函数及其图形解读

第一章第一章 函数函数v函数及其图形函数及其图形 概念、图形、表示法、概念、图形、表示法、特殊函数、特性；特殊函数、特性；v函数运算及其特性函数运算及其特性 四则运算、复合运算、四则运算、复合运算、反函数、初等函数、反函数、初等函数、单调性、有界性等单调性、有界性等.1.1 函数概念函数概念一、一、函数的概念函数的概念例如例如 圆的半径为圆的半径为 r，圆的面积为，圆的面积为 S，则，则2rS 即即Srr2）（或或：的一个函数，记为的一个函数，记为到到数集数集为为则称对应法则则称对应法则，中能唯一确定一个元素中能唯一确定一个元素在在按此法则按此法则，使得使得，如果存在一个对应法则如果存在一个对应法则，与与设有非空数集设有非空数集xfyyxfBAfyBfAxfBA 定义定义，或或为为定定义义域域，记记为为称称为为因因变变量量，称称为为自自变变量量，fDfDAyx)(在在定定义义域域中中变变化化时时，点点处处的的函函数数值值。当当为为在在为为函函数数符符号号，xxxff)(，即，即或或的值域，记为的值域，记为数数的全体值的集合称为函的全体值的集合称为函fRfRfxf)()(BfDxxffR )(|)()(.函数有两大要素：定义域、对应法则。，例如例如1)()(xgxxxf是两个不同的函数。是两个不同的函数。与与由于定义域不同，由于定义域不同，)()(xgxf自然定义域有意义的一切实数值。有意义的一切实数值。自变量所能取的使算式自变量所能取的使算式。定义域为：定义域为：例如例如),1()1,(11)(2 xxf二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG 数数图图形形的的草草图图。可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOy),(yxx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG。数数图图形形的的草草图图可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG。数数图图形形的的草草图图可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG。数数图图形形的的草草图图可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG。数数图图形形的的草草图图可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG。数数图图形形的的草草图图可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yx二、函数的图形二、函数的图形。对应的函数值为对应的函数值为与与，。，设函数设函数)()(xfyxDxDxxfy 。平平面面上上确确定定一一点点为为纵纵坐坐标标，则则在在为为横横坐坐标标，如如果果以以),(yxxoyyx的集合的集合到点到点内的所有数值时，就得内的所有数值时，就得取遍取遍当当),(yxDx),(|),(DxxfyyxG 。的的图图形形称称为为点点集集)(xfyG 数数图图形形的的草草图图。可可以以利利用用描描点点法法做做出出函函xyOxy),(yxDfR三、函数的表示法三、函数的表示法（解解析析式式）公公式式表表示示法法.1例例如如。式式来来定定义义的的函函数数也也就就是是利利用用数数学学的的表表达达12sin)(2 xxf（列列表表法法）表表格格表表示示法法.2可可以以用用表表格格来来表表示示：数数，出出租租车车车车费费是是距距离离的的函函例例如如161412107,6(5,4(4,3(3,0（元）（元）车费车费（公里）（公里）距离距离图图形形表表示示法法.3xey 四、几种特殊函数四、几种特殊函数来来表表示示不不能能用用一一个个数数学学表表达达式式分分段段函函数数.1例例1 绝对值函数绝对值函数 00|xxxxxyxyO11例例2 符号函数符号函数 010001)sgn(xxxxy当当当当当当xyO11。有有，|)sgn(xxxRx 例例3 取整函数取整函数。，,2,1,0)1,nnnxnxy.xyO12.34123例例2与例与例3中的函数也称为中的函数也称为 阶梯函数阶梯函数.例例4 狄利克莱函数狄利克莱函数（Dirichlet）QxQxxD01)(注意注意：分段函数是一个函数。：分段函数是一个函数。五、函数的几种特性五、函数的几种特性1.有界性有界性，对对应应的的内内任任一一，使使对对于于上上有有定定义义，若若存存在在正正数数在在设设xXMXxf)(，都都有有函函数数值值)(xfMxf|)(|。为为有有界界函函数数或或上上有有界界，在在成成立立，则则称称函函数数)()(xfXxf。有有，简简略略地地说说：MxfXxM|)(|0。之之间间直直线线函函数数图图像像位位于于两两条条平平行行My xyMM，有有上上界界则则称称，如如果果MxfMxfNXxMN)()(。有有下下界界 N图形特征：图形特征：。上无界上无界在在，则称，则称，有，有，XxfMxfXxM)(|)(|000 例例5 讨论下列函数在定义域上的有界性讨论下列函数在定义域上的有界性；)1,0(1)()1(xxxf。xxf1cos)()2(解解(1)，0 M，取取)1,0(110 Mx则有则有，MMMxf 1|1|)(|0。无无界界因因此此，)(xf。）上上有有界界（在在10)1,(1)(aaxxf但是但是为什么？为什么？(2)，都都有有，显显然然11cos|)(|xxfRx的的界界。的的任任何何实实数数都都是是有有界界。事事实实上上，大大于于因因此此，)(1)(xfxf上上无无界界：在在 Xxf)(2.单调性单调性时时，有有）（当当，上上有有定定义义，在在设设2121)(xxXxxXxf ；上上（严严格格）单单调调递递增增在在，则则称称Xxfxfxf)()()(21。（严严格格）单单调调递递减减，则则称称，有有若若对对)()()(2121xfxfxfxx 图形特征图形特征xy01x2x)(1xf)(2xf1x2x)(1xf)(2xf0 xy3.奇偶性奇偶性上上有有定定义义在在对对称称区区间间设设),()(llxf 内内偶偶函函数数。为为，则则称称，成成立立若若),()()()(),()1(llxfxfxfllx 内内奇奇函函数数。为为，则则称称，成成立立若若),()()()(),()2(llxfxfxfllx xy0 xxfsin)(xy02)(xxf 关于原点对称关于原点对称关于关于 y 轴对称轴对称4.周期性周期性)()(xfTxfXTxXxT ，且且成成立立，有有，若若存存在在非非零零实实数数称称为为周周期期。上上的的周周期期函函数数，为为则则称称TXxf)(，是是周周期期函函数数例例如如xxfcos)(，周周期期为为 642 通常我们所指的周期为最小正周期。通常我们所指的周期为最小正周期。正周期。正周期。无无最最小小正正周周期期例例如如1)(xf但并非所有函数都有最小但并非所有函数都有最小1.2 初等函数初等函数一、四则运算一、四则运算)()(xgyxfy 与与设设有有两两个个函函数数：)()()()(gDfDxxgxf 和和函函数数)()()()(gDfDxxgxf 差差函函数数)()()()(gDfDxxgxf 积积函函数数 0)()()(|)()(xggDfDxxxxgxf，商函数商函数二、复合运算二、复合运算43)(2 uuufy设设函函数数4)(3)()(2 f)(xg)(xg?)()()(xgfxgyxfy考考虑虑，设设)(xg )(xgf.)()(xguufy ，设设函函数数yuxfgxg)(xgf)(xgf将将这这一一过过程程形形象象化化称称为为函函数数合合过过程程，新新得得到到的的函函数数上上述述过过程程就就是是函函数数的的复复)(xgf。的的复复合合函函数数与与)()(xgxf，即即记记为为gf)()(xgfxgfy 。称称为为中中间间变变量量其其中中 u注意注意作作为为因因变变量量的的值值域域作作为为自自变变量量的的定定义义域域与与）中中间间变变量量（uu1。义义必必须须相相交交，否否则则没没有有意意。无无意意义义例例如如)2arcsin(2xy 。）一一般般来来说说（fggf 2推广推广)()()()(xgvvuuwwfy ，设设 )()(xgfxgfy 则则有有。的的定定义义域域，求求的的定定义义域域为为设设例例)1()2(1,1)(6 xfxfxf。求求，设设例例gfxgxxxxfx2log)(1|11|01|1)(7 解解，121 x；即即 21,21x111 x又又；即即0,2 x定定义义域域为为0,221,21 即即 0,21解解 )(xgf 1log2 x,11log2 x,01log2 x,1 2102 xx或或,1212 xx或或,0221 x,1 。求求，设设例例)()0()11(182xfxxxxf 简简单单的的函函数数的的复复合合将将下下列列函函数数分分解解为为几几个个例例9。）（；）（xyxy422tan11arcsin2)4ln(cos1 解解，令令xu1 则则)(uf 21111uu)111(12uuu 解解)1(，2uy ，vucos，wvln 42 xw)2(，uyarcsin，vu1，wv ，41zw xztan 三、反函数三、反函数，对对于于函函数数)(xfy （唯唯一一确确定定）有有时时yx yxx21但也有但也有定义定义，有有，若若上上有有定定义义，在在设设2121,)(xxXxxXxfy 的的一一个个双双射射或或到到值值域域是是，则则称称)()()(21fRXfxfxf 一一对应一一对应。图形特征图形特征3xy 2xy 水平线检测法水平线检测法，例如例如3xy 。例如例如2xy 定理定理 一切单调函数都是定义域到值域的双射。一切单调函数都是定义域到值域的双射。定义定义，能能唯唯一一确确定定。，值值域域为为的的定定义义域域为为设设函函数数WyWDxfy )(作作为为因因变变量量，则则作作为为自自变变量量，若若把把，使使一一个个xyyxfDx )(的的反反函函数数，之之为为函函数数得得到到一一个个新新的的函函数数，称称)(xfy ，记记为为1 f)(1yfx 注意注意存存在在反反函函数数。，特特别别地地，单单调调函函数数必必双双射射函函数数必必存存在在反反函函数数1)1(f。，值值域域为为的的定定义义域域为为)()()2(1fDfRf。的的图图形形是是同同一一条条曲曲线线与与同同一一坐坐标标系系中中，)()()3(1yfxxfy 对对称称。，则则图图形形关关于于直直线线改改为为若若将将xyxfyyfx )()(11。与与反反之之不不成成立立，例例如如11 xy四、初等函数四、初等函数基本初等函数：基本初等函数：，xaxyayxylog 。三三角角函函数数，反反三三角角函函数数由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除等四则运由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除等四则运算以及有限次复合运算所得到的函数称为初等函数。算以及有限次复合运算所得到的函数称为初等函数。五、双曲函数与反双曲函数五、双曲函数与反双曲函数2shxxeex 双曲正弦双曲正弦xxxxeeeexxx chshth双曲正切双曲正切这些函数与双曲线的几何关系同三角函数与这些函数与双曲线的几何关系同三角函数与圆的关系很相似。圆的关系很相似。,122 xshxch.22222chxshxxshxchxchxch 2chxxeex 双曲余弦双曲余弦xysh xych xyth xxxxeeeexxx shchcth双曲余切双曲余切六、符号和概念补遗六、符号和概念补遗反双曲函数反双曲函数)1ln(arsh2 xxx)1ln(arch2 xxxxxx 11ln21arth实实数数与与点点不不区区分分；.1区区别别；页页上上集集合合记记号号与与中中学学的的注注意意第第4.2).(),000 xNxbax的的一一个个邻邻域域，记记为为称称为为点点，的的任任一一开开区区间间（包包含含点点.).,(|),000000称称为为半半径径称称为为邻邻域域的的中中心心，正正数数并并且且邻邻域域，记记为为的的为为点点（特特别别地地，称称开开区区间间 xxNxxxxxx 3.邻域邻域:).,(,|0000 xNxxxx 记作记作的去心邻域的去心邻域称为点称为点集合集合