方法归纳--利用勾股定理解决折叠问题

方法归纳-利用勾股定理解决 折叠问题方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例1】 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm, BC=10 cm将厶ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE 则CD的长为（）A. 25 cmB.15 cmC.2 cm224D.15 cm4【分析】图中CD在 Rt ACD中，由于AC已知，要求CD只 需求AD,由折叠的对称性，得AD=BD注意到CD+BD=BC利 用勾股定理即可解之【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型解折叠 问题关键是抓住对称性勾股定理的数学表达式是一个含有 平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方 程思想分析问题和解决问题，以便简化求解变式练习1. 如图所示，有一块直角三角形纸片，/C=90，AC=4 cmBC=3cm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上 的点E处，折痕为AD则CE的长为（）A.1 cmB.1.5cmC.2cmD.3 cm2. （2014 青岛）如图，将长方形ABCD沿 EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上，若AB= 6, BC= 9,则BF的长 为（）A.4B.32C.4.5D.5B.43. 如图，长方形纸片ABC中,已知AD=8折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE且EF=3 则AB的长为（）A.3D.64. 如图，长方形ABCD勺边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6ABF的面积是24,则FC等于（）A.1B.2D.45. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A,且B C=3则AM的长为（）A.1.5B.2C.2.25D.2.56. 如图所示，在 ABC中，/ B=90, AB=3 AC=5 将厶ABC 折叠，使点C与点A重合，折痕为DE则厶ABE的周长为7. 如图，在 Rt ABC中，/ C=90 , BC=6 cm AC=8 cm,按图中所示方法将厶BCD沿 BD折叠，使点C落在AB边的C点, 那么 ADC的面积是8. 如图，已知 Rt ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8 将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，贝V DE的值为.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm,底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm与蜂蜜相对的点A处，则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.蚂蚁月、 C蜂蜜【分析】将圆柱形平面展开，将 A、C两点放在同一平面内 然后利用勾股定理进行计算【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定 理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9 cm而不是 18 cm.变式练习9. 如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高AB为5 cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（）A.6 cmB.12 cmC.13 cmD.16 cm10. 如图，在一个长为2 m,宽为1 m的长方形草地上，放着 一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD, 木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点 A处 到达c处需要走的最短路程是m精确到o.oi m.11. 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm， 底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C如何贴彩 带用的彩带最短？最短长度是多少？J c_ J12. 如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处 (与墙面和地面 均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角 C处.LEL7(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当AB=4 BC=4 CG=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长参考答案例1要使A, B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线. 设 CD=x 则 AD=BD=10-x.在 Rt ACD中,由勾股定理，得 x2+52=（10-x） 2.解得 x=15.故应选D.变式练习1.A 2.A 3.D 4.B 5.B6.77.6 cm28.133例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A竖直剖开）后，侧 面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形，作点A关于杯上沿 MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM过点C作AB 的垂线交剖开线MA于点D.由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+P（为蚂蚁到达蜂 蜜的最短距离，且AP=BP.由已知和长方形的性质，得 DC=9,BD=12.在Rt BCD中，由勾股定理得 BC=dc2 bd=歹云=15. AP+PC=BP+PC=BC=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm.变式练习9.C 10.2.6011.把长方体的面DCC D沿棱C D展开至面ABCDh，如 图.构成矩形ABC D,贝U A到C的最短距离为AC的长 度，连接AC交DC于 O,4D EBCCr易证 AOD2A C OC. OD=OC.即O为DC的中点，由勾股定理得 AC 2=AD 2+D C 2=82+62=100, AC =10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O,再沿直线到顶点C，贴 的彩带最短，最短长度为10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC D和ACCV 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的 AG 和 AC两种.邑(J9C(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到爬过的路径的长l 1= 424 5 2 = . 97 .蚂蚁沿着木柜表面经线段BB到C,爬过的路径的长l 2= 4 4 252 = 89 .I 2,最短路径的长是89 .