中山大学数学分析教案

目录,第十章 数项级数 5 无穷级数与代数运小结 第十一章 广义积分 1 无穷限广义积分2瑕积分 第十二章 函数项级数 第十三章 幂级数 1 幂级数的收敛半径与收敛区域2幂级数的性质 3 函数的幂级数展开小结 第十四章 傅立叶级数 1 三角级数与傅立叶级数2 傅立叶级数的收敛性 3任意区间上的傅立叶级数小结 第十五章多元函数的极限与连续性 1 平面点集2 多元函数的极限与连续性,目录,第十六章 偏导数与全微分 1 偏导数与全微分的概念2 复合函数微分法 3 几何应用4 方向导数 5 泰勒公式小结 第十七章 隐函数存在定理 1 单个方程的情形2 方程组情形 第十八章 极值与条件极值 1 极值与最小二乘法2 条件极值及Lagrange乘数法 第二十章 重积分 1 重积分的概念2 重积分化累次积分 3 重积分的变量代换4 曲面面积 第二十一章 曲线积分与曲面积分 1 第一型曲线积分与曲面积分 2第二型曲线积分与曲面积分 第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 1各种积分间的关系2积分与路径无关 3场论初步 第十七章第二十二章的小结附录：二次型,第十章 数项级数,5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。,定理 10.19 若级数 收敛，其和为 ， 为自然数列， 则 亦收敛于,1. 结合律,对于收敛级数，可任意加括号，即,2.交换律,仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。,定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为,定理 10.21（Riemann),若级数 条件收敛，则经适当重排后，可使其和为任意的实数 ，或 ， ， ，或既不收敛，亦不发散于 。,3.分配律,同样的，仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立,定理 10.22 (Cauchy) 若级数 ， 绝对收敛，其和分别为 ， ，则它们各项之积 按任意方式排列后所得的级数亦绝对收敛，且和为,第十一章 广义积分,1 无穷限广义积分,定积分的两个限制,积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；,无穷限积分的定义,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。,P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。,1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。,类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：,常用积分 线性：当 ， 均收敛时，,Chauchy 收敛原理,收敛 TH11.2 收敛 收敛。 Def . 绝对收敛 收敛； 条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I（直接比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积， （1）若 ，当 时， 则 收敛 收敛； （2）若 ，当 时， 则 发散 发散。,比较判别法II（用极限比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积，且 （1）若 ，则 收敛 收敛； （2）若 ，则 发散 发散。,比较判别法III（与 比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。 （1）若 则 收敛； 若 则 发散。 （2）若 则 时 收敛， 时 发散。,特别地，我们若可利用Taylor公式，求得,则,时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。,Question,我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？,积分第二中值定理,设 在 上可积， 在 上单调，则 特别地，若 单调上升且 ，则 若 单调下降且 ，则,几何解释（ 情形）,两个收敛判别法,(Dirichlet) (Abel),两个有用的结果,习题( P.57 ),1. (2) (4) (5) 2. (1) (9) (10) (14) (16) 3. (1) (3) (5) 9.,2 瑕积分,Def 11.2设函数 在 有定义，在任意区间 上可积，在 无界。若 存在，则称瑕积分 收敛，且积分值为该极限值，记为 若 不存在，则称瑕积分 发散。,P.S. 发散时只是一个符号，不表示一个数值。,1. 若 为瑕点， 2.若 为瑕点，则当 ， 均收敛时，定义,类似地，瑕点非左端点的瑕积分的定义为：,常用积分 线性：当 瑕积分 ， 均收敛时，,暇积分与无穷限积分的关系,设 有唯一瑕点 ，令 ，我们有 如是，我们可以将无穷限积分的性质推广至瑕积分中来。下面，我们不加证明地把关于瑕积分的收敛判别法列举出来。,Chauchy 收敛原理,设 有唯一瑕点 收敛 TH11.2 收敛 收敛。 Def . 绝对收敛 收敛； 条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I（直接比较）,设 有唯一瑕点 （1）若 ，当 时， 则 收敛 收敛； （2）若 ，当 时， 则 发散 发散。,比较判别法II（用极限比较）,设 有唯一瑕点 且 （1）若 ，则 收敛 收敛； （2）若 ，则 发散 发散。,比较判别法III（与 比较）,设 有唯一瑕点 （1）若 则 收敛； 若 则 发散。 （2）若 则 时 收敛， 时 发散。,设 有唯一暇点,(Dirichlet) (Abel),习题( P.64 ),1. 2. (1) (3) (9) (11) (12) 3. (1) (7) 4. (2) 5. (1),第十二章 函数项级数,对于非初等函数，我们通常可以将之表为函数项级数的形式。在本章中，我们主要研究这类函数的连续性，可导性及可积性。,考虑 ， ，定义,和函数的连续性，可积性条件,若 在 连续， 在 一致收敛于 ，则 （1） 在 连续； （2） 即此时无穷和与极限，积分均可交换。,和函数的可导性,若 在 有连续的微商 ， 在 逐点收敛于 ， 在 一致收敛于 ，则 即此时无穷和与求导可交换。,第十三章 幂级数,幂级数应用非常广泛，比如：概率统计的离散型随机变量；利息理论（利息理论在化学，生物，医学，考古，金融，贸易等诸多领域应用非常广泛）,1 幂级数的收敛半径与收敛区域,幂级数：形如 的级数，其中常数 称为幂级数的系数。 Remark： 1. 作平移 后，级数可化为 故我们以后只研究形如 的幂级数； 2. 幂级数必须严格按升幂排序，如 并非幂级数。,Abel第一定理,若幂级数 在点 处收敛，则当 时， 绝对收敛；若 在点 处发散，则当 时， 发散。,收敛半径,Th 13.2对任意幂级数 在 时绝对收敛，在 时发散，称此 为 的收敛半径。 Th 13.3 若 满足 则 的收敛半径 （约定： ）,习题( P.98 ),1. (6) (8) (9) (10) (11) (14) (16),2幂级数的性质,（Abel 第二定理） 设幂级数的收敛半径 ，有 （1） 幂级数在 一致收敛； （2）若幂级数在 收敛，则幂级数在 一致收敛； （3）若幂级数在 收敛，则幂级数在 一致收敛。,幂级数的连续性，可导性，可积性,设 的收敛半径为 ，则 （1） 在 连续，任意次可微，且逐项 可微，逐项可积。即,且（*），（*）的收敛半径仍为 。 （2）若 在 时收敛， 则 在 连续。,习题( P.102 ),3. (1) (3) (7) (10) 5. (1),3函数的幂级数展开,若幂级数 在 收敛到 ，即 则称 在 可以展开为幂级数。 类似地，若 则称 在 可以展开为幂级数。,幂级数展开的唯一性,(1) 若 在 可展开为幂级数 则 (2) 若 在 可展开为幂级数 则,通常称 为 的Maclaurin级数， 为 在 点的Taylor级数。,Recall,若 在 无穷次可微，则有 Taylor 公式 其中,幂级数展开的条件,（充要条件） （必要条件） 无穷次可微 （充分条件）若 的各阶微商在 一致有界，即 则,常用Taylor级数,Question,对于展式（ N ） 证明：当 时，收敛域 ； 当 时，收敛域 ； 当 时，收敛域为 。,习题( P.110 ),1. (1) (2) (8) (10) (14) 3. (1) (4) 4.,第十四章 傅立叶级数,Fourier级数是Fourier在研究热学时引入的，现今在光学，电磁学，辐射等方面已必不可少，另外，在近代概率论，分形理论中也有重要的应用。,1三角级数与傅立叶级数,我们尝试将 展为 因为 ， 均以 为周期，故我们先讨论以 为周期的 。 命题 1若 周期为 ，则对任意的 ，有,三角函数系,Def.三角函数系为集合 Th 14.1三角函数系中任意两个不同函数的乘积，在区间 上的积分为 0 ，即,函数空间的直角坐标系,于是，倘若我们在某类以 为周期的函数空间中定义内积 ，使对任意的以 为周期 的函数 ， ，有 则三角系中的函数是两两正交的。 留意到 我们可以把三角函数系单位化，使之成为某类函数空间的单位正交系，如下,究竟是什么函数空间的直角坐标系呢？,三角级数的唯一性 若 为该函数空间的一函数，即有表式 并不妨设右边三角级数在 一致收敛，则,于是，为了让所有 ， 都可定义，则 必须在 可积；倘若 有瑕点，则 必须绝对收敛。我们把满足以上条件的 称为在 绝对可积，记为 。,Def 14.1,设 以 为周期，且 。则由公式 所定义的 ， ，称为 的Fourier系数，称 为 的Fourier级数，记为,Remark,并不意味着,后者成立包含两重意思：右边级数收敛且收敛于,前者仅表示 的Fourier级数为右边级数，而右边级数甚至可能不收敛。,习题( P.118 ),2. (1) (4) (5) (8) (10) 3.,2傅立叶级数的收敛性,Def 称 在 逐段可微，若 可分为有限个区间 ，使得 在每个开区间 内可导，而在区间的端点有左右极限 （在 点只有右极限，在 点只有左极限），且对任意 下两极限存在：,设 以 为周期， ，且在 满足 阶Lipschitz条件，即存在 与常数 ，使得 则 的Fourier级数在 收敛到 。,Lipschitz判别法,Corollary 1设 以 为周期， 且在 有左右导数 ， ，则 的Fourier级数在 收敛到 。,设 以 为周期，且在 逐段可微，则 的Fourier级数在 的连续点收敛到 ，在 的不连续点收敛到,Th 14.5,1875年，Weierstrass构造了第一个处处连续而处处不可微的函数： 其中 为正奇数， ，满足,Example:设 以 为周期，且,则,Th 14.6（Fourier级数逐项可积性）,设 以 为周期，且在 内除有限个可去间断点或第一类间断点外是连续的，且 则（1） 收敛； （2） R，有,习题( P.140 ),1. (2) 2.,3 任意区间上的傅立叶级数,设 以 为周期，且 。则由公式 所定义的 ， ，称为 的Fourier系数，称 为 的Fourier级数，记为,对于只定义于 的函数 ，若令 则化为定义于 上的 了。 故下面我们只讨论定义于 的 。,偶延拓,令 及 可将 延拓为 上的以 为周期的偶函数 。 Remark：若 在 连续，则 在 连续。,余弦级数,则 其中 Remark：若 在 逐段可微，则 （在 的不连续点 ，上式理解为 ） 限制回 ，得,奇延拓,令 及 可将 延拓为 上的以 为周期的函数 。 Remark：若 在 连续，则只有当 时， 在 连续。,正弦级数,则 其中 Remark：若 在 逐段可微，则 （在 的不连续点 ，上式理解为 ，特别地 ） 限制回 ，得,习题( P.146 ),6.,第十五章 多元函数的极限与连续性,1平面点集,在直角坐标系中，平面上的每一个点 可以与一个有序实数对 一一对应，其中 分别为 的横坐标与纵坐标。 平面上两点 ， 间的距离定义为 它满足 （1） （2） （3） （三角不等式）,集合,平面上的所有满足性质（P）的点所组成的集合可表为： 如： 的 圆邻域： 的 方邻域： 的 空心圆邻域： 的 空心方邻域：,设 为平面点集,（1）内点：,（2）外点：,（3）边界点：,（4）聚点：,性质,Question,集合的拓扑类型,Question,请判断下列集合的类型：,Def 15.1,设 为平面点集，其中 则,Cauchy收敛原理,点列 收敛,致密性定理,Def 15.2点集 有界,性质：点列 有界 有界 .,Th 15.2有界点列必有收敛子列。,矩形套定理,设 为平面上的闭矩形套序列，满足： 则 即,Borel有限覆盖定理,Th 15.4设 为平面上的有界闭集， 为 的覆盖，则 中存在有限开集,Def 15.3设 为开集族，称 为集合 的覆盖，若 即,Question,Borel有限覆盖定理表示 有界闭集是紧致的。请问： 有界与闭，两个条件都是 必不可少的吗？,习题( P.164 ),2. 3. 4.,P.165.3 (6),2 多元函数的极限与连续性,Def 15.4设 为平面点集， 为对应关系，使 ，按对应关系 ，有唯一实数 与之对应，则称 为定义于 上的二元函数，记为 称 为函数 的定义域， 为 的自变量， 为因变量， 为 的值域。习惯上记为 或 称 为函数 的图形。,椭圆抛物面,锥面,半球面,双曲抛物面（马鞍面）,双曲抛物面（马鞍面）,平面,如此类推,元函数 是指从集合 到R中的对应关系。,二元函数的极限,Def 15.5设 在 某空心邻域有定义， 为某确定常数。若 当 则 称 为 在 的极限，记为 或,Remark 在 某空心邻域有定义，可减弱为 为 定义域的聚点。,的等价定义,Remark,Heine定理,设 在点 某空心邻域 有定义，则 当且仅当对于 中的点列 ，若 ，必有,累次极限,我们考虑两种特别的路径。 设 在 某空心邻域有定义。先固定 ，令 ，若 存在，记为 再令 ，若 存在，记为 ，则称 为 先对 后对 的累次极限，记作 类似可定义， 先对 后对 的累次极限,Question,请判断以下推断是否正确：,全面极限与累次极限的关系,反之不然 .,（2）Th 15.6若,二元函数的连续性,Def 15.6设 定义域为 ， 则 在 点连续,Th 15.7（复合函数的连续性）设 在 连续， 在 连续， 则 在 点连续。,介值定理及一致连续,（介值定理）若 在区域 上连续， 则 满足,（介值定理）若 在 上连续，则 将 中的连通集映为R中的连通集.,（一致连续）称 在集合 上一致连续，若 当 时，,有界闭区域上连续函数的性质,（有界性定理）若 在有界闭区域 上连续，则 在 上有界。,（最值定理）若 在有界闭区域 上连续，则 在 上可达到最大值和最小值。,（一致连续性定理）若 在有界闭区域 上连续，则 在 上一致连续。,习题( P.177 ),1. (1) (3) 2. (3) (4) (5) (6) (12) (14) 3. (1) (2) (4) (8) 7. (1) (3) (4) (6) (7),第十六章 偏导数与全微分,1 偏导数与全微分的概念,1.偏导数,Def 16.1设函数 在 的某邻域有定义。将 固定为 ，若 存在，则称该极限值为 在 处关于 的偏导数，或偏微商，记作 或 类似地，若 存在，则称之为 在 处关于 的偏导数，或 偏微商，记作 或,几何意义,求偏导 的方法,（2）将 代入 中，再求,（1）将 看作常数，将 对 求导， 求出 ，再将 点代入；,（3）一个小技巧：利用变元的旋转对称性。,连续与偏导的关系,Q1：若 均存在，那么 一定在 连续吗？,Q2：若 在 连续，那么 一定存在吗？,两者均不然。 Remark： 分别反映了 在 方向的变化率，而连续性反映的是 在所有方向上的性质。,2.全微分,Def 16.2设 在 的某邻域有定义。若 的全增量 在 可表为 其中 只与 有关，而与 无关， 则称 在 点可微，并称 为 在 点的全微分，记作 即 若 在区域 内任一点可微，称 在 内可微。,Remark (1) 即 为 的线性主要部分 .,(2) 可表为 其中,3. 连续，可导，可微之间的关系,Th 16.1若 在 点可微， 则 在 连续。,Th 16.2若 在 点可微，则 ， 存在，且,特别地，对于 ，,连续，可导，可微之间的关系,Question 若 存在，则 是否一定在 可微呢？,更一般地，对于 元函数 若可微，则,连续，可导，可微之间的关系,Th 16.3若 在 某邻域内存在，且在 点连续，则 在 可微。,由 P.194.14，Th 16.3 可减弱为： 若 存在， 在 点连续，则 在 可微。,利用 ，进行近似计算。,4.高阶偏导数与高阶全微分,的二阶偏导数有四个，分别为：,同理可定义 的二阶以上的偏导数，如：,等.,往后，以 标记在区域 内所有 阶偏导数 均存在且连续的函数集合。,Question:若 均存在， 那么是否有,Th 16.4若 均在 连续，则,Remark:P.194.19 给出了关于二阶偏导可交 换次序的一个条件更弱的结果，请大家自行证明。,高阶全微分,对于,若 均连续，有,形式上，可记为,类似地，若 则,习题( P.193 ),4.5. (1) 8.15. 16. (1)18.,2复合函数微分法,Th 16.5（复合函数求导的链式法则） 设 ， 若 在点 的所有偏导存在，又 在 的对应点 可微，则复合函数 在点 的偏导数存在，且,隐函数微分法我们将在下一节介绍空间曲线，曲面的几何特征时捎带在予介绍。,Remark,（1） 可用树表为： 其中，每个变元所生成的枝点为此变元所依赖的所有变元。那么， 为由 至 的所有路径之和。,Remark,（2） 在 可微条件必不可少.,（3） 类似地，对于 ，有,复合函数的全微分,（1）一阶全微分的形式不变性.即无论 为中间变元或最终变元，对 都有,性质:,（2）二阶全微分无形式不变性.若 为最终变元，则 ；若 为中间变元，一般有,（3）求偏导的微分法,习题( P.208 ),1. (2) (5) 9.,3几何应用,1.空间曲线的切线与法平面,过 点，垂直于 的平面 方程为：,Recall 过 点，平行于 的直线 方程为：,当 时，直线 意味着 即直线方程为,Assumpsit,设空间曲线 为 上一点。,以参数方程给出的曲线,可见，曲线 在 点的切方向 平行于,又因为 平行于 ，故 平行于,于是，曲线 在 点的切线方程为,以两曲面交线给出的曲线,设空间曲线 为 上一点。 设上方程组在 的某邻域内能确定可导的函数组 满足 则 在 点的切向量为,2.空间曲面的切平面与法线,Recall 若空间曲面 在 处切平面的法向量为 则曲面在 的 切平面方程为 法线方程为,于是，我们只需求出法向量,（1）若曲面隐函数方程为 则,特别地，若曲面显函数方程为 则,（2）若曲面参数方程为 则,习题( P.217 ),1. (3) 6.,4方向导数,Def设 在 点的某邻域有定义. 为以 为起点的射线， 且落在 的定义域上.若 存在，则称之为 在 点沿方向 的方向导数，记为 称为 在 点沿 方向的增量.,三维空间的模型,Th 16.6,若函数 在 可微，则 在点 沿任何方向 的方向导数都存在，且在 点，有 其中 为 的方向余弦.,若记 称为 的梯度（gradient），或记作 则（*）可用内积表为,二维空间的模型,习题( P.220 ),3. (2) 5.,5泰勒公式,Recall若 在 点某邻域有 阶连续导数，则有 Taylor 公式 其中 称为 Lagrange 余项.,Th 16.7 （泰勒定理）,设 在 点某邻域 有直到 阶连续偏导数，则对 内任一点 ，存在 ，使 其中,explain,于是， 在 点的 Taylor 公式亦可表为：,其中,此结果可推广于任意的 元函数中，如下：,在 点的 Taylor 公式为：,其中,求Taylor公式的方法,（1）定义法；（可用于求Lagrange余项，但 很大时运算量非常大） （2）利用Taylor公式的唯一性.（见P.223.5.）（运算量较小，但只能用于求Peano余项） 将 表为 其中， 为关于 的 阶多项 式，则上式便为 在 点带Peano余项的Taylor公式.,习题( P.223 ),1. (1) 2. 4. (1) (2),第十七章 隐函数存在定理,1 单个方程的情形,Question是否可在 点附近确定隐函数 ，使 ？,同样地，在 附近，可确定,在 附近，可确定,而在 附近，又如何？,无法确定。,如在 附近，,可确定,Question对于一般的 是否可在 点附近确定隐函数 ，使,当然，首先必须要有 ，否则，在 点的充分小的邻域内，可能与曲线 并不相交.,其次，为了保证能确定有隐函数，必须要保证曲线在此邻域内，每一个 只能对应于一个 .,Th 17.1设 满足下列条件： (i) 在 上连续； (ii) （通常称为初始条件）； (iii) 则 (i) 存在函数 ，定义于 内，满足且 (ii) 在 连续； (iii) 在 有连续的导数，且,Th 17.2设 满足下列条件： (i) 在 上连续； (ii) ； (iii) 则 (i)存在 的一个邻域 以及在此邻域内定义的函数 ，满足 且 (ii) 在 内连续； (iii) 在 内有连续的偏导数，且,习题( P.231 ),2. 6.,2方程组情形,在上一节中，我们知道在某些条件下，我们可以由方程 唯一的确定可微函数,而在本节中，我们将讨论在什么条件下，方程组 可唯一的确定可微函数组,Th 17.3设函数 和 满足： （1）在点 的某邻域 内，对各变元有一阶连续偏导数； （2）（初始条件）； （3）令，则 则,（1）在 的某邻域 内，方程组 唯一地确定一组函数 当 时，且满 足及,（2）均在 内连续； （3）均在 内有所有连续的一阶偏导数，且,Question,对于映射 在什么条件下有逆映射 使 即,当然，只要 为一一映射即可.,其次，倘若我们把 另表为下方程组,则我们直接由Th 17.3，有,Th 17.4设映射 满足： （1）在点 的某邻域 内，对 有连续偏导数； （2）； （3）令，则 则,在 的某邻域 内，存在唯一的反函数组 ，满足 （1） 且当 时，及 （2） 在 内有所有连续的一阶偏导数，且,一些推论,Cor 1在Th 17.4的条件下，有,Cor 2设函数组 在开集 内有连续的偏导数，且在 内 恒不为 零，则由函数组所定义的映射 的像集 为 平面上的开集.,Cor 3在 Cor 2 条件下，设 为有界闭集，则它的像集 亦为有界闭集，且 的内点映为 的内点， 的边界点映为 的边界点.,Th 17.5设有 个 元函数 ，满足： （1）在点 的某邻域 内，对各变元有连续偏导数； （2） （3）令 ，则 则,（1）在 的某邻域内，方程组 唯一地确定一组函数 它们定义于的某邻域 内，使 且当 时，,（2）均在 内连续； （3）均在 内有所有连续的偏导数，且,习题( P.239 ),1. 2. (2) 7. （ 只求 ）,第十八章 极值与条件极值,1 极值与最小二乘法,1.多元函数的极值,Def 18.1设函数 在 的某邻域 内有定义.若 ， ，则称 在 点取得极大值，点 称为 的极大值点.若 ， ，则称 在 点取得极小值，点 称为 的极小值点.,Exam 有极小值点 （事实上，为严格极小值点及最小值点）； 的极小值点为 平面上的任一点（均为非严格极值点）.,若 有一极值点 ，则取定 后， 亦有一极值点 ， 故由一元函数取极值的必要条件，我们有,Th 18.1 （极值的必要条件） 设 为 元函数， 则,Question：以下论断是否正确？,极值的充分条件,我们尝试利用二次型对极值的充分条件进行研究.,Th设 为 元函数，在 附近有二阶连续偏导数， ，则 （1）当 正定时， 为 严格极小点； （2）当 负定时， 为 严格极大点； （3）当 不定时， 非 极值点； （4）当 半正定或半负定时，无法确定.,解释 I,当 时，即 满足 ，则 （1）当 时， 为 严格极小点； （2）当 时， 为 严格极大点； （3）当 时，无法确定.（ 即 Th 5.11 ）,若记 则,由 Taylor 公式，,解释 II,当 时，即 满足 ，,记 则,（1）当 时， 为 严格极小点； （2）当 时， 为 严格极大点； （3）当 时， 非 极值点； （4）当 时，无法确定. （即 Th 18.2 ）,最小二乘法,实验中，我们得到了一组数据： 我们希望用一条曲线来表示间的关系.,比如说，当这些数据大致位于一条直线上时，我 们就希望用直线 来表示 间的关系.,当然，我们希望这条直线的近似程度 是最好的，亦就是说，误差是最小的. 那么，误差应该怎么衡量呢？,比如，如图的拟合结果中， 点 到直线 的距离为,，此值便可视为 该测量值与拟合值之间的误差.,而对于拟合中产生的总误差，我们可以用下列的函数来表示：,于是，拟合曲线问题就化成了求 ，使 取得最小值.,由于 中含绝对值，对其进行微分时很不方便，故我们一般讨论 ，便是我们将要介绍的最小二乘法了.,记,考虑,即,从中解得唯一解 .,又由 的表达式，我们知道 必有最小值，故其唯一稳定点便是 的最小值点.,于是，最佳拟合曲线为,最小二乘法的不足之处,最小二乘法中，在平方后误差将被夸大，当实验数据异常时，将导致拟合曲线与真实曲线误差较大.,故在使用最小二乘法前，必须先进行数据分析，剔除出异常数据.,倘若数据分析后效果仍不理想，那就只好求 的最小值点了.此法亦称为最小一乘法.,最值问题,求定义于 上的函数 的最值的步骤： （1）求出 的所有稳定点，偏导数不全存在的点， 的边界点； （2）求出在上述点中函数值（倘若边界点为不可达点，如 ，奇点 等，以极限值作为边界值，倘若连极限都不存在，则须讨论在边界上的变化趋势）； （3）比较上述值，最大者即为 的最大值，最小者即为 的最小值.,习题( P.249 ),1. （2）（6） 2. 6. 9.,2 条件极值及Lagrange乘数法,我们在求函数 在区域 上的最值时，免不了要讨论 在 的边界 上的最值，亦即是说，求 限制在条件 上的最值. 本节我们将讨论函数限制在某些条件下的极值.,法一：将条件代入函数中，求无条件极值；,法二： Lagrange乘数法，又称为 乘数法.,例：求 在条件 下的极值，其中均一阶可微，,Solution:由 可由 确定函数将之代入 ，有,故 在条件 下的稳定点满足,即,若记,则 在条件 下的稳定点满足,若记,则 的稳定点恰好亦满足上方程组.,于是，求 在条件 下的稳定 点，等价于求 的无条件稳定点.,求出稳定点 后，再通过讨论 的正定性， 可判别 是否为极值点.( P.259.11 ),当然，亦可以事实为籍口.,一般地，,求 在条件 下的稳定点，可化为求下函数的稳定点：,即求解下方程组：,习题( P.258 ),1. （4）（5） 2.,第二十章 重积分,1 重积分的概念,例：求曲顶柱体的体积,如图， 为定义于有 界闭区域 上的非负连续 函数.求以 为顶， 为底的曲顶柱体的体积,Solution:将 任意划分为：,则相应地柱体 亦划分为 个分别以 为底， 为高的柱体,并记,则当 充分小时， 可近似视为以 为底， 为高的长方体，故,于是，,且当，上式的误差将趋于零，,即,结合书中关于求非均匀薄板质量的例子，我们发现 在这两个问题中，都体现着一种逻辑思维方式： 分割近似求和取极限. 我们将之进行数学化， 便得到了一个重要的数学方法：重积分.,Def 20.1,设 定义于有界闭区域 上.将 任意划分为： （ 亦用以表示该小区域的面积） 记 若 存在，则称 在 上可积，并称该极限值为 在 上的二重积 分，记为或，即 若上极限值不存在，则称 在 上不可积.,性质,几何意义 表示以 为顶， 为底的曲顶柱体的体积的代数和.,可积性条件有界闭区域上的分片连续的有界函数可积.,线性若 ， 均在 上可积，则,积分区域的可加性若 在上可 积， 则,单调性若 ， 均在 上可积，且 若 则,绝对值不等式若 在 上可积，则 在 上绝对可积，且,对称性设 在 上可积， 关于 轴对称，（1）若 关于 为偶函数，则 （2）若 关于 为奇函数，则,积分中值定理若 在有界闭区域 上连续，记为 的面积，则存在,三重积分,类似地，在有界闭区域 上的三重积分 定义为： 其中， 为 的任意分割， 为 上任意一点，,而二重积分所有基本性质均可直接推广到三重积分上.,2重积分化累次积分,先考虑有界闭区域 上的连续函数 ，并不妨设 .,若 由两直线 及两连续曲线围成，其中,对 任意划分为：,则相应地，曲顶柱体 被 个平面 分割 成了 个小曲顶柱体，记该柱 体被 截出的截面面积为,当 充分小时，第 个小曲顶柱体 可近似视为 以 为底， 为高的柱体， 故,其中，,因为 在 连续，故可积，所以,即,更一般地，我们有：,Th 20.2设 为 上的连续函数， 在 上可积，则,同样地，若 为 上的连续函数， 在 上可积，则,Remark:,若 不可表为上两类型时，,可加入辅助线，将 分割为若干上类型的小区域，再在每个小区域上化为累次积分.,确立积分限时，必须先作出的图形以获得最直观的认识. 并注意外层积分限必须为常数，而内层积分限必须关于内层积分变元为常数，且上限须不小于下限.,积分次序的选取，对运算的繁简影响很大，选择不当甚至导致无法积出.,利用对称性以简化运算.（奇偶性，变元的旋转对称性）,三重积分化累次积分,（1）若,则,（2）若,则,习题( P.312 ),1. （4） 5. （3）（7） 6. 8. （1）（2） 10.（3）,3重积分的变量代换,Th 20.3设变换,将平面上有逐段光滑的闭曲线围成的区域 一一的映射为平面的区域 ，,则,类似地，对于三重积分，由以下变量代换：,常用变换,极坐标变换,其中 为 的模， 为由 轴至 的有向角.,适用情形被积函数含项，或积分区域为环形，扇形区域等.,例：求,Solution:,记,则,记,则,对 使用极坐标变换，有,同理，,上式三边同时令，有,再同时令，则,常用变换,广义极坐标变换,则,柱坐标变换,球坐标变换,广义球坐标变换,其它变换,目的是希望变换后将被积函数变得简单， 或使不规则区域化为规则区域，如矩形区域.,习题( P.331 ),2. （1） 4. （3） 5. （5） 7. （1） 9. （4）,4曲面面积,先考虑空间曲面,将 任意分割为： 相应地， 被分割为 记,在每个 上取定一点 ，过 做 切平面，并设此切平面限制于 上的面积为 于是,则当 充分小时，每个 可近似视为平面.,设 与 所成二面角为 ， 的法向量 的方向余 弦为 为由 轴至 的有向角. 则由立体几何知识可知， 与 相等或互补，于是,Recall,则,其中,为一垂直于 的向量，其长度为以 为边的平行四边形的面积，并且 构成右手系.,若曲面参数方程为,若记,则,由 不妨设 同上讨论可知， 的面积元 满足：,总之，不管 方程如何给出，总有,又由上一节，我们知道,曲面面积公式的改进,记,则,Q: 空间曲线的长度，既可由其外切多边形的边长近似，亦可由其内接多边形边长近似；那么，空间曲面的面积，是否可由其内接多面体的表面积近似呢？,例1求 被 所截出的曲面 的面积.,Solution:,限制区域：,以参数方程表示，为,即,或,习题( P.338 ),1. （1） 2.,第二十一章 曲线积分与曲面积分,1 第一型曲线积分与曲面积分,1. 第一型曲线积分,例：求非均匀曲线的质量.,设空间曲线 ，其端点分别为,其密度函数为,将 由 至 依次插入分点,第 段弧的长度记为为上任一点，,则当 充分小时， 的质量,故 的总质量,令 则,一般地，我们有,Def 21.1设空间曲线 可求长，其端点分别为 定义于 上. 将 由 至 依次插 入分点 第 段弧 的长度记 为 为 上任一点， 若极限 存在，则称之为 在 上的第一型曲线积分，记为,性质,可积性条件若 分段光滑， 在 上分段连续， 在 上有第一型曲线积分.,线性若 均在 上有第一型曲线积分，则,积分曲线的可加性若 可分割为 ，且 在上有第一型曲线积分，则,单调性若 均在 上有第一型曲线积分，且在 上恒有 则,绝对值不等式若 在 上有第一型曲线积分，则 在 上有第一型曲线积分，且,对称性设 在 上有第一型曲线积分， 关于 面对称，（1）若 关于 为偶函数，则 （2）若 关于 为奇函数，则,积分中值定理若 在 上连续，记为 的弧长，则存在,Th 21.1,设 为光滑曲线：,在 上连续，则 在 上的第一型曲线积分存在，且,Remark:(1)对曲线的参数化选择，对积分运 算量的繁简影响很大； (2)利用对称性以简化运算. （奇偶性，变元的旋转对称性）,Def 21.2设 为空间曲面， 定义于 上. 将 任意分划为： 记 在每个 上任取一点 若 存在，则称之为 在 上的第一型曲面积分，记为,2. 第一型曲面积分,性质,可积性条件若 分片光滑， 在 上分片连续， 在 上有第一型曲面积分.,线性若 均在 上有第一型曲面积分，则,积分曲面的可加性若 可分割为 ，且 在上有第一型曲面积分，则,单调性若 均在 上有第一型曲面积分，且在 上恒有 则,绝对值不等式若 在 上有第一型曲面积分，则 在 上有第一型曲面积分，且,对称性设 在 上有第一型曲面积分， 关于 面对称，（1）若 关于 为偶函数，则 （2）若 关于 为奇函数，则,积分中值定理若 在 上连续，记为 的面积，则存在,设 为光滑曲面：,则 其中,所以，,Remark,(1)相应地，对于有 (2)对曲面的参数化选择，对积分运算量的繁简影响很大； (3)利用对称性以简化运算. (奇偶性，变元的旋转对称性）,习题( P.356 ),2. （1）（5）（7） 3. （1）（4） 4.,2 第二型曲线积分与曲面积分,Example:设质点在变力作用下，沿空间光滑曲线 从点 运动到 .求 对质点所作的功.,Solution:以顺序分点将任意分割为 段.记 的弧长为,则当 充分小时，质点从 运动至 时， 所作的功,又记,一般地，我们有,Def 21.3设 为 上的向量函数， 为由 至 的有向光滑曲线.按 的方向顺序用分点 将 分成 个有向小曲线段， 的弧长为若极限,存在，则称之为 沿 从 到 的第二型曲线积分，记为或 其中,性质,可积性条件若 分段光滑， 为 上分段连续的向量函数，则存在.,线性若 ， 存在，则,积分曲线的可加性,其中,Th 21.3设在 与 间，（可能）为光滑曲线，且 分别对应于 的起点与终点， 在 上连续，则,（其中为 的切向量）,Proof:依次在间插入分点： 则 相应的分割成了 段，设第 段为记,由 光滑， 时,又由积分中值定理，在 与 间存在 ，使,所以,因为均存在，故上式两边同时令,立有 同理可证其余部分.,Remark,（1）两类曲线积分的关系设 的方向余弦为,则,（2）第二型曲线积分的值除了与被积函数，起点，终点有关外，一般与积分路径有关.,（3）一般以 表示积分路径 为闭曲线.,（4）对第二型曲线积分使用对称性以简化运算时，必须考虑 与 所带方向是否对称.建议将第二型曲线积分先转化为第一型积分或定积分或再考虑对称性.,2 流量与第二型曲面积分,Question: 是否所有曲面都有两个侧面？,Mobius 带 将环型带沿 剪开，扭一下后，再把剪开的边对接回.,在原环型带上的任一点处的外法向 ，在带上不穿过边缘，保持外法向地任意移动.,而在Mobius带上的任一点处的外法向 ，在带上绕一圈回到原点时，,可见，原环形带有两个侧面，而Mobius带只有一个侧面.,再回到原点时，方向保持不变.,方向刚好相反.,Def设 为曲面 上任一点， 为 上一法向量，若 在 上不跨越边缘地连续移动，回到 时， 的方向不变，则称 为双侧曲面；否则称为单侧曲面.,Recall对于,则法向 与分别对应 的两侧.,Example,故 的上侧对应法向,（1）对于,的下侧对应法向,故 的右侧对应法向,（2）对于,的左侧对应法向,故 的前侧对应法向,（3）对于,的后侧对应法向,Example:河道中，设每一点的水流速度为，河道中有一双侧曲面 ，其中一侧的单位法向为 .求单位时间内水流过此曲面的流量,Solution:将 任意分划为：,当 充分小时，以 表示在 的流速，以 表示 的法向，,则在单位时间内水流过 的流量可视 为以 为底， 为斜边的柱体的 体积.,记,的方向余弦为,则,记为,其中 分别表示,且,在 面的有向投影面积.,Def 21.4设 为光滑的双侧曲面， 为其中一侧的单位法向量.设 在 上有定义.将 任意分划为 分别表示 在面的有向投影面积.若极限,存在，则称之为 在 上依 方向的第二型曲面积分，记为或 其中,一般地，我们有,性质,可积性条件若 分片光滑， 为 上分片连续的向量函数，则存在.,线性若 ， 存在，则,积分曲面的可加性若 由互不重叠的并成，且 的方向继承于 的方向，则,其中 为 法向的方向余弦.,两类曲面积分之间的关系,Recall对于,且,同理，对于,（1）对于,其中，对 的上侧积分时取“+”， 对 的下侧积分时取“”.,（2）对于,（3）对于,其中，对 的右侧积分时取“+”， 对 的左侧积分时取“”.,其中，对 的前侧积分时取“+”， 对 的后侧积分时取“”.,习题( P.376 ),1. （2）（3）（4） 8. （1）（7） 9.,第二十二章 各种积分间的联系与场论初步,本章我们将揭示多元函数中积分与微分的关系,1各种积分间的关系,Def若平面区域 中的任意一条简单闭曲线（指不自交的闭合曲线）的内部都包含于 之中，则称 为单连通区域，否则称为多连通区域.,Exam,单连通；,多连通；,多连通.,简单地说， 为单连通区域当且仅当 上的任意一条简单闭曲线都可在 内缩为一点；,或 内不含“洞”或“点洞”.,Th 22.1Green formula,设 为有界闭区域，边界 逐段光滑， 取正向（即 的内部总在 方向的左边），则,Proof: 先分两种情形证明,(1) 若 可表为,则,(2) 对于一般的,可先添加若干条辅助线，使之分划为若干满足（1）中条件的小区域，,再在每个小区域中使用（1）的结论即可.,同理可证 证毕.,Corollary若 为区域 的正向边界，则,Remark若对非闭合曲线使用 Green 公式 ，必须先将曲线闭合化.,Th 22.2Gauss formula,设 为空间中的有界闭区域，边界 为分片光滑的双侧封闭曲面， 表示外侧， 则,Remark若记定义,称为 的散度（divergence）.,则 Gauss 公式可表为,Proof: 先分两种情形证明,(1) 若 可表为,则 可分为三部分：下底 的下侧，上底 的上侧，侧面 的外侧.,且,(2) 对于一般的 添加若干辅助曲面，使 分割为若干满足条件（1）的小区域之并，再分别在每个小区域上使用（1）的结论即可.,同理再证下两结论即可：,Remark若对非闭合曲面使用 Gauss 公式 ，必须先将曲面闭合化.,Th 22.3Stocks formula,设 为光滑曲面，带光滑边界 ， 与 构成右手系， 且 则,Remark若记定义,称为 的旋度（rotation），其中,则 Gauss 公式可表为,Proof: 先证明,不妨设 的正向边界为,（对于 中无法表为上式的部分，表为 或再行讨论）,(Green formula),同理可证：,三式相加，公式得证.,外微分形式,称 为 R 的一阶外微分形式，其中为 R 中任意函数.,外微分形式的外积 的性质,（1）线性： 其中 为 R 中任意外微分形式， 为任意实数；,为了介绍一般形式的 Stocks formula，我们引入,习惯上，亦可记为,称为 R 的二阶外微分形式， 其中 为 R 中任意函数.,（注意与以前关于微分形式乘法的区别）,（Poincre 引理）,一般形式的Stokes formula:,Example:,（1） 时，,（*）,（Newton-Leibniz）,（2）为平面有界闭区域， 时，,（*）即（Green）,（*）即,（3）为空间有界闭区域，,（Gauss）,（4）为空间带光滑边界的光滑曲面，,（Stokes）,（1）在变换 下，,所以，当 为面积元时，,甚至我们还可以通过外微分形式,形式推导积分元的变换公式,（2）若曲面方程为,所以，面积元,习题( P.391 ),1. （1）（3） 2. （1） 3. （1）（4） 4.,2积分与路径无关,Th 22.4设 为平面单连通区域， 则以下四命题等价： （1）沿 中任一逐段光滑的闭曲线 ，有 （2） 在 内与路径无关； （3）存在 中的可微函数使 （4）在 内每一点，有,Remark 满足条件(3)的 称为的原函数.,Corollary若在 内 有原函数 则,（1）即使 多连通，仍有,Remark,（3）称 中使 不成立的点为 的奇点.,（4）在单连通的 中，若两正向闭曲线 均包含一 个奇点,且为同一个奇点,则 并称此积分值为该奇点的循环常数.,（5）若闭曲线 环绕了 个奇点其中环绕 正向圈数与负向圈数之差为的循环常数为 则,（2）若在 内 有原函数 则,Th 22.5设 为空间单连通区域， 则以下四命题等价： （1）沿 中任一逐段光滑的闭曲线 ，有 （2） 在 内与路径无关；（3）存在 中的可微函数使 （4）在 内每一点，有,Corollary若在 内 有原函数 则,Remark 满足条件(3)的 称为的原函数.,且,若路径允许，亦可表为,3场论初步,1.梯度场在R 中，记,Recall 对于R 中的任意方向 记则,对任意可微函数称,为 的梯度（gradient）.,可见，当 与同向时， 取最大值；,当 与 反向时， 取最小值.,亦即是说， 为 增长速度最快的方向.,2.散度场设 为向量函数，称,为 的散度（divergence）.,力学解释设 为流速场， 为空间一点. 为包含的小区域，其外侧边界为 则,在 的总流量为,在 每一点的平均流量密度为,利用 Gauss 公式，积分中值定理，,令则 在 点的流量密度为,设 为向量函数，称,为 的散度（divergence）.,3.旋度场,设 为流速场， 为空间一点， 为单位向量. 为包含 的小曲面，且在 的法向为 其正向边界为,则 沿着 的环流量为,于是， 在 的绕 的环流量密度为,力学解释,可见， 为 环流量密度最大的方向.,力学解释二设刚体以固定角速度 旋转， 为刚体上一点，则在 点的线速度为,可见，梯度、散度、旋度均为物理量，与坐标的选取无关.,二次型为形如下式的 元二次多项式：,或可记为：,其中,附录：二次型（亦称为双线性函数）,若记,其中， 为实对称矩阵，即 则上二次型可表为,关于实对称矩阵的性质,若 为实对称矩阵，则 （1） 必有 个实特征值，不妨记为 （2）存在正交矩阵 ，使 其中 为正交矩阵，表示 ，即,于是，在正交变换 下， 称为 的标准型；,留意到，正交变换 是保长的，即 所以 即,正定二次型,为正定二次型,