函数序列和函数项级数的一致收敛性

9.2-9.3 函数列和函数项级数 的一致收敛性,一、函数序列的一致收敛,(1) 定义2.1,(2),例1.,只要取,研究下列序列的收敛性.,解：因为,例2.,研究下列序列的收敛性.,解：因为,(3) 一致收敛,定义2.2,（4）几何解释:,（5）,证明：,反之，,定理2.1,例3.,证明：,例4.,解：,一致收敛,故在(0,1)上不一致收敛.,判断,定理2.2,证明:,二、函数项级数的一致收敛,定义3.1,定理3.1(柯西收敛原理),推论3.1,逆否:,例5,解:,故级数在(0,+)上不一致收敛!,由于,例6,证明：,(1)因为,(2)由（1)即得.,利用例6结论的逆否可得，,不一致收敛(由于它们在相应的闭区间是不一致收敛的)-由逆否命题可得到。,三、一致收敛的判别,证明：,定理3.2(Weirstrass判别法),则由Cauchy收敛定理，,进一步由已知条件，,M-判别法或优判别法,优级数,强级数,控制级数,例7,解：,例8,解：,证明：,例9,由本节例5可知，,说明：, 使用M判别法，要求：,这种要求过强, 存在一致收敛级数，但不绝对收敛；,存在级数绝对收敛，且一致收敛，但,反例见课后习题！,四、,定义3.2,定义3.3,例10 讨论下面序列是否一致有界.,因此该序列一致有界.,矛盾！,解：,但不一致有界.,(1),(2),证明：,定理3.3(Dirichlet判别法),由柯西收敛原理，,证毕!,例11,证明：,即部分和序列一致有界，,定理3.4(Abel判别法),类似定理3.3可证，这里从略.,例12,解：,讨论,(1),(2),五、小结,3. 一致收敛性M判别法, Dirichlet判别法, Abel判别法.,1. 函数列的一致收敛定义；,2. 函数项级数的一致收敛定义；,作业,习题10.2 1（1）（3），2 习题10.3 1(1)(3)(5)(7), 2, 3, 4, 5 ,6,