【新人教】初三数学【全套】教案##上下册##

【新课标人教版】九年级数学教案【九年级上下册教案全套】目录精品文档I精品文档IIaabb人教版九年级上册全套教案第二十一章二次根式教材内容1本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式2本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章反比例正函数、第十八章勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础教学目标1知识与技能（1）理解二次根式的概念（2）理解a（a0）是一个非负数，（a）2=a（a0），a2=a（a0）（3）掌握abab（a0，b0），ab=ab；aa=（a0，b0），=（a0，b0）bb（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减2过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的3情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力教学重点1二次根式a（a0）的内涵a（a0）是一个非负数；（a）2a（a0）；a2=a（a0）及其运用2二次根式乘除法的规定及其运用3最简二次根式的概念4二次根式的加减运算教学难点1对a（a0）是一个非负数的理解；对等式（a）2a（a0）及a2=a（a0）的理解及应用2二次根式的乘法、除法的条件限制3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式教学关键精品文档11潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点2培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：211二次根式3课时212二次根式的乘法3课时213二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时211二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a（a0）的意义解答具体题目提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键1重点：形如a（a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“a（a0）”解决具体问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_问题 2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，C=90，那么AB 边的长是_ABC问题 3：甲射击 6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么 S=_老师点评：问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3因为点在第一象限，所以 x=3，所以所求点的坐标（3，3）问题 2：由勾股定理得AB=10精品文档2“-问题 3：由方差的概念得S=二、探索新知46.很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如a（a0）的式子叫做二次根式，根号（学生活动）议一议：1-1有算术平方根吗？20的算术平方根是多少？3当a0）、0、42、-2、1x y、x y（x0，y0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或01x解：二次根式有：2、x（x0）、0、2、x y（x0，y0）；不是二次根式的有：33、1、42、x y例 2当 x 是多少时，3x1在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，3x1才能有意义解：由 3x-10，得：x13当 x13时，3x1在实数范围内有意义三、巩固练习教材 P练习 1、2、3四、应用拓展例 3当 x 是多少时，2x3+1x1在实数范围内有意义？分析：要使2x3+011在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的0和中的 x+1x1x1精品文档3x1 02且 x-1时，2x3+例 4(1)已知 y=2 x+x2+5，求x(2)若a1+b1=0，求 a2004+b2004的值(答案:2A5B5C12当 x 是多少时，2x32x3 0解：依题意，得由得：x-32由得：x-1当 x-31x1在实数范围内有意义y的值(答案:2)5)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数六、布置作业1教材 P8复习巩固 1、综合应用 52选用课时作业设计3.课后作业:同步训练第一课时作业设计一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（）A-7B37CxDx2下列式子中，不是二次根式的是（）A4B16C8D1x3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）5D以上皆不对二、填空题1形如_的式子叫做二次根式2面积为 a的正方形的边长为_3负数_平方根三、综合提高题1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？x+x2在实数范围内有意义？3若3 x+x3有意义，则x2=_精品文档42x3 0 x 2依题意得：，2x 04.使式子(x5)2有意义的未知数 x 有（）个A0B1C2D无数5.已知 a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求 a、b的值第一课时作业设计答案:一、1A2D3B二、1a（a0）2a3没有三、1设底面边长为x，则 0.2x2=1，解答：x=53x 0当 x-322x3且 x0时，x2在实数范围内没有意义x3.134B5a=5，b=-421.1二次根式(2)第二课时教学内容1a（a0）是一个非负数；2（a）2=a（a0）教学目标理解a（a0）是一个非负数和（a）2=a（a0），并利用它们进行计算和化简通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a0）；最后运用结论严谨解题教学重难点关键1重点：a（a0）是一个非负数；（a）2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出a（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（a）2=a（a0）精品文档5（121（3解：（3教学过程一、复习引入（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当 a0时，a叫什么？当a0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题解：（1）因为 x0，所以 x+10（x1）2=x+1（2）a20，（a2）2=a2（3）a2+2a+1=（a+1）2又（a+1）20，a2+2a+10，a22a1=a2+2a+1（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2又（2x-3）204x2-12x+90，（4x212x9）2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a（a0）是一个非负数；2（a）2=a（a0）;反之:a=（a）2（a0）六、布置作业1教材 P8复习巩固2（1）、（2）P972选用课时作业设计3.课后作业:同步训练第二课时作业设计一、选择题1下列各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144，二次根式的个数是（）A4B3C2D12数 a没有算术平方根，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da=0二、填空题精品文档726）2（4）（-32（1）5（2）3.4（3）126）2=46=33）2=92（4）（-326=（16）2（4）x=（x）2（x0）3x y1 0 x31（-3）2=_2已知x1有意义，那么是一个_数三、综合提高题1计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（1(5)(2 33 2)(2 33 2)2把下列非负数写成一个数的平方的形式:6（4）x（x0）3已知x y1+x3=0，求 xy的值4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2（2）x4-93x2-5第二课时作业设计答案:一、1B2C二、132非负数3）2三、1（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（1123=6(5)-62（1）5=（5）2（2）3.4=（3.4）2（3）1x3 0y 4xy=34=814.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3）(3)略精品文档810)2=_；10)2=21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a2a（a0）教学目标理解a2=a（a0）并利用它进行计算和化简通过具体数据的解答，探究a2=a（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键1重点：a2a（a0）2难点：探究结论3关键：讲清 a0时，a2a才成立教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1形如a（a0）的式子叫做二次根式；2a（a0）是一个非负数；3(a)2a（a0）那么，我们猜想当a0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知（学生活动）填空：22=_；0.012=_；(123()2=_；02=_；()2=_37（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；0.012=0.01；(11210；(3)2=2333；02=0；(7)2=7因此，一般地：a2=a（a0）例 1化简（1）9（2）(4)2（3）25（4）(3)2精品文档9分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a0）去化简解：（1）9=32=3（2）(4)2=42=4（3）25=52=5（4）(3)2=32=3三、巩固练习教材 P7练习 2四、应用拓展例 2填空：当a0时，a2=_；当aa，则 a可以是什么数？分析：a2=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a0时，a2=(a)2，那么-a0（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使aa所以 a 不 存 在；当aa，即使-aa，a0 综上，a2，化简(x2)2-(12x)2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：a2=a（a0）及其运用，同时理解当a(a)2-a2Ca2(a)2a2=(a)2二、填空题1-0.0004=_2若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是_三、综合提高题1先化简再求值：当a=9时，求a+12aa2的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1a)2=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+(1a)2=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若1995-a+a2000=a，求 a-19952的值（提示：先由a-20000，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3.若-3x2 时，试化简x-2+(x3)2+x210 x25。答案:一、1C2A二、1-00225三、1甲甲没有先判定1-a 是正数还是负数2由已知得a-20000，a2000所以 a-1995+a2000=a，a2000=1995，a-2000=19952，所以 a-19952=20003.10-x212二次根式的乘除第一课时教学内容abab（a0，b0），反之ab=ab（a0，b0）及其运用精品文档11)(=教学目标理解abab（a0，b0），ab=ab（a0，b0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出abab（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab=ab（a0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键重点：abab（a0，b0），ab=ab（a0，b0）及它们的运用难点：发现规律，导出abab（a0，b0）关 键：要 讲 清ab（a0,b、0）,并验证你的结论答案:一、1B2C3.A4.D二、1136212s三、1设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则 x210=303020，x2=30302，x=30302=3022 aaaa21验证：aaaa3a21a21精品文档15=aabbaabbaabb916163636=a3aaa3aaa(a21)aa21a21a21a21a21=aaa21.212 二次根式的乘除第二课时教学内容aa=（a0，b0），反 过 来=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简bb教学目标理解aa=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它们进行运算bb利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1重点：理解aa=（a0，b0），=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简bb2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式2填空（1）（2）（3）（4）916163641636819=_，=_；1616=_，=_；364=_，=_；1636=_，=_81规律：91644_；_；_；161616368136_813利用计算器计算填空:精品文档16（1）3322435b=ab（a0，b0）3（2）8（3）1分析：上面 4小题利用a解：（1）12（2）38=2 82834=3=23（3）11416=4=2（4）64（1）364（2）9a264y2（4）169y2b=ab（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1）3227=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_4358规律：32277_；_；_；_。43588每组推荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0），反过来，a下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例 1 计 算：（1）12321416416（4）8b=ab（a0，b0）便可直接得出答案3=123=4=22131341116=41618=648=8=22例 2化简：64b29x5x（3）分析：直接利用a364=6438精品文档17（2）64b29a2=9a264y2=9x64y2（4）5x例 3已知9 xx6x6x21的值b=ab，只有 a0，b0时才能成立解：由题意得9 x 0(x1)=(1 x)(x4)b=b（a0，b0）和a64b28b3a（3）9x5x169y2=169y23 x8y5x13y三、巩固练习教材 P14练习 1四、应用拓展9 xx25x4，且 x 为偶数，求（1+x）分析：式子a因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因为x 为偶数，所以x=8x9x6 0，即x 660）及其运用六、布置作业1教材 P15习题 2122、7、8、92选用课时作业设计3.课后作业:同步训练第二课时作业设计精品文档1875，3，3 2=_;(2)1二、1(1)3一、选择题1121计算1 2 1的结果是（）335A2B27C2D272阅读下列运算过程：13322 52 533 355 55数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”那么，化简26的结果是（）A2B6C二、填空题136D61分母有理化:(1)110=_;(3)=_.122 52已知 x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_三、综合提高题1有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，现用直径为 315cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2计算nn1n3n（1）（-）（m0，n0）m2m3mm32m33m23n23mna2（2）-3（）（a0）2a22a2mn答案:一、1A2C3102 52;(2);(3)662 52 522153三、1设：矩形房梁的宽为x（cm），则 长 为3xcm，依题意，得：（3x）2+x2=（315）2，精品文档194x2=915，x=3n21计算（1）36215（cm），3xx=3x2=1353（cm2）42（1）原式-nm2n4n=-2m52m3m2n42m32m5n=-nn3nn n=-m2m2m2mn2m3n（2）原式=-23(mn)(mn)a2a23a2=-2=-6a2amnmn221.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）3 28，（2），（3）5272a老师点评：3153 282 a=，=，=552732aa2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_它们的比是2Rh12Rh2二、探索新知观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：精品文档20;(2)（11被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐34 个人到黑板上板书老师点评：不是2Rh12Rh2=2Rhhhh111 2.2Rhhh2225例 1(1)3x2y4 x4y2;(3)8x2y312例 2如图，在RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长ABC解：因为AB2=AC2+BC2所以 AB=2.5262=(5)236 216916913=6.5（cm）442因此 AB 的长为 6.5cm三、巩固练习教材 P14练习 2、3四、应用拓展例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：11(21)21=21(21)(21)21=2-1，11(32)32=32(32)(32)32=3-2，同理可得：1=4-3，43从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算111+）（2002+1）的值21324320022001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（2-1+3-2+4-3+2002-2001）（2002+1）精品文档211如果xy（y0）Bxy（y0）Cxy2把（a-1）1A5B127的结果是（）3B-23C-2aa11已知 a 为实数，化简：a3-a1=（2002-1）（2002+1）=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用六、布置作业1教材 P15习题 2123、7、102选用课时作业设计3.课后作业:同步训练第三课时作业设计一、选择题y（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）Axy（y0）D以上都不对a1中根号外的（a-1）移入根号内得（）Aa1B1aC-a1D-1a3在下列各式中，化简正确的是（）3=31512=22Ca4b=a2bDx3x2=xx14化简3 2A-263D-2二、填空题1化简x4 x2y2=_（x0）a2化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：精品文档22解：a3-a1aaa=（a-1）a 0 x yx y x2 y2411=aa-ax244 x212若 x、y 为实数，且 y=，求x yx2答案:一、1C2D3.C4.C二、1xx2 y22-a1三、1不正确，正确解答：a3 0因为 1，所以 a0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即（m-4）2+10不论m取何值，该方程都是一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用六、布置作业1教材 P34习题 2211、22选用作业设计作业设计一、选择题1在下列方程中，一元二次方程的个数是（）3x2+7=0ax2+bx+c=0（x-2）（x+5）=x2-13x2-5x=0精品文档43A1个B2个C3个D4个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A2，3，-6B2，-3，18C2，-3，6D2，3，63px2-3x+p2-q=0是关于 x 的一元二次方程，则（）Ap=1Bp0Cp0Dp为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_三、综合提高题1a满足什么条件时，关于x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3所以，_x_第二步：x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36所以，_x_（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_，十分位为_答案:一、1A2B3C二、13，-2，-42ax+bx+c=0（a0）精品文档443a1三、1化为：ax2+（a-3+1）x+1=0，所以，当 a0时是一元二次方程2可能，因为当m1 22m2m 0，当m=1时，该方程是一元二次方程3（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4（2）3，3221一元二次方程第二课时教学内容1一元二次方程根的概念；2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题重难点关键1重点：判定一个数是否是方程的根；2难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？810设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为_整理，得_列表：x012345678问题 2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_m根据题意，得_整理，得_列表：x01234567891011老师点评（略）精品文档45x二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师 点评：（1）问题1中 x=6是 x2-36=0的解，问题 2中，x=10是 x2+2x-120=0的解（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6的解；问题 2中还有 x=-12的解为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根回过头来看：2-36=0有两个根，一个是6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题2中的 x=-12的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解例 1下面哪些数是方程2x2+10 x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程2x2+10 x+12=0的两根例 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义解：（1）移项得 x2=64根据平方根的意义，得：x=8即 x1=8，x2=-8（2）移项、整理，得x2=2根据平方根的意义，得x=2即 x1=2，x2=-2（3）因为 x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0所以 x=0或 x-3=0即 x1=0，x2=3三、巩固练习教材 P33思考题练习 1、2四、应用拓展例 3要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由（2）完成下表：x1011121314151617x2-5x-150（3）你知道铁片的长x 是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根解：（1）x 不可能小于 5理由：如果x5，则宽（x-5）0，不合题意x 不可能等于10理由：如果 x=10，则面积 x2-5x-150=-100，也不可能精品文档46Ax1=b，x2=aBx1=b，x2=1Cx1=a，x2=Dx1=a2，x2=b22（2）x1011121314151617x2-5x-150-100-84-66-46-2402654（3）铁片长 x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根六、布置作业1教材 P34复习巩固 3、4综合运用 5、6、7拓广探索 8、92选用课时作业设计作业设计一、选择题1方程 x（x-1）=2的两根为（）Ax1=0，x2=1Bx1=0，x2=-1Cx1=1，x2=2Dx1=-1，x2=22方程 ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）1aa3已知 x=-1是方程 ax2+bx+c=0的根（b0），则ac=（）bbA1B-1C0D2二、填空题1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_2已知方程 5x2+mx-6=0的一个根是 x=3，则m的值为_3方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=_；x2=_三、综合提高题1如果 x=1是方程 ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值2如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根x21x213在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）-2xxx+1=0，x21令=y，则有 y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：在（x2-1）2+x（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根精品文档47x2（2x（P答案:一、1D2B3A二、19，-92-133-1，1-2三、1由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=92a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1代入得ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，-1必是该方程的一根3设 y=x2-1，则 y2+y=0，y1=0，y2=-1，即当 x2-1=0，x1=1，x2=-1；当 y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，x3=x4=0，x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程重难点关键1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1填空（1）2-8x+_=（x-_）；2）9x2+12x+_=（3x+_）；3）2+px+_=（x+_）2问题 2如图，在ABC 中，B=90，点P从点 B 开始，沿AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，、Q都从 B 点同时出发，几秒后PBQ的面积等于 8cm2？精品文档48方程的两根为t1=2-1，t2=-2-CQAPB老师点评：问题 1：根据完全平方公式可得：（1）164；（2）42；（3）（问题 2：设 x 秒后PBQ的面积等于 8cm2则 PB=x，BQ=2xp p）222依题意，得：12x2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=22即 x1=22，x2=-221可以验证，22和-22都是方程x2x=8的两根，但是移动时间不能是负值2所以 22秒后PBQ的面积等于 8cm2二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=22，如果x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=22即2t+1=22，2t+1=-22122例 1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=1即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例 2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为 x一年后人均住房面积就应该是10+10 x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44精品文档49，A（x-1直接开平方，得1+x=1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为20%（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材 P36练习四、应用拓展例 3某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三 月 份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+13）2=2.56，即（x+）2=25622333x+=1.6，即 x+=1.6，x+=-1.6222方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0）那么mx+n=p，达到降次转化之目的六、布置作业1教材 P45复习巩固 1、22选用作业设计:一、选择题1若 x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）Ap=4，q=2Bp=4，q=-2Cp=-4，q=2Dp=-4，q=-22方程 3x2+9=0的根为（）A3B-3C3D无实数根3用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）812 2）2=，x=3933精品文档50B（x-1，x1=+，x2=D（x-2，x2=-3338）2=-，原方程无解39C（x-2525253933351）2=1，x=1二、填空题1若 8x2-16=0，则 x 的值是_2如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_3如果 a、b为实数，满足3a4+b2-12b+36=0，那么ab的值是_三、综合提高题1解关于 x 的方程（x+m）2=n2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成，木栏长40m（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到 200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案:一、1B2D3B二、1229或-33-8x三、1当n0时，x+m=n，x1=n-m，x2=-n-m当n0时，无解2（1）都能达到设宽为x，则长为 40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，得：2-20 x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理 x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为 40-20=20（2）不能达到同理x（40-2x）=210，x2-20 x+105=0，b2-4ac=400-410=-100b24ac04a2精品文档59x1=，x2=入式子 x=bb24acx=(4)24x=(5)492311 13b直接开平方，得：x+=2ab24ac2a即 x=bb24ac2abb24acbb24ac2a2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当b-4ac0时，将 a、b、c代2a就得到方程的根（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可解：（1）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=（-4）2-42（-1）=2402242 62 642x1=26262，x2=2（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=（-5）2-43（-2）=49023576x1=2，x2=-13（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b2-4ac=（-11）2-439=130 x=(11)136精品文档60 x1=11 13，x2=m2 0 x=(1)9211 1366（3）a=4，b=-3，c=1b2-4ac=（-3）2-441=-70因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根三、巩固练习教材 P42练习 1（1）、（3）、（5）四、应用拓展例 2某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）xm22+（m-2）x-1=0提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:m211m21 0m1 0或或(m1)(m2)0m2 0解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2m2=1m=1当m=1时，m+1=1+1=20当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当m=1时，方程为2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=913224x1=，x2=-1因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-12（2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10所以m=0满足题意当m2+1=0，m不存在当m+1=0，即m=-1时，m-2=-30所以m=-1也满足题意当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得 x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，精品文档612设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，1）试推导x1+x2=-b，x1x2=；（2）用其一元一次方程的根为x=-13五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况六、布置作业1教材 P45复习巩固 42选用作业设计:一、选择题1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）Ax=362Bx=362Cx=32 332 3Dx=222方程2x2+43x+62=0的根是（）Ax1=2，x2=3Bx1=6，x2=2Cx1=22，x2=2Dx1=x2=-63（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）A4B-2C4或-2D-4或 2二、填空题1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_2当 x=_时，代数式x2-8x+12的值是-43若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为 0，则m的值是_三、综合提高题1用公式法解关于x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0c（aa求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时A100元收费（1）若某户2月份用电 90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3480452510根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？精品文档62x1=，x2=x1+x2=-，x1x2=答案:一、1D2D3Cbb24ac二、1x=，b2-4ac0243-32a2a4a24b24a2三、1x=ab22（1）x1、x2是 ax2+bx+c=0（a0）的两根，bb24acbb24ac2a2abb24acbb24acb2aabb24ac bb24acc2a2aa（2）x1，x2是 ax2+bx+c=0的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=03（1）超过部分电费=（90-A）A19=-A2+A10010010（2）依题意，得：（80-A）A100=15，A1=30（舍 去），A2=5022.3 实际问题与一元二次方程(1)教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题重难点关键1重点：用“倍数关系”建立数学模型2难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入精品文档63y1500(股)0.4x0.6y1300 x（学生活动）问题 1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）星期一二三四五甲12元12.5元12.9元12.45元12.75元乙13.5元13.3元13.9元13.4元13.75元某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x 或 y 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张0.5x(0.2)y 200 x1000(股)则解得答：（略）二、探索新知上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题（学生活动）问题 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是 3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x 因为一月份是 1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31整理，得：x2+3x-0.31=0解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型例 1某电脑公司 2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共 950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系解：设平均增长率为x则 200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%三、巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料 60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_精品文档648Ap至四、应用拓展例 2某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是1000+2000 x80%；第二次存，本金就变为1000+2000 x80%，其它依此类推解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000 x80%+（1000+2000 x8%）x80%=1320整理，得：1280 x2+800 x+1600 x=320，即 8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2=1=0.125=12.5%答：所求的年利率是125%五、归纳小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它六、布置作业1教材 P53复习巩固 1综合运用 12选用作业设计作业设计一、选择题12005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）A100（1+x）2=250B100（1+x）+100（1+x）2=250C100（1-x）2=250D100（1+x）22一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）A（1+25%）（1+70%）a元B70%（1+25%）a元C（1+25%）（1-70%）a元D（1+25%+70%）a元3某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过 d%，则d可用p表示为（）100p100pBpCD100p1000p100p二、填空题1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万 kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为_2某糖厂 2002年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计 2004年的产量将是_3 我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001 年降价 70%a 元，则这种药品在1999 年涨价前价格是_三、综合提高题1为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002年一年退耕还林 1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量精品文档653某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率答案:一、1B2B3D二、16（1+x）6（1+x）26+6（1+x）+6（1+x）22a（1+x）2t3100a39三、1平均增长率为x，则 1600（1+x）2=1936，x=10%2设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：精品文档66x?y103则16(1 x)2(y20)16(1 x)2 65y 24x 1416x2 y 32290即 16x2+56x-15=0，解得 x=14=25%，y=20（台）3（1）第一年年终总资金=50（1+P）（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一