《平面与空间向量》PPT课件.ppt

第1节 向量与向量的加减法,第五章 平面与空间向量,要点疑点考点,1.向量的有关概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长的向量，叫单位向量. (2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行. (3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.,课 前 热 身,1,B,C,C,B,能力思维方法,【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.引导学生在理解的基础上加以记忆.,，,【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法,3.如果M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，有 OM= (OA+OB),【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟.本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想.,【解题回顾】(1)以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释； (2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想.,4.对任意非零向量a,b，求证：|a|-|b|ab|a|+|b|.,【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为|AB|=|BC|，ABBC,延伸拓展,误解分析,2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.,1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力思维方法1.中)，从而导致错误,第2节 实数与向量的积,要点疑点考点,2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a,1.实数与向量的积的概念 . (1)实数与向量a的积记作a，其长度|a|=|a|；方向规定如下：当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a=0. (2)设、为实数，则有如下运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b,3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a=1e1+2e2 , 其中e1，e2叫基底.,课 前 热 身,B,，,A,B,D,能力思维方法,1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共线， (1)若A、B、C三点共线，求k值； (2)若A、B、D三点共线，求k值.,【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题.,4.E是ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于F，求AF/FC.(用向量知识解答),延伸拓展,误解分析,1.很多人认为“若ab，则存在唯一实数使ba.”这是典型错误.事实上，它成立的前提是a0.同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量.,第3节 平面向量的坐标表示,要点疑点考点,1.平面向量的坐标表示 (1)a(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标. (2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 则a+b(x1+x2，y1+y2)， a-b(x1-x2，y1-y2)， a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y10,3.平移 设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标 则,1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐 标由公式 确定.当R且-1 时有( ) (A)P表示直线AB上的所有点 (B)P表示直线AB上除去A的所有点 (C)P表示直线AB上除去B的所有点 (D)P表示直线AB上除去A、B的所有点,课 前 热 身,C,2.若对n个向量a1、a2、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1、a2、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是 _(写出一组数值即可，不必考虑所有情况),-4，2，1,3.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是( ) (A)x1y2-x2y10 (B)(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)(y3-y1) (C)(x2-x1)(y3-y1)(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y10,C,B,4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于( ),5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1,C,能力思维方法,【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i(1，0)，j(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.,1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c. (1)若给定a(1，0)，b(0，1)，c(-3，-5)； (2)若给定a(5，2)，b(-4，3)，c(-3，-5).,【解题回顾】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若b0，则ab的充要条件是存在实数，使得ab.用坐标形式来表示就是abx1y2-x2y10.而x1/x2y1/y2是ab的充分不必要条件.,3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，APQ与梯形PQCB的面积之比是45，求点P的坐标.,【解题回顾】一般地，函数yf(x)的图象按a(h，k)平移后所得图象的解析式为y-kf(x-h)，即yf(x-h)+k.,4.若函数ylog2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为ylog22x，求a.,延伸拓展,【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在.,1.利用定比分点解题时，一定要先把定比先明确，的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.,误解分析,2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.,第4节 平面向量的数量积,要点疑点考点,2.平面向量的数量积的运算律 (1)abba (2)(a)b(ab)a(b) (3)(a+b)cac+bc,课 前 热 身,A,C,A,4.设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+b)b，则实数的值是( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2 5.已知|a|10，|b|12，且(3a)(b/5) -36，则a与b的夹角是( ) (A)60 (B)120 (C)135 (D)150,D,B,能力思维方法,【解题回顾】利用夹角公式待定n，利用垂直充要条件求c.,1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45 (1)求b； (2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c,2.已知xa+b，y2a+b且|a|b|1，ab. (1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角.,【解题回顾】(1)向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用a2|a|2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题. (2)向量夹角的取值范围是0，.,【解题回顾】本题中，通过建 立恰当的坐标系，赋予几何图 形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁 与简.,3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明： (1)PAEF；(2)PAEF.,【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化 ，回避了复杂的计算.,4.已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+ b)(a- b). (1)求点P(x,y)的轨迹方程C的方程. (2)若直线l:y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D(0，1)，且有AD=BD,试求实数m 的取值范围.,延伸拓展,5.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x-4，2 (1)试用x表示ab (2)求ab的最大值，并求此时a、b夹角的大小.,【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用.,【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.,1数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即a(bc)(ab)c，abac不能推出bc，除非是零向量.,误解分析,2ab的充要条件不能与ab的充要条件混淆，夹角的范围是0，不能记错.求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因.,第5节 空间向量及其运算,要点疑点考点,1.若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为(0 )，则把a、b的数量积定义为|a|b|cos，记作ab.即ab=|a|b|cos.,2.ab=ba，(a+b)c=ac+bc,3.若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，则 ab=x1x2+y1y2+z1z2,课 前 热 身,A,C,3a+3b-5c,、,1,能力思维方法,【解题回顾】(1)此例用到的常用结 论为：若AD是ABC的中线，则有 (2)此例是常用结论即重心定理：当 OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：,2.已知正三棱锥PABC中，M，N分别是PA，BC的中点，G是MN的中点.求证：PGBC.,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC交BD于O，G为CC1中点. 求证：A1O平面GBD.,【解题回顾】欲证A1O平面GBD，只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线，易看出A1OBD，而OG与A1O垂直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明).,4.沿着正四面体OABC的三条棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.,【解题回顾】引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键.,延伸拓展,5已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C (-1，-1，-2)试求这个三角形的面积.,【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢?,误解分析,【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角 才是所要求的角本题中ABC不是a与b的夹角，而是-a与b的夹角(试画图观察)，即a与b的夹角应是ABC的补角， 所以,第6节 空间向量在立体几何中的应用,要点疑点考点,2.向量a与b平行的充要条件为：|ab|=|a|b|.,1向量a与b夹角满足：,若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2则,3.向量a与b垂直的充要条件为： ab=0即x1x2+y1y2+z1z2=0,1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) (A)互不相交 (B)至多有两条直线相交 (C)三线相交于一点 (D)两两相交得三个交点,课 前 热 身,C,2.在正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN= a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定,B,3.已知PAO所在的平面，AB为O的直径，C是圆周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平面_,PAC,4.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为( ) (A)arccos (B)arccos (C)arccos (D)arccos,D,【解题回顾】空间两条直线 之间的夹角是不超过90的 角因此，如果按公式计算 分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.,5P是二面角-AB-棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPM=BPN=45, MPN=60，那么二面角-AB-的大小为( ) (A)60 (B)70 (C)80 (D)90,D,【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.,【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.,6设n是平面的单位法向量，AB是平面的一条斜线，其中A，则AB与平面所成的角为 ；B点到 平面的距离为_.,能力思维方法,【解题回顾】用向量求异面 直线所成的角，可能会因为 我们选择向量方向的缘故， 而求得该角的补角所以最 后作答时要加以确认(取小于或等于90的角作为异面直线所成角).,1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.,【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1， OC=c=1，这样使过程更加清晰.,2.三条射线OA，OB，OC，若BOC=, COA=, AOB=，又二面角B-OA-C的大小为，试证这些角之间有如下关系：,【解题回顾】将“两线垂直”问题 向“两线所在的向量的数量积为 0”转化.,3.已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，BAC=60. (1)求证BD平面ADC； (2)若H是ABC的垂心， 求证H是D在平面ABC内的射影.,【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会.,4.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4, AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD= . (1)求证：顶点A1在底面ABCD 的射影在BAD的角平分线上； (2)若M、N分别在D1C1、B1C1上 且D1M=2，B1N=2，求BN与CM 所成的角.,延伸拓展,【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模.,5.四面体ABCD中，DAC=BAC=BAD=60，AC=AD=2，AB=3. (1)求直线AC和BD所成角的余弦值； (2)求点C到平面ABD的距离.,7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.,误解分析,关于向量的命题： 1.若|a|=0，则a=0；() 2.若|a|=|b|，则a=b或a=-b；() 3.a0为单位向量，aa0，则a=|a|a0；() 4.0a=0；() 5.|ab|=|a|b|；() 6.若ab=0，则a=0或b=0；() 7.ab ab=|a|b|() 8.a、b都是单位向量，则ab=1；() 9.若|ab|=0，则|a|=0或|b|=0；() 10.(ab)c=a(bc).() 尝试说明上述命题为假的理由.,