直线、平面平行和垂直的判定及其性质.ppt

本章内容,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其性质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章 小结,第二章,点、直线、平面之间的位置关系,立体几何,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.1 直线与平面垂直的判定(第一课时),复习与提高,2.3.1 直线与平面垂直的判定(第二课时),2.3.2 平面与平面垂直的判定(第一课时),2.3.2 平面与平面垂直的判定(第二课时),第一课时,直线与平 面垂直的判定,2.3.1,返回目录,1. 直线和平面垂直是怎样定义的?,2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?,问题 1. 在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直, 记作 la, 直线 l 叫做平面 a 的垂线, 平面 a 叫做直线 l 的垂面.,线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直, 有且只有一个公共点, 即交点, 这个交点叫做线面垂直的垂足.,直线与平面垂直的定义:,1. 直线与平面垂直的定义,画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.,画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.,问题2: 已知平面 a 和空间任意一点 P, 过点 P 能作 a 的几条垂线? 为什么?,结论: 过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.,如果有两条, PAa, PBa,只有一条.,垂足分别为 A, B.,则 PA, PB 确定的平面,与 a 相交于一直线 AB.,A,B,于是 PAAB, PBAB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识, 这显然不对.,问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内, 请问这另一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗?,用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题.,当A、B、C 不共线时,折痕DC垂直桌面;,当A、B、C 共线时,折痕DC不一定垂直桌面.,2. 直线与平面垂直的判定,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.,符号表示:,la,lb,aa,ba,ab, la.,直线与平面垂直的判定定理:,由线线垂直得线面垂直.,问题 4. 一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长10m 的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 ( 与旗杆脚不在同一直线上). 如果这两点与旗杆脚相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直, 为什么?,如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,ABC和ABD的三边,满足勾股定理, ABBC,ABBD,而 BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即 BC, BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.,例 1. 如图, 已知 ab, aa. 求证: ba.,m,证明:,在 a 内任作两相交直线 m、n, aa,ma, am, an, ba, bm, bn,又 m 与 n 相交, ba.,结论: 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面.,n,na,练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.,证明:,(1),PQa, la.,PQl.,若 lPA, l平面PQA.,QA平面PQA,lQA.,练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.,证明:,(2),PQa, la.,PQl.,若 lQA, l平面PQA.,PA平面PQA,lPA.,练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.,Q 为垂线段 PQ 的垂足.,A 为斜线段 PA 的斜足.,QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.,有三条线:,平面的斜线,斜线在平面上的射影,平面内的一条直线 l.,结论:,如果 l 斜线, 则 l射影;,如果 l射影, 则 l斜线.,(三垂线定理),探究题. 如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 底面四边形ABCD 满足什么条件时, ACBD?,分析:,由题中定义知,侧棱 AA平面ABCD,从而 AABD.,又要使 ACBD,则需 BD平面AAC.,所以需在平面AAC内另找一条直线,容易考虑的是AC是否满足?,要使ACBD, 四边形ABCD需满足:,BA=BC, 且DA=DC.,与BD垂直且与AA相交.,(改为如下的证明题, 请同学们给出证明),如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 已知 AB=BC, AD=DC, 求证: BDAC.,证明:,连结AC,AB=BC ,BDAC,AA平面ABCD AABD, BD平面AACC,BDAC.,(定义),(判定),(定义),AD=DC ,AAAC=A,AC 平面AACC,练习: (课本67页),第 1、2 题.,练习: (课本69页),1. 如图, 在三棱锥 V-ABC中, VA=VC, AB=BC, 求证: VBAC.,练习: (课本67页),证明:,D,取 AC 边的中点 D,连接 VD, BD., VA=VC,VDAC,VB=BC,BDAC, AC平面VDB,而 VB平面VDB,ACVB.,2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.,解:,(1),如图,POa,则POA=POB=POC=90,又 PA=PB=PC,POAPOBPOC,得 OA=OB=OC,又C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.,中点,2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.,O,a,解:,(2),由(1)得 OA=OB=OC,中点,到三角形三顶点的距离相等,外,的点是三角形的外心.,2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.,O,a,解:,(3),中点,外,由 PAPB, PAPC,得 PA平面PBC,PABC.,又由 POa 得 POBC,于是得 BC平面POA,BCAO.,同理可得 ABCO,O 为ABC的垂心.,垂,练习: (课本69页),如图, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分别是 G1G2, G2G3 的中点, D 是 EF的中点, 现在沿 SE, SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1, G2, G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S-EFG 中必有( ) (A) SGEFG所在平面 (B) SDEFG所在平面 (C) GFSEF所在平面 (D) GDSEF所在平面,A,【课时小结】,1. 线面垂直的定义,若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线, 则叫 la.,应用:,若 la, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.,【课时小结】,2. 线面垂直的判定定理,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.,【课时小结】,3. 相关结论,过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.,两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面.,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.,习题 2.3,B 组,第 2、4 题,习题 2.3,B 组,答: 能判定.,由 VA=VB, AD=BD 得,VDAB.,又由VO平面 ABC 得,VOAB.,于是得AB平面VOD, OCD, ABOD., ABCD,而 AD=BD,从而得 AC=BC.,4. 如图, AB 是 O 的直径, 点 C 是 O 上的动点, 过动点 C 的直线 VC 垂直于 O 所在平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由.,解:,DE平面VBC.,由直径所对的圆周角是直角得,ACBC.,又由 VC 垂直于 O 所在平面得,ACVC.,而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得,DE/AC, DE平面VBC., AC平面VBC.,第二课时,直线与平 面垂直的判定,2.3.1,返回目录,1. 什么是斜线在平面上的射影?,2. 直线和平面所成的角是由哪些元素构成? 其范围是多少?,3. 求直线和平面所成角的大小时, 应掌握哪些要点?,问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直线 l 的夹角中, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最小的角?,P,过 l 上任一点 P 作平面 a 的,O,垂线 PO, 垂足为 O, 连结 AO,则PAO 就是那个最小的角.,【直线和平面所成的角】,问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直线 l 的夹角中, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最小的角?,P,O,一条直线 PA 和一个平面 a 相交, 但不垂直, 这条直线叫做这个平面的斜线, 其交点 A 叫做斜足. 过斜线,上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫斜线在平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.,【直线和平面所成的角】,POa = O,PQa, Q 为垂足,则 OQ 是 PO 在平面 a,POQ 是斜线 PQ 与,平面 a 所成的角.,上的射影.,特例1: 如果直线垂直平面, 直线和平面所成的角为直角; 特例2: 如果直线和平面平行或在平面内, 就说直线和平面所成的角是0的角.,问题6. 已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判断 l1l2? 反之, 如果 l1l2, l1, l2 与平面a 所成的角是否相等?,如图,ABa, CDa,AOB =COD.,而 AO 与 CO 不平行.,如图,ABCD,AO1a, CO2a,则 AO1CO2,于是得BAO1=DCO2,则在直角三角形中得ABO1=CDO2.,结论:,和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.,两条平行线和同一个平面所成的角,一定相等.,例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,分析:,需在平面A1B1CD上,找到直线A1B的射影.,即需找过A1B上的点垂直,平面A1B1CD的直线.,O,而 BB1, BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线 BC1 有可能.,因为BC1B1C,还容易看出BC1A1B1,于是可连结BC1, 交B1C于O,即A1O就是要找的射影.,BA1O就是所要求的线面角,则可在RtBA1O中求.,例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,解:,连结 BC1, 交 B1C 于 O,则在正方形BCC1B1中, BC1B1C.,又A1B1平面BCC1B1,得 A1B1BC1.,O,则 BC1平面A1B1CD, O为垂足.,得 A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.,BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在 RtBA1O 中, A1B=BC1=2BO,得BA1O=30.,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30.,例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,求线面角的要点:,(1) 找斜线在平面上的射影,确定线面角.,(2) 构造含线面角的三角形,O,通常构造直角三角形.,(3) 在三角形中求角的大小.,练习(补充),如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 AA1 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(1),A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则A1CB1为所求的线面角.,在RtA1B1C中,即 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为,练习(补充),O,如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(2),取 BD 的中点 O,连结 AO, A1O,过点 A 作 AEA1O, 垂足为 E.,AB=AD, A1B=A1D,E,BDAO, BDA1O,则 BD平面A1AO,得 BDAE.,由得AE平面A1BD.,A1E是A1A在平面A1BD上的射影,O,E,则 AA1E 为所求的线面角.,在 RtA1AO 中,即 A1A 与平面 A1BD所成角的正切值为,【课时小结】,1. 直线和平面所成的角,(1) 平面的斜线与平面所成的角,斜线与射影的夹角(锐角).,(2) 平面的垂线与平面所成的角为90.,(3) 平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为0.,斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.,两条平行线和同一个平面所成的角相等.,【课时小结】,2. 求线面角的要点,(1) 找斜线在平面上的射影, 确定线面角.,(2) 构造含角的三角形, 用三角函数求解.,练习(补充),2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等边三角形, 侧棱与底面所的角为60, 求三棱锥的体积.,1. 若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是 .,1. 若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是 .,解:,如图,直线AB是直线PC在平面 a 内的射影,直线 PC 与平面 a 内的直线,所成的角中,PCA最小,直角最大.,则PC与平面内任一直线所成的角的范围是,2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等边三角形, 侧棱与底面所成的角为60, 求三棱锥的体积.,O,解:,作PO底面ABC, 垂足为O,如图, O 为底面正三角形的中心,则PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.,得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=OC.,得 AO=1,底面ABC的高AE=,E,则 BC=2BE=,棱锥的体积为,3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1B与平面BC1D1所成的角为 .,解:,平面BC1D1就是平面ABC1D1,如图,E,连结A1D, 交AD1于E,则A1EAD1,A1EAB, A1E平面ABC1D1,连结BE,则A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角,设正方体的棱长为a,在RtA1ED中,A1BE=30.,30,2.3.2,平面与平面垂直的判定,第一课时,返回目录,1. 什么叫二面角?,2. 二面角的大小是由什么确定的? 求二面角的大小的关键是什么?,问题 1. 当我们要求别人将一扇门(如教室门)开大点, 或开小点时, 用什么来度量, 使开门的人能准确地按要求开门?,如图, 两个平面相交, 常要研究交成的角的大小, 这就需要引入二面角.,【1】二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,如图,记作 二面角 a-l-b,或 二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.,【2】二面角的平面角,要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角.,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图,以棱 l 上任一点O为端点,在半平面 a 内作OAl,在半平面 b 内作OBl,则AOB就是二面角a-l-b 的平面角.,AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.,二面角的大小就由它的平面角确定.,A,B,O,卫星轨道平面,68.5,我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5.,赤道平面,即卫星轨道平面与赤道,平面所成的二面角是68.5.,问题 2. 如图, ABC和DBC是空间的两个等边三角形, ABD和ACD是二面角 A-BC-D的平面角吗? 如果不是, 你能找出它的一个平面角吗?,答: ABD和ACD都不是二面角A-BC-D的平面角, 因为它们的边与二面角的棱BC不垂直.,取BC的中点E, 连结AE、DE, AED就是二面角A-BC-D的平面角.,则AEBC, DEBC,E,问题3. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小.,解:,取 BD 的中点 O,连结 A1O, C1O.,A1B=A1D, C1B=C1D,O,A1OBD, C1OBD,则A1OC1 就是二面角,A1-BD-C1 的平面角.,连结 A1C1.,可算出 A1C1O 的边A1C1, A1O, C1O.,以后学了余弦定理即可解得A1OC1.,E,也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角.,例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.,分析:,目标:,在平面 PAD 内找 AD 的垂线,在平面 ABCD 内找 AD 的垂线.,凭直观, 考查图中已有的角,找二面角P-AD-C 的平面角.,线, 点等.,PD, CDAD 否?,不垂直.,PA, BAAD 否?,BA与AD不垂直.,则考虑连结 AC,得ACD=45,如果ACAD,需CDA=45.,在底面梯形中可求得CDA=45.,例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.,解:,PC=CB=BA=2, DC=4,ABCE 是正方形.,E,取 DC 的中点 E, 连结 AE, AC.,得 AEDC, AE=DE,ADAC.,PC平面ABCD,则 ADE=45.,PCAD.,ABBC,又ACD=45,则 AD平面 PAC,得 ADPA.,则PAC为二面角,P-AD-C 的平面角.,在底面求得 AC=,tanPAC=,练习(补充),2. 30 的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.,1. 在正方体ABCD-ABCD中, 求二面角 A-BC-B的正切值.,G,解:,连接 BC交 BC 于 G,连结AG,ABBC,则 BGBC.,得 BCAG.,BC平面ABG.,AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.,在RtABG中,则 BG =,设 AB=1,2. 30 的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.,解:,PQl 于Q,作 POb, Ob,连结 OQ.,则 PQO=30.,PQO是二面角的平面角.,在RtPOQ中,PO=,则 PQl.,O,如图,二面角a-l-b 是30.,Pa,PQ=h., l平面 POQ,即点 P 到 b 的距离是,则 lOQ.,【课时小结】,1. 二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,【课时小结】,2. 二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,【课时小结】,3. 求二面角的大小,(1) 找到二面角的两个半平面与棱.,(2) 找二面角的平面角.,在两个半平面内找垂直于棱的直线, 垂足为棱上同一点.,常用到线线垂直与线面垂直转换.,(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.,习题 2.3,A 组,第 4、7 题.,4. 如图, 三棱锥 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= VC=1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数.,解:,取AB的中点D,连接 VD, CD,D,而 VA=VB=AC=BC=2,VDAB, CDAB,则VDC就是二面角V-AB-C的平面角.,而,则由勾股定理求得 VD=CD=1,又 VC=1,VCD是等边三角形, VDC=60,即二面角 V-AB-C 的大小为60.,7. 如图, 正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?,解:,与上底面所成二面角,的平面角是,BCB,=45.,与下底面所成二面角的,平面角是,CB C,=45.,与前面所成二面角的,平面角是,BBC,=45.,与后面所成二面角的,平面角是,BCC,=45.,平面AC过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90的二面角.,2.3.2,平面与平面垂直的判定,第二课时,返回目录,1. 平面与平面垂直是怎样定义的?,2. 两平面垂直的判定定理的内容是什么? 证明两平面垂直需要哪些条件?,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,问题3. 观察教室中的物体, 哪些二面角是直二面角?,【3】两个平面垂直的定义,一般地, 两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直.,平面 a 与平面 b 垂直, 记作: ab.,画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.,a,a,问题3. 请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,再用书面或硬纸板紧靠铅笔, 请问: 书面与桌面构成直二面角吗? 书面与桌面是否垂直?,两个平面垂直的判定定理:,一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.,符号表示:,la,l b, ba.,【4】两个平面垂直的判定,例3. 如图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证:平面 PAC平面 PBC.,解:,AB是O的直径,又C是O上的点, ACBC,又 PA圆面,BC圆面, PA BC,得 BC平面PAC,而 BC平面PBC,平面PBC平面PAC.,探究题. 如图, 已知AB平面BCD, BCCD,你能发现哪些平面互相垂直, 为什么?,过AB的平面与底面垂直:,平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.,又 BCCD,而由AB平面BCD得 CDAB,CD平面ABC,过CD的平面垂直平面ABC:,平面ACD平面ABC,平面BCD平面ABC (上面已有).,练习: (补充),证明:, ABC-A1B1C1是直三棱柱,BCCC1.,又ACB=90 BCAC, BC平面A1ACC1.,平面 A1BC平面A1ACC1.,BC平面A1BC,2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是AB, A1A 的中点. 求证: 平面 BCF平面B1C1E.,证明:,E, F 分别是 AB,A1A 的中点.,在正方形 ABB1A1中, B1C1 平面BAA1B1, B1C1BF.,由得 BF平面B1C1E,平面 BCF平面B1C1E.,BF 平面BAA1B1,BF平面BCF,B1EBF.,【课时小结】,1. 两平面垂直的定义,2. 两平面垂直的判定定理,两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直.,一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.,习题 2.3,A 组,第 1、3、6 题.,B 组,第 1 题.,习题 2.3,A 组,1. 判断下列命题是否正确, 正确的说明理由, 错误的举例说明: (1) 平面 a平面 b, 平面 b平面 g 平面 a平面 g; (2) 平面 a /平面 a1, 平面 b /平面 b1, 平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.,解:,(1) 错, 如图.,(2) 对.,ab,a /a1,a1b;,b /b1,a1b1.,解:,平面 VBA 平面 VBC.,其理由:,由VAB=VAC= 90 得,VA平面ABC,则 VABC,又ABC=90, 即 ABBC,BC平面VBA,而 BC平面VBC,平面 VBC 平面 VBA.,6. 求证: 如果共点的三条直线两两垂直, 那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.,已知: PAPB, PAPC, PBPC.,求证: 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PAC, 平面PBC 平面PAC.,P,A,B,C,证明:, PAPB, PAPC, PA平面PBC.,而 PA平面PAB,PA平面PAC, 平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.,同理可证平面PAB平面PAC.,B 组,证明:,在正方体中,底面 ABCD 是正方形,所以 ACBD.,又因为侧棱垂直底面,所以 AABD.,于是得 BD平面 AACC.,而 BD平面ABD,平面 ABD平面 AACC.,2.3.3,2.3.4,返回目录,1. 直线与平面垂直的性质定理是什么? 在什么条件下得到什么结论?,2. 两平面垂直的性质定理是什么? 在什么条件下得到什么结论?,问题 1. 长方体的侧棱是否都与底面垂直? 这些侧棱是怎样的位置关系? 请同时竖两支垂直于桌面的铅笔, 这两支铅笔又有怎样的位置关系?,如图, l1a， l2 a，垂足分别为A、B.,如果 l1 l2,那么过垂足 A 可另作一直线 ml2,于是 ma.,过 l1与 m 作平面 ba = c,则 l1c, mc.,那么在平面 b 内过一点 A 就有两直线与 c 垂直,显然不可能, 即 l1 l2不能成立, 只有 l1/l2.,m,c,2.3.3 直线与平面垂直的性质,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,线面垂直的性质定理:,符号表示:,l1a,l2a, l1/l2.,例(补充). 已知一条直线 l 和一个平面 a 平行, 求证: 直线 l 上各点到平面 a 的距离 (到 a 的垂线段长)相等.,a,l,A,B,b,证明:,过 l上任意两点 A、B 作,AAa, BBa, 垂足为A、B,则 AABB,由AA、BB确定平面, 设为b,得 ba =AB, la,l b, lAB, AA=BB (两平行线间的平行线段相等),即 l 上任意两点到平面 a 的距离相等.,问题2. 设直线 a, b 分别在正方体ABCD-ABCD中两个不同的平面内, 欲使 a/b, a, b 应满足什么条件?,分别满足下面的条件都可以:,(1) a, b 同垂直于一个面.,(2) a, b 同平行一条棱.,(3) 用一个平面截相对的两个,面所得的交线即为 a, b.,b,b,a,a,b,a,如图,练习: (课本71页),第 1、2 题.,练习: (课本71页),1. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划“”, 错误的划 “”. (1) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( ) (2) 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) (3) 一条直线在平面内, 另一条直线与这个平面垂直, 则这两条直线互相垂直. ( ),2. 已知直线 a, b 和平面 a, 且 ab, aa, 则 b 与 a 的位置关系是 .,平行或在 a 内,b,b,a,a,分析:,借助长方体模型.,/a,a,问题 1. 请同学们在一块硬纸板 (或书面) 上画一条垂直于某边的直线 l, 再将硬纸板 (或书面) 与桌面垂直, 并使这边在桌面内. 请问, 你画的直线 l 与桌面是什么位置关系? 为什么?,C,如图,在 a 内过点 D 作,CDAB,则l DC是二面角 a-AB-b,的平面角.,ba,平面角应是直角,则得 lCD., la.,2.3.4 平面与平面垂直的性质,又 lAB,两平面垂直的性质定理:,两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,符号表示:,ab,ab = m,lm,l a, lb.,问题 2. 如图, ab, 点 Pa, PQb. 请问, PQ是否一定在 a 内? 你能说出理由吗?,R,l,PQ一定在 a 内.,其理由:,设 ab =l,过点 P 作 PRl, Rl, ab, PRb, 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直, PQ与PR重合为同一条直线,即 PQ 必在 a 内.,例4. 已知平面 a, b , ab, 直线 a 满足 ab, aa, 试判断直线 a 与平面 a 的位置关系.,m,解:, ab,设 ab =m,在 a 内作 bm, bb., ab, ab,ba,aa,aa.,即直线 a 与平面 a 互相平行.,问题: (课本76页探究),已知平面 a, b, 直线 a, 且 ab, ab = AB, a/a, aAB, 能判断直线 a 与平面 b 的位置关系吗?,解:,b,a/a,g,过 a 作平面 ga = b,则 a/b.,而 aAB,则 bAB,而 ab, 交线是 AB,bb,则 ab.,两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.,练习: (课本73页),第 1、2 题.,1. 下列命题中错误的是( ) (A) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 内所有直线都垂直于平面 b (B) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 内一定不存在直线垂直于平面 b (D) 如果平面 a平面 g, 平面 b平面 g, ab = l, 那么lg,练习: (课本77页),(D)选项的证明看 “习题2.3” 第 5 题.,A,2. 已知两个平面垂直, 下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0,另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.,B,【课时小结】,1. 直线与平面垂直的性质定理,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,能推得线线平行的有:, 公理4., 线面平行的性质定理., 面面平行的性质定理., 线面垂直的性质定理.,【课时小结】,2. 平面与平面垂直的性质定理,两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.,习题 2.3,A 组,第 2、5、8、9 题.,B 组,第 3 题.,习题 2.3,A 组,2. 已知平面 a, b, g, 且 ag, b /g, 求证 ab.,证明:,在 g 内作直线 am,aa., ag,过 a 作平面 db = b, bg, a/b,b b, ba.,b,如图, 设 a 与 g 的交线为 m,m,而 aa.,ba.,5. 已知平面 a, b, g 满足 ag, bg, ab = l. 求证 lg.,l,证明:,如图,设 ag =m, bg =n.,取 Pg, Pm, Pn,m,n,P,A,B,作 PAm, PBn., ag, bg, PAa, PBb.,又 ab =l, PAl, PBl.,PAg, PBg,PAPB = P, lg.,8. 如图, m, n 是两条相交直线, l1, l2 是与 m, n 都垂直的两条直线, 且直线 l 与 l1, l2 都相交, 求证: 1=2.,证明:, l1m,l1n, mn=O, m、n 确定的平面, 设为 a, l1a,同理, l2a, l1l2,又直线 l 与 l1、l2 都相交, 1=2.,9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等.,如果两平行线中的一条垂直平面, 则另一条也垂直这个平面, 它们与平面所成的角都等于90.,证明:,如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0, 则另一条平行平面或在平面内,即另一条与平面所成的角也是 0.,当两平行线是平面的斜线时, 如图,E,已知: ABa=B, CDa=D, ABCD.,分别过AB、CD上的点,E、F 作 EMa, 垂足为M,FNa, 垂足为N.,N,M,F,且得 EMFN,又 ABCD,BEM=DFN,于是在两直角三角形中可得EBM=FDN,则MB、ND分别是EB、FD在,即两平行线与平面 a 所成的角相等.,9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等.,证明:,求证: AB, CD 与 a 所成的角想等.,平面 a 内的射影.,B 组,3. 求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.,已知, 如图, ab, ag, bg, ab =AO, ag = BO, bg =CO.,求证: AOBO, AOCO, BOCO.,证明:,取点 Pg, PBO, PCO,E,F,作 PEBO, PFCO, ga, ga = BO,gb, gb = CO, PEa, PFb.,而 AOa, AOb, PEAO, PFAO,则 AOg,又 BOg, COg,P,AOBO, AOCO.,又 ba, ba = AO,COb, COa,BOa,COBO.,复习,提高,与,返回目录,1. 线面垂直的定义,定义可用于推证线线垂直.,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 就说直线 l 与平面 a 互相垂直.,2. 线面垂直的判定,两平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条也垂直这个平面.,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.,过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.,3. 三垂线定理,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.,4. 直线和平面所成的角,平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.,要点:,(1) 由线面垂直找射影;,(2) 在三角形中计算.,特例:,(1) 线面垂直, 线面角为90.,(2) 线面平行或在其内, 线面角为0.,5. 直线与平面垂直的性质,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,6. 二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,7. 二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,8. 两平面垂直的定义与判定,定义:,判定:,两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直.,一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.,9. 两平面垂直的性质,两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.,例题选讲,返回目录,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,分析:,需证MN垂直PCD三边中的两边.,若 MN平面PCD,注意 N 是 PC 的中点,则 MN 必是 PC 的中垂线.,即考虑 MP=MC.,于是思考是否PAMCBM,由此可得 MNPC.,又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂线,即 NA=NB 是否成立?,NA, NB分别是RtPAC和RtPBC斜边PC的中线,NA=NB 即可成立.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,证明:,PA矩形ABCD, PDA=45,连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形.,则 PA=AD=BC.,又 M 是 AB 的中点得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.,而 N 是 PC 的中点, MNPC.,由 PA矩形ABCD, 得PAC 是直角三角形.,由 CBAB, CBPA, 得PBC 是直角三角形.,则 AN, BN 是两直角三角形斜边 PC 的中线,AN=BN,得 MN 是 AB 的中垂线, MNAB.,由 AB/DC, 得 MNDC.,由得 MN平面 PCD.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,E,思考一:,证 MNPC 同上.,要证 MNDC, 可作PCD,的中位线 NE.,证 DC平面 NEM, 即可证得 DCMN.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,F,思考二:,将 MN 平移到平面 PAD 内,即取 PD 中点 F,可证得 AF/MN.,只需证 AF平面 PCD, 即得 MN平面PCD.,P,A,B,C,D,M,N,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,思考三:,将原图补形为长方体.,可证 MN/BC1, BC1平面PDCB1,B1,即得 MN平面 PCD.,侧面B1BCC1是正方形.,C1,平面PCD是其对角面.,例 2. 如图, ABC 和DBC 是空间的两个等边三角形, E 是 BC 的中点. 点 A 在平面 DBC 内的射影是否在 DE 上? 为什么?,ABC 和DBC 是等边三角形,AEBC, DEBC,E 是 BC 的中点.,其理由如下:,则 BC平面AED,得平面DBC平面AED.,则 AF平面DBC .,点 A 在平面 DBC 内的射影在 DE 上.,答: 一定在 DE上.,平面DBC平面AED=DE,作AFDE, 垂足为F,(面面垂直的性质),(面面垂直的判定),F,例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.,解:,取 BC 的中点 F,得 BCAF, BCDF, BC平面AFD,则平面BCD平面AFD.,F,(1),O,作 AODF, 垂足为O,则 AO平面 BCD.,AO 是三棱锥 ABCD 的高.,RtAOBRtAOCRtAOD,得 OB=OC=OD,O是BCD的重心,即棱锥的高为,例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.,解:,作 EHDF, 垂足为 H,则 EH平面BCD, CH 是 CE 在平面 BCD 上的射影,ECH 即为所求的线面角.,F,H,(2),O,例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD与面 SBC 所成二面角的大小.,分析:,要找二面角的平面角,需找到构成二面角的棱.,由 SD正方形 ABCD 面,可联想一个几何体,长方体.,于是补形如图.,A,B,C,则所求二面角的棱即是AS.,AAB 即是它的一个平面角.,例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD与面 SBC 所成二面角的大小.,解:,ABCD 是正方形,SD底面ABCD.,则可补形为如图的长方体,SAAA, SAAB,AAB 就是平面 SAD 与,平面 SBC 所成二面角的平面角.,正方形 ABCD 的边长为 1,在 RtSDB 中求得 SD=1.,则所构成的几何体是正方体.,AAB =45,即所求二面角的大小为45.,返回目录,(共8题),练,习,题,1. 给出下列命题: 垂直于同一直线的两平面平行. 垂直于同一平面的两平面平行. 垂直于同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两直线平行. 其中正确命题的序号有 .,的反例,的反例,2. 已知直线 m, n 和平面a, b 满足 mn, ma, ab, 则 ( ) (A) n b (B) n/b, 或 nb (C) na (D) n/a, 或 na,n,情形 1,D,排除 A, C.,情形 2,排除 B.,3. 如图, AB 是 O 的直径, C 是圆上一点, 空间直线 PCBC. 求证: BC平面 PAC.,证明:,AB 是 O 的直径,C 是圆上一点, BCAC, BC平面 PAC.,BCPC,PCAC=C,证明:,SA=AB, E 是 SB 的中点,AESB,SA正方形 ABCD 所在平面, BCSA, BCAB,得 BC平面 SAB,BCAE,由得AE平面SBC,AESC.,同理可证AFSC.,SC平面 AEF.,5. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 对角线 B1D平面 A1C1B.,证明:,在正方体中,得 DD1 A1C1.,连结 B1D1, 得 A1C1 B1D1,于是 A1C1平面B1D1D,同理, 连结 B1C,从而得 BC1B1D.,B1D平面A1C1B., A1C1B1D.,DD1平面 A1B1C1D1,可得 BC1平面B1CD,6. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F分别是 AB、BB1 的中点, 求证: 平面 ADF 平面A1ED1.,证明:,在正方形A1ABB1中,A1AEABF.,得AA1E=BAF,又A1AF=AFB,则A1GA=90.,G,设 AFA1E=G,A1EAF.,又 DA平面 A1ABB1,A1EDA.,A1E平面ADF,则平面A1ED1平面ADF.,AA1E+A1AF=BAF+AFB=90.,G,解:,7. 如图, 在长方体 ABCD-ABCD 中, AB= BB=BC=2, 求二面角 A-BC-B 的大小.,连接 BC, 交BC于G,则在正方形 BBCC中, BCBC.,又由 AB平面 BBCC 得,ABBC.,BC平面ABG,得 BCAG.,则AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.,由 BB=BC=2, 得,ABG 是等腰直角三角形,AGB=45,即二面角 A-BC-B 的大小为45.,(1),证明:,PA底面ABCD, BDPA.,底面 ABCD 为菱形, BDAC.,则 BD平面 PAC,BDPC.,连结 EO,PA=2, PE=2EC,则得,COECPA,于是得,则CEO=CAP=90,PCOE,则在 RtPAC中可得,由得,PC平面BED.,(2),解:,二面角 A-PB-C 为90, 平面PAB平面PBC.,作 AGPB 于 G,则 AG平面PBC, BCAG.,又 BCPA, BC平面PAB,AD/平面PBC,得DPH=30., BCAB,G,得ABCD是正方形.,则得 AB=2,H,作 DH平面PBC于H.,又求得,即 PD 与平面 PBC,所成的角为30.,完,完,