《导数与积分》PPT课件.ppt

2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 1 （2012年高考（新课标理）已知,则,的图像大致为( ),B,【解析】选,得:,或,均有,排除,2 （2012年高考（浙江理）设a0,b0.（）,则ab,则ab,C若,D若,则ab,则ab,B若,A若,【答案】A 【解析】若,必有,.构造函数:,则,恒成立,故有函数,在x0上单调递增,即ab成立.其余选项用同样方法排除.,3（2012年高考（重庆理）设函数,其导函数为,且函数,的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是（） A函数,有极大值,和极小值,B函数,有极大值,和极小值,C函数,有极大值,和极小值,D函数,有极大值,和极小值,在R上可导,【答案】D 解,由,为增;,由,为减;,由,为减;,由,为增.,4 （2012年高考（陕西理）设函数,A,为,的极大值点,为,的极小值点,为,的极大值点,为,的极小值点,则（）,B,C,D,解析:,令,得,时,为减函数;,时,为增函数,为,的极小值点,选D.,所以,5 （2012年高考（山东理）设,且,则“函数,在,上是减函数 ”,是“函数,在,A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件,上是增函数”的（）,【解析】若函数,在R上为减函数,则有,函数,为增函数,则有,所以“函数,在R上为减函数”是“函数,为增函数”的充分不必要条件,选A.,6 （2012年高考（湖北理）已知二次函数,的图象如图所示,则它与x,A,B,C,D,轴所围图形的面积为（）,解析:根据图像可得:,再由定积分的几何意义,可求得面积为,.,【解析】,故,答案C,7（2012年高考（福建理）如图,在边长为1的正方形 OABC中任取一点P,则P恰好取自阴影部分的概率为,A,B,C,D,（）,8（2012年高考（大纲理）已知函数,的图像与,轴恰有两个公共点,则c=( ),A,或2B,或3C,或1D,或1,答案A,【解析】因为三次函数的图像与x,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可 而,当,由,或,可得,或,即,轴恰有两个公共点,时取得极值,9 （2012年高考（上海理）已知函数,的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数,的图像与x轴围成的图形的面积为_.,解析如图1,所以,易知,y=xf(x)的解析式中的两部分抛物线形状完全相同, 只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与 OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积 S=,. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分, 能用微积分求此面积的考生恐是极少的, 而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.,10（2012年高考（山东理）设,.若曲线,与直线,所围成封闭图形的面积为,则a=_,【解析】由已知得,所以,【解析】本题考查三角函数定积分的应用.,.,11（2012年高考（江西理）计算定积分,_.,12（2012年高考（广东理）曲线,在点,处的切线方程为_.,解析:,所以切线方程为,即,13（2012年高考（天津理）已知函数,的最小值为0,其中,()求,()若对任意的,有,成立,求实数k,()证明,a的值;,的最小值;,13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、 利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识, 考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和 解决问题的能力. (1),的定义域为,得：,时，,（2）设,则,在,上恒成立,（*）,当,时，,当,时，,得：实数,的最小值为,与（*）矛盾,符合（*）,（3）由（2）得：,对任意的,取,当,时，,得：,当,时，,得：,恒成立,14（2012年高考（新课标理）已知函数,满足,(1)求,的解析式及单调区间;,求,的最大值.,(2)若,【解】（1）,令,得：,得：,在,R上单调递增,得：,的解析式为,且单调递增区间为,单调递减区间为,（2）,得,当,时，,在R上单调递增,时，,与,当,时，,得：当,时，,令,；则,当,时，,当,时，,的最大值为,矛盾,15（2012年高考（浙江理）已知a0,b,R,函数,. ()证明:当0 x1时, ()函数,的最大值为|2a-b|a;,+|2a-b|a0;,1对x,0,1恒成立,求a+b的取值范围.,(),() 若1,【解析】 (),当b0时,0在0 x1上恒成立,的最大值为:,当b0时,在0 x1上的正负性不能判断, 此时,的最大值为:,=|2a-b|a; 综上所述:函数,在0 x1上的最大值为|2a-b|a;,=|2a-b|a;,()要证,+|2a-b|a0即证,=,亦即证,的最大值小于(或等于)|2a-b|a,令,当b0时,0在0 x1上恒成立,的最大值为:,当b0时,在0 x1上正负性不能判断,|2a-b|a.,此时,=|2a-b|a;,|2a-b|a;,综上所述:,+|2a-b|a0在0 x1上恒成立.,()由()知:,且函数,1,1对x,|2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:,和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,所求a+b的取值范围为:,.,在0 x1上的最大值为|2a-b|a,在0 x1上的最小值比(|2a-b|a)要大.,0,1恒成立,16（2012年高考（重庆理）设,其中,曲线,在点,处的切线垂直于,() 求,() 求函数,的极值.,轴.,a的值;,解:(1)因,故,得,(2)由(1)知,令,解得,当,时,故,在,上为减函数;,时,故,在,故,在,处取得极小值,(舍去),上为增函数;,17（2012年高考（陕西理）设函数,(1)设,证明:,在区间,(2)设,若对任意,有,求,(3)在(1)的条件下,设,是,在,判断数列,的增减性.,内存在唯一的零点;,b的取值范围;,内的零点,解析:(1),时,在,又当,时,在,上是单调递增的,在,内存在唯一零点.,内存在零点.,(2)当,时,对任意,都有,等价于,在,上最大值与最小值之差,()当,即,时,()当,即,时,()当,即,时,综上可知,与题设矛盾,恒成立,恒成立.,(3) 设,是,在,内的唯一零点,于是有,又由(1)知,在,上是递增的,故,所以,数列,是递增数列.,18（2012年高考（山东理）已知函数,(,为常数,),曲线,在点,处的切线与,()求,()求,()设,其中,为,证明:对任意,轴平行.,的值;,的单调区间;,的导函数.,解析:(1)由f(x) =,可得,而,即,解得,(),令,可得,当,时,当,时,于是,在区间,内为增函数;在,内为减函数.,(),(1)当,时,(2)当,时,要证,只需证,设函数,即可,则,则当,时,令,解得,当,时,;当,时,则当,时,且,则,于是可知当,时,综合(1)(2)可知对任意x0,恒成立.,设函数,另证2:根据重要不等式当,时,即,于是不等式,设,令,解得,当,时,;当,时,则当,时,于是可知当,时,成立.,19（2012年高考（辽宁理）设,曲线,与直线,()求,()证明:当,时,.,在(0,0)点相切.,的值.,20（2012年高考（江苏）,已知,是实数,1和,是函数,的两个极值点. (1)求,a和b,(2)设函数,的导函数,求,(3)设,其中,求函数,的零点个数.,的值;,的极值点;,解:(1)由,得,1和-1,是函数,解得,(2) 由(1)得,解得,当,时,;当,时,是,当,或,时,不是,的极值点是-2.,的两个极值点,的极值点.,的极值点.,(3)令,则,讨论关于,的方程,根的情况:,当,时,由(2 )可知,的两个不同的根为1和一2 ,注意到,是奇函数,的两个不同的根为-1和2.,时,一2 , -1,1 ,2 都不是,由(1)知,.,当,的根., 当,时,是增函数,此时,在, 当,时.,又,在(1 , 2 )内有唯一实根., 当,时,又,因此,当,时,有两个不同的根,满足,;当,时,有三个不同的根,满足,无实根.,是单调增函数.,的图象不间断,同理,在(一2 ,-1 )内有唯一实根.,是减两数.,的图象不间断,在(一1,1 )内有唯一实根.,现考虑函数,( i )当,时,有两个根,满足,而,有三个不同的根,有两个不同的根,故,( 11 )当,时,有三个不同的根,满足,而,有三个不同的根,故,综上所述,当,时,函数,有5 个零点;当,时,函数,有9个零点.,的零点:,有5 个零点.,有9 个零点.,21（2012年高考（湖南理）已知函数,其中a0. (1)若对一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合.,的图像上取定两点,记直线AB斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使,成立?若存在,求,的取值范围;若不存在,(2)在函数,请说明理由.,【解析】()若,则对一切,这与题设矛盾,又, 故,而,令,当,时,单调递减;,时,单调递增,最小值为,对一切,恒成立,当且仅当,当,令,则,当,时,单调递增;,时,单调递减.,时,取最大值,当,故当,()由题意知,令,则,令,则,当,时,单调递减;,时,单调递增.,当,.因此,当且仅当,即,综上所述,的取值集合为,时,式成立.,故当,即,从而,又,所以,因为函数,在区间,上连续,所以存在,使,单调递增,故这样的,是唯一的,且,.故当且仅当,时,综上所述,存在,使,成立.且,的取值范围为,.,22（2012年高考（湖北理）()已知函数,其中,为有理数,且,. 求,()试用()的结果证明如下命题: 设,为正有理数. 若,则,()请将()中的命题推广到一般形式,并用数学归纳 法证明你所推广的命题. 注:当,为正有理数时,有求导公式,.,的最小值;,解析:(),令,解得,当,时,所以,在,当,时,所以,在,故函数,在,处取得最小值,内是减函数;,内是增函数.,()由()知,当,时,有,即,若,中有一个为0,则,若,均不为0,又,可得,于是在中令,可得,亦即,综上,对,为正有理数且,总有,. ,()()中命题的推广形式为: 设,为非负实数,若,则,用数学归纳法证明如下: (1)当,时,有,(2)假设当,时,成立,即若,为非负实数,为正有理数, 且,则,.,为正有理数.,成立.,当,时,已知,为非负实数,为正有理数, 且,此时,于是,=,因,由归纳假设可得,从而,又因,由得,从而,故当,由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立.,时,成立.,23（2012年高考（广东理）设,()求集合,()求函数,在,内的极值点.,(用区间表示);,解析:()考虑不等式,因为,且,当,时,此时,当,时,此时,当,时,此时,有两根,设为,、,且,则,于是,的解.,当,时,所以,此时,当,时,所以,此时,综上所述,当,时,当,时,当,时,当,时,.其中,.,(),令,可得,.因为,所以,有两根,和,且,.当,时,此时,在,内有两根,和,列表可得,所以,在,内有极大值点1,极小值点,当,时,此时,在,内只有一根,列表可得,所以,在,内只有极小值点,没有极大值点.,当,时,此时,于是,在,内只有一根,列表可得,所以,在,内只有极小值点,没有极大值点.,当,时,此时,于是,在,内恒大于0,在,综上所述,时,在,内有极大值点1,当,时,在,内只有极小值点,没有极大值点.,时,在,内没有极值点.,内没有极值点.,极小值点,当,当,24（2012年高考（福建理）已知,()若曲线,在点,处的切线平行于,求函数,()试确定,的取值范围,使得曲线,上存在唯一,曲线在该点处切线与曲线只有一个公共点,.,轴,的单调区间;,的点,解:(1),故,时,时,所以函数,的增区间为,减区间为,(2)设切点,则切线,令,因为只有一个切点,所以函数,只有一个零点,因为,若,因此有唯一零点,由,的任意性知,若,令,则,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故,的取值范围为,不合题意,25（2012北京）已知,(,),(1)若曲线,与曲线,在它们的交点(1,c),处具有公共切线,求,(2)当,时,求函数,的单调区间,并求其在区间,上的最大值.,的值;,解:(1)由,为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:,(2),设,则,令,得:,原函数在,单调递增,在,单调递减,在,若,即,时,最大值为,若,即,时,最大值为,若,时,即,时,最大值为,综上所述:当,时,最大值为,当,时,最大值为,.,上单调递增,26（2012年高考（安徽理）(本小题满分13分)设,(I)求,在,(II)设曲线,在点,的切线方程为,;求,的值.,上的最小值;,【解析】(I)设,;则,当,时,在,得:当,时,的最小值为,当,时,当且仅当,时,的最小值为,上是增函数,(II),由题意得:,27( 2012新课标)设函数f(x)= exax2 ()求f(x)的单调区间 ()若a=1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)+x+10， 求k的最大值,30设函数,，,（）若,，求函数,在,（）若函数,在,试求实数,的取值范围；,上的最小值；,上存在单调递增区间，,（）,的定义域为,因为,所以,在,所以,在,上的最小值为,上是增函数，,解析：,31设函数,，,（）若,，求函数,在,（）若函数,在,试求实数,的取值范围；,上的最小值；,上存在单调递增区间，,（）解法一：,依题意得，在区间,上存在子区间使不等式,又因为,，所以,设,，所以,小于,在区间,又因为,成立.,的最大值.,由,解得,由,解得,所以,在区间,上递增，在区间,上递减.,所以函数,在,或,又,，,，所以,，,所以实数,的取值范围是,处取得最大值.,),解法二：,设,依题意，在区间,上存在子区间使得不等式,注意到抛物线,开口向上，,，或,由,，即,，得,由,，即,，得,所以,成立.,所以只要,即可.,解:,32,33,0,1,2,34已知函数,其中a为大于零的常数 （1）若函数,在,（2）求函数,在区间,（3）求证：对于任意的,且,时，都有,成立,上单调递增，求a的取值范围；,上的最小值；,解：,（1）由已知，得,上恒成立，,上恒成立,又,（2）当,时，,在（1，2）上恒成立，,在1，2上为增函数，,.,当 时,在（1，2）上恒成立，,在1，2上为减函数,当,时，令,综上，,在1，2上的最小值为:,当,时，,当,当,35（2009浙江）已知,若,在区间,上不单调，求,的取值范围；,解析：,因,在区间,上不单调，所以,在,上有实数解,且无重根，由,得,令,有,记,则,在,上单调递减，在,上单调递增，所以有,而当,时有,在,上有两个相等的实根x=1,，故舍去，所以,36.（2009浙江）已知,（I）若函数,的图象过原点，且在原点处的切线斜率是,，求,（II）若,在区间,上不单调，求,的值；,的取值范围,又,，解得,或,（）函数,在区间,不单调，等价于导函数,在,0的实数,函数,在,上存在零点但不是重根，,即：,整理得：,解得,解（）由题意得,既能取到大于0的实数，又能取到小于,（1）根据零点存在定理，由,解得,（2）,综上,37已知函数,，曲线,在点,处的切线方程为,（I）求a，b的值； （II）证明：当x0，且,时，,（）,由于直线,的斜率为,且过点,，故,即,解得,，,。,（）由（）知,所以,考虑函数,则,所以当,时，,故当,时，,当,时，,从而当,38(2011)已知函数,，曲线,在点,处的切线方程为,（）求a.b,（）如果当,，且,时，,求,的取值范围。,的值；,解析：（）,由于直线,的斜率为,，且过点,，故,即,解得,，,（）由（）知f(x)=,。 考虑函数,，则,。,(i)设,，由,知，当,时，,，h(x)递减。而,故当,时，,，可得,当x,（1，+,）时，h（x）0，可得,从而当x0,且x,1时，,+,）0，即f（x）,h（x）0,f（x）-（,+,（ii）设0k1.由于,=,的图像开口向下，且,对称轴x=,.当x,（1，,）时，（k-1）（x2 +1）+2x0,故,(x）0,而h（1）=0，故当x,（1，,h（x）0，可得,（iii）设k,1.此时,故当x,（1，+,）时，h（x）0，可得,h（x）0,与题设矛盾。,，0,）时，,h（x）0,与题设矛盾。,（x）0,h（1）=0，,综合得，k的取值范围为（-,39已知函数,(1)若f(x),在区间,(2),上不单调,是否存在正整数a，使,解析：,求实数a的取值范围；,若存在求出a值；若不存在说明理由,40已知函数,（1）若函数,是,上的增函数，求,（2）若对任意的,，都有,最大整数,（3）证明：,。,k的取值范围；,，求满足条件的,k的值；,解：（1）设,因为,是,上的增函数，且,所以,是,上的增函数，所以,；所以,的取值范围为,所以,（2）由条件得到,对任意的,，都有,41已知函数f(x)=lnx-ax2+ax(aR) (1)若a=-1时，证明函数f(x)只有一个零点； (2)若f(x)在区间(1,+) 上是减函数，求a的取值范围；,(2)f(x)在区间(1,+) 上是减函数,42已知函数f(x)=lnx+a(x2-x) (1)若a=-1时，求f(x)的极值； (2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；,【分析】利用f (x)=0求出极值点，通过列表确定极大值或极小值；函数单调递减区间的存在，则为f (x)0有解,所以x=1时，f(x)极大值=0，无极小值,【点评】各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想等都利用二次函数作为载体，导数在解决函数的有关性质问题时，最终也是利用二次函数为载体来解决问题,43,45.(2009启东模拟)已知函数 (aR). (1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，求a、 b的值； （2）若函数f(x)在（1，+）上为增函数，求a的 取值范围； （3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由. 解 (1)因为 所以 又因为f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，所以 所以,(2)若函数f(x)在（1，+）上为增函数，则 在（1，+）上恒成立，即ax2 在（1，+）上恒成立.所以a1. （3）当a=0时，f(x)在定义域（0，+）上恒大于0， 此时方程无解； 当a0时，,因为当x(0, )时，f(x)0，f(x)在 ,+） 内为增函数. 所以当x= 时，f(x)有极小值，即为最小值 当a(0,e)时， 此时方程f(x)=0无解； 当a=e时， .此时方程有唯一 解x= ； 当a(e,+)时，,因为 且11时，(x-lnx)0，所以当x1时，x- lnx1.则xlnx， 因为2a 1，所以 所以方程f(x)=0在区间 ,+）上有唯一解. 即方程f(x)=0在区间（0,+）上有两个解. 综上所述，当a0,e)时，方程无解；当ae时，方程有两个解.,返回,46.已知函数 (x0),其中a,bR. (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为 y=3x+1,求函数f(x)的解析式; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若对于任意的 不等式f(x)10在 上恒成立,求b的取值范围. 解 （1） 由导数的几何意义得 f(2)=3,于是a=-8. 由切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9.,所以函数f(x)的解析式为 （2） 当a0时，显然f(x)0 (x0).这时f(x)在 （-,0）,(0,+)内是增函数. 当a0时，令f(x)=0，解得x= . 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在（-, ）,( ,+)内是增函数， 在（- ,0）,(0, )内是减函数. 综上所述，当a0时,f(x)在（-,0）,（0,+） 内是增函数 当a0时，f(x)在（-,- ），（ ,+）内是增 函数，在（- ,0），(0, )内是减函数. （3）由（2）知，f（x）在 的最大值为 与f(1)中的较大者，对于任意的 不等式 f(x)10在 上恒成立，当且仅当,47(2010安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1. 解析：(1)由f(x)ex2x2a，xR知 f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，)， 极小值f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)设g(x)exx22ax1，xR. 于是g(x)ex2x2a，xR.,由(1)知当aln 21时，g(x)最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增 于是当aln 21时，对任意x(0，)， 都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,49,50已知函数f(x)=,（1）若f(x),在1，）上为单调函数,，若在1，e上至少存在一个,使得f(x0)h(x0),成立，求,m的取值范围,，mR,求m的取值范围；,（2）设,（1）f(x)=,f(x)在其定义域内为单调函数，,或者,在1，）恒成立,等价于,即,而,，（,）max=1，,等价于,即,在1，）恒成立，,（0，1，,综上，m的取值范围是,（2）构造,当,时，,，,在1，e上不存在一个,，使得,返回,52已知函数,，,（）讨论函数,（）设函数,在区间,内是减函数，求a,解：（1）,求导：,当,时，,在,上递增,的单调区间；,的取值范围,当a23时, 0,求得两根为,即,在,递增，,递减，,递增,（2）,，且,解得：,或,2 3,1 3,y,x,0,