌握这些特点。,下 页,上 页,恒定磁场,研究恒定磁场的方法,1. 安培力定律,安培经过大量的实验确定了磁场对一个恒定电流元作用力的大小及方向：,3.1 安培力定律 磁感应强度,下 页,上 页,磁感应强度或磁通密度,定义,T（Wb/m2）,安培力,1T=104（GS）,洛仑兹力,电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。,下 页,上 页,洛仑兹力,洛伦兹力与库仑力比较,洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力作用于运动和静止电荷。,洛仑兹力垂直于磁感应强度，而库仑力平行于电场强度,洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向，对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。,安培力定律,描述两个电流回路之间相互作用力的规律。,下 页,上 页,真空中,受到I1的作用力为,受到I1的作用力为,真空中,下 页,上 页,注意,安培定律说明两载流元之间的作用力与两电流的乘积成正比，与它们之间的距离成反比，方向为：,电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21,式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光速满足关系：,得任一电流I在空间任意点产生的磁感应强度,2. 毕奥沙伐定律 磁感应强度,下 页,上 页,从场的观点出发，认为电流之间的相互作用力是通过磁场传递的。,毕奥沙伐定律,注意,毕奥沙伐定律只适用于恒定磁场中无限大均匀媒质。,下 页,上 页,毕奥沙伐定律是重要的实验定律，它的重要性在于定量的描述了电流和它产生的磁场之间的关系，进而可以导出磁场的基本性质。,对于面分布和体分布电流，毕奥沙伐定律表述为：,面电流的磁场,体电流的磁场,磁感应强度,当,B的大小为长度为1个单位,电流强度为1个单位的 电流受到最大的力,B的方向为受力最大时,B的大小为电量为1个单位,速度为1个单位的运动电荷受到最大的力,B的方向为受力最大时,磁感应强度,单位 特斯拉Ts,线电流环产生的磁场,一段线电流的磁场,电流元的磁场,例1求真空中长为L电流为I的载流直导线的磁场。,解:,建立坐标系,线电流元的磁场,例2求半径为a电流为I的电流圆环在轴线上的磁感应强度。,解:,线电流元的磁场,0,3.2 真空中的静磁场基本方程,若S面为闭合曲面,1. 磁通连续性定理,下 页,上 页,定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：,磁通连续性定理,单位 韦伯Wb,下 页,上 页,注意,磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头无尾的闭合曲线，这一性质建立在自然界不存在磁荷的基础上，原理适用于恒定磁场也适用于时变场。,由,表明恒定磁场是无源场可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。,磁通连续性原理可以从毕奥沙伐定律中导出,2. 磁力线,下 页,上 页,磁场分布可以用表示磁感应强度的磁力线来形象的描述。规定：,磁力线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点磁感应强度 B 的方向。,磁力线的疏密程度与磁感应强度的大小成正比。,磁力线的性质：,B线是闭合曲线；,B线与电流方向成右螺旋关系；,B线不能相交,磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。,下 页,上 页,导线位于铁板上方,长直螺线管的磁场,下 页,上 页,下 页,上 页,3. 真空中的安培环路定律,以无限长直载流导线的磁场为例,若积分回路没有和电流交链,下 页,上 页,由于积分路径是任意的，所以有一般规律,真空中的安培环路定律,注意,定律中电流I 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕行方向是否符合右螺旋关系，符合时为正，否则为负。,表明在真空的磁场中，沿任意回路磁感应强度B的线积分等于真空磁导率乘以穿过回路限定面积上电流的代数和。,定律中的B是整个场域中所有电流的贡献。,下 页,上 页,由,恒定磁场是有旋场,试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,安培定律示意图,安培环路定律,下 页,上 页,解,例,故,下 页,上 页,同轴电缆的磁场分布,得到,得到,4.真空中的磁场方程,比奥萨伐(Biot-savert)定律,真空中磁场方程,磁通连续 磁力线是无头无尾的,安培环路定律 磁场是涡旋场 电流是涡旋分布的磁场的源,磁场是有旋无散场 旋度源是电流密度,3.3 磁位,1 矢量磁位 A,定义：由,磁矢位,注意,1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算量，无明确的物理意义；,2 A适用于整个磁场区域；,磁矢位 A 也可直接从 Biot - Savart Law 导出,A的单位 Wb/m（韦伯/米）,2 . 磁矢位 A 的求解,应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为场源问题和边值问题。,1）磁矢位A的边值问题,因,恒定磁场中A满足库仑规范,从基本方程出发,矢量运算,矢量泊松方程,在直角坐标系下， 可展开为,类比静电场方程,也可得磁矢位方程特解（以为磁矢位参考点）,以为磁矢位参考点,2）磁矢位A的场源问题,面电流与线电流引起的磁矢位为,注意,上式应用的条件为媒质均匀且各向同性；,从上式可以证明,从上式可以看出磁矢位的方向与电流方向一致。,应用磁矢位 A，求空气中长直载流细导线产生的磁场。,解,例,在xy平面,定性分析场分布，,磁感应强度,3 标量磁位,1. 磁位 m 的定义,无电流区,磁位 仅适合于无电流区域;,下 页,上 页,2. 磁位 m 的性质,磁位 没有物理意义,等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线） 与磁场强度 H 线垂直;,磁位 A（安培）,规定: 积分路径不得穿过磁屏障面。,下 页,上 页,是多值函数。,下 页,上 页,注意,磁位的多值性不影响B和H值。,铁磁物体表面是等磁位面。,在磁场中可以引入等磁位线。,等磁位线与等电位线的类比,线电流 I 位于两铁板之间的磁场,线电荷 位于两导板之间的电场,下 页,上 页,4. 磁位 m 的求解,1） 磁位 m 的边值问题,分界面上的衔接条件,（仅适用于无电流区域）,下 页,上 页,磁场中有不同磁介质时，要分区域建立方程。,单根载流导线，取柱坐标,求长直载流导线的磁位。,下 页,上 页,解,例,下 页,上 页,2） 用类比法求磁位 m,在电流等于零的区域磁位满足的关系式与电荷等于零的区域静电场电位满足的关系式相似，所以两者的解答可以类比。,对应关系,引入磁位的意义,恒定磁场的问题可以归为求解磁位满足的边值问题；,使静电场、恒定电场和恒定磁场互相联系；,下述两个场能进行磁电比拟吗？,由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条 件相同，所以可以磁电比拟。,讨论,下 页,上 页,恒定磁场与恒定电流场的比拟,3.4 磁偶极子 媒质的磁化,下 页,上 页,几乎所有的气体、液体和固体，不论其内部结构如何，放入磁场中都会对磁场产生影响，表明所有的物质都有磁性，但大部分媒质的磁性较弱，只有铁磁物体才有较强的磁性。,引入磁场中感受轻微推斥力的物质。所有的有机化合物和大部分无机化合物是抗磁体。,抗磁体,引入磁场中感受轻微吸引力拉向强磁场的物质。铝和铜等金属是顺磁体。,顺磁体,铁磁体,引入磁场中感受到强吸引力的物质（所受磁力是顺磁物质的5000倍）。铁和磁铁矿等是铁磁体。,注意,抗磁体和顺磁体在磁场中所受的力很弱，统称为非磁性物质，其磁导率近似为0。,1）磁偶极子 (magnetic dipole),( magnetic dipole moment ),下 页,上 页,可以用原子模型来解释物质的磁性,面积为dS的很小的载流回路，场中任意点到回路中心的距离都远大于回路的线性尺度。,2）媒质的磁化,电子自旋磁矩,原子的净磁矩为所有电子的轨道磁矩和自旋磁矩所组成。,无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，,在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，,下 页,上 页,媒质中原子的净磁矩对外的效应相当于一个磁偶极子。,转矩为 Ti=miB ，旋转方向 使磁偶极矩方向与外磁场方向一 致，对外呈现磁性，称为磁化现象。,磁化强度（magnetization Intensity）,（A/m）,图磁偶极子受磁 场力而转动,下 页,上 页,单位体积内的净偶极距,3） 磁化电流,媒质磁化的结果是在表面形成磁化电流。,下 页,上 页,体磁化电流,可以证明面磁化电流,有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。,磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。,下 页,上 页,斯托克斯定理,注意,4） 磁偶极子与电偶极子对比,下 页,上 页,媒质中的磁场 磁场强度,则有,下 页,上 页,安培环路定律,若考虑磁化电流的作用,移项后,下 页,上 页,对于线性均匀各向同性的磁介质,磁化率,相对磁导率,H 的旋度,表明恒定磁场是有旋场，电流是恒定磁场的漩涡源。,B 与 H 的关系,平行平面磁场，且轴对称，故,有一磁导率为 ，半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气 0 ，试求 B，H 与 M 的分布，并求磁化电流。,下 页,上 页,解,例,下 页,上 页,导磁圆柱 = 0 及 =a 处有面磁化电流,下 页,上 页,方向,例2 同轴电缆内导体直径为R1,外导体内外壁半径分别为R2和R3,导体的磁导率 为0,内外导体之间的介质磁导率为.当同轴电缆内外导体回路的电流为 I时,求同轴电缆内的磁感应强度.,解:,设同轴电缆内外导体中的电流均匀分布,内导体电流密度,外导体电流密度,取闭合回路为半径为R的圆,1. 基本方程,积分方程,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。,3.5 基本方程 分界面衔接条件,下 页,上 页,微分方程,构成方程,F2不能表示恒定磁场。,F1可以表示恒定磁场。,试判断下列矢量能否表示为一个恒定磁场？,下 页,上 页,解,例,2 . 分界面上的衔接条件,1. B 的衔接条件,表明B 的法向分量在分界面连续,下 页,上 页,分界面上 B 的衔接条件,表明H 的法向分量在分界面不连续,根据,2. H 的衔接条件,表明H 的切向分量与分界面上的线电流密度满足右螺旋关系。,下 页,上 页,分界面上 H 的衔接条件,根据,分析铁磁媒质与空气分界面情况。,3. 折射定律,设媒质均匀、各向同性，分界面 Js=0,折射定律,下 页,上 页,解,例,表明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直。,解,例,T,例1. 已知导磁率为、带气隙的环形磁芯，气隙宽度为d，比圆形磁芯材料截面半径小的多，磁芯上密绕了N匝线圈。当线圈中的电流为I时，求气隙中的磁感应强度。,解：,忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力线也是与磁芯表面同轴的圆环,对磁芯中半径为r的磁力线圆环，,在磁芯的气隙表面,电磁感应定律,当穿过一个闭合回路所围成的曲面的磁通随时间变化时，沿闭合回路就有感应电动势， 感应电动势与磁通随时间的变化率成正比， 其方向符合楞次定律:,感应电动势企图阻止磁通的变化，或者说， 感应电动势引起的感应电流产生的磁场企图阻止磁通的变化。,磁通的变化有两种基本情况:,a)回路不动,磁场变化 b)磁场不变化,回路变化,3.6 自感、互感以及磁场能量,a)回路不动,磁场变化,由斯托克斯定理,变化的磁场产生涡旋的电场 变化的磁场是电场的旋度源,电感,1) 磁通与磁链,回路的磁通与回路的电流强度成正比。,如果将穿过一曲面的磁通用磁力线的条数表示,一回路的磁链m是指 和该电流回路相交链的磁力线的总条次数,磁力线与电流回路有 单次交链， 多次交链， 部分交链等多种交链形式,一个多匝导线回路放在变化的磁场中 该回路的感应电动势 与该回路的磁链随时间的变化率成正比.,2) 导线回路的电感,在线性媒质中，电流回路的磁链与电流I成正比,导线回路的电感，单位为H,电感与导线回路的形状以及周围媒质参数有关，与导线中的电流无关.,3) 自感与互感,对于线性媒质中的两个载流导线回路,电感表示导线回路之间 通过磁场的耦合程度,3) 聂以曼公式,计算两个单导线回路的互感,如果不限定电流的方向，互感可正可负,规定两线圈电流的相对方向， 规定两线圈的同名端，使两线圈电流产生的磁场同向 互感为正,例1：计算位于真空中的一无限长的直导线与一位于同一平面，相距为d的矩形导线回路之间的互感。,解:,由于无限长的直导线电流产生的磁场容易计算，因此利用直线电流在矩形回路中的磁通计算互感。,设长直导线的电流为I,在矩形导线回路面上的磁场为, 媒质为线性、均匀、各向同性，自感和互感系数为常数；, 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；, 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。,讨论的前提条件,1. 恒定磁场中的能量,磁场能量,磁场能量是在建立磁场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，恒定磁场的能量与电场能量一样只与场的强度和分布有关，而与场的建立过程无关。,设,电源必须克服回路中的感应电动势做功,t时刻，k回路中的感应电动势为,即,用电感系数表示能量,K=1 单个回路,K=2 两个回路,K个回路,=自有能量+互有能量,2 磁场能量密度,可以从N个单匝电流回路推导磁场能量密度与磁场强度的关系,例1计算内外导体半径分别为a、b的同轴电缆单位长度的电感。,解:,有两种解法,(忽略外导体壁的厚度),1),2),用第2种方法,设同轴电缆内外导体回路的电流为I,且电流均匀分布, 用安培环路定律计算磁场.,本章总结,磁感应强度 真空中的磁场方程 磁场中的媒质 媒质中的磁场方程 边界条件 电磁感应定理 电感 磁场能量,