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Chapter13 Energy Method,第十三章 能量法,2,第十三章 能量法 (Energy Methods),13-1 概述（Introduction),13-2 杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading ),13-3 互等定理（Reciprocal theorems),13-4 单位荷载法 莫尔定理(Unit-load method ,若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.,分别计算两种加力方法拉杆的应变能.,22,（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2,（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为,外力作功为,（b）再在C上加 F2,C截面的位移为,F2 作功为,23,（c）在加F2 后,B截面又有位移,在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）,所以应变能为,24,（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.,（a）在C截面加F2 后,F2 作功,（b） 在B截面加F1后,F1作功,25,（c）加 F1引起 C 截面的位移,在加F1过程中F2作功（常力作功）,所以应变能为,注意：,（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.,（2）应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.,26,解: 梁中点的挠度为:,梁右端的转角为:,梁的变形能为:,例题5,以弯曲变形为例证明 应变能V只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关.,27,先加力 F 后,再加力偶 Me,（1）先加力F后,C 点的位移,力F 所作的功为,（2）力偶由零增至最后值 Me,B 截面的转角为,力偶 Me 所作的功为,28,先加上的力F所作的功为,C截面的位移为,F与力偶Me所作的功为,29,两力作用点沿力作用方向的位移分别为,F1 ,F2,（1）设在线弹性结构上作用力,1 ,2,一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）,13-3 互等定理（Reciprocal Theorems ),30,F1 和 F2 完成的功应为,（2）在结构上再作用有力,F3 ,F4,沿 F3和 F4方向的相应位移为,3 , 4,F3 和 F4 完成的功应为,31,（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移,F1 和 F2 在 1和 2上完成的功应为,因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为,1和 2,32,若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得结构的应变能为,由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故,33,功的互等定理（reciprocal work theorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.,二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem),若第一组力 F1,第二组力只有 F3,则,如果 F1= F3,则有,34,位移互等定理（reciprocal work theorem）： F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A ),三、注意（Notice）,（1）力和位移都应理解为广义的.,（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.,35,13-4 单位荷载法 莫尔定理 （Unit-load method ,（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;,40,A,例题5 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度 wC 和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.,q,B,C,l,l/2,解:,在实际荷载作用下,任一 x 截面的弯矩为,41,A,A,B,C,（1）求C 截面的挠度,在C点加一向下的单位力,任一 x 截面的弯矩为,q,B,C,l,l/2,ql/2,ql/2,42,ql/2,A,A,B,（2）求A截面的转角,在 A 截面加一单位力偶,引起的 x 截面的弯矩为,q,C,l,l/2,（顺时针）,ql/2,43,B,例题6 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠度和转角.,A,C,q,F=qa,a,2a,44,B,A,A,B,C,a,2a,解：,AB:,（1）求截面的挠度（在C 处加一单位力“1”）,C,q,F=qa,a,2a,45,BC:,B,A,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,1/2,46,B,A,BC:,AB:,（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,47,例题7 刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出. 不计剪力和轴力对位移的影响. 计算A点的垂直位移及B截面的转角.,A,B,C,F,EI1,EI2,解:（1）计算A点的垂直位移,在A点加垂直向下的单位力,48,AB:,BC:,a,A,B,C,F,l,A,B,C,l,a,49,（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶矩,AB:,BC:,A,B,C,F,l,x,a,A,B,C,l,x,a,50,例题8 图示刚架,两杆的 EI 和 EA 分别相同,试求C点的水平位移.,解:在 C点加一水平单位力,51,F,a,a,A,B,B,A,C,C,CB :,AB :,52,F,a,a,A,B,B,A,C,C,53,例题9 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点， ABC=90在 C 处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求C点竖向的位移.,54,解:在 C点加竖向单位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,55,56,例题10 由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是EI,试用单位载荷法求A1,A2两点的相对位移.,57,解：在A1,A2 处加一对水平单位力.,B,C 两支座的反力均为零.,A1B：,BC：,CA2：,A1,A2,B,C,l,58,例题11 刚架受力如图,求A截面的垂直位移,水平位移及转角.,59,AB：,BC：,解:求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）,60,求A点水平位移（在A点加水平单位力）,AB：,BC：,61,求A点的转角（在A点加一单位力偶）,AB:,BC：,62,例题12 图示为一简单桁架,其各杆的EA相等. 在图示荷载作用下A、C 两节点间的相对位移.,63,桁架求位移的单位荷载法为,64,A,C两点间的距离缩短.,65,例题13 计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量AB. EI=常数.,66,B,A,R,P,(b),B,A,R,P,(c),解：,O,O,67,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.,作用有外力:,F1 ,F2 , ,Fi , ,相应的位移为：,1 , 2 , , i , ,13-5 卡氏定理(Castiglianos Theorem),结构的变形能,68,只给 Fi 一个增量 Fi .,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,在作用Fi 的过程中, Fi 完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,69,如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当 Fi 趋于零时,上式为,这就是卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem）（卡氏定理）（Castiglianos Theorem）,70,（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体,说明（Directions）：,（2）Fi 为广义力，i为相应的位移,71,（3）卡氏第二定理的应用,（a） 轴向拉伸与压缩,（b） 扭转,（c） 弯曲,72,（4） 平面桁架,（5） 组合变形,73,例题14 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.,F,A,B,C,l,a,FRA,74,AB:,BC:,A,B,C,l,a,FRA,F,解:,75,A,B,C,l,a,FRA,F,76,例题15 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虚设一力偶 Ma , 在D截面虚设一水平力F.,77,CD:,CB:,AB:,A,B,C,D,a,a,2a,Me,78,2a,A,B,C,D,a,a,Me,79,例题16 圆截面杆ABC,（ABC=90）位于水平平面内,已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E ,G .求C 截面处的铅垂位移.不计剪力的影响.,80,BC:弯曲变形,A,B,l,AB:弯曲与扭转的组合变形,（扭转变形）,（弯曲变形）,81,82,例题17 图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI .不计轴力和剪力的影响. 用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移 D 和转角 D .,F1,解:在D点虚设一力偶矩 Ma,CD:弯曲变形,83,但是轴力不计,因此横截面上 的内力只计弯矩.,F1,A,B,C,将力 F 向C 简化得：,力 F（产生拉伸变形）,力偶矩 2Fl（产生弯曲变形）,Ma（产生弯曲变形）,AC产生拉伸与弯曲的组合变形. 横截面上的内力有轴力和弯矩.,F1,将Ma向C简化得:,84,BC段：,BA段：,85,13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for the mohrs integration),等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面,只需计算:,86,C,M(x),87,设在杆长为 l 的一段内M（x）图是曲线,设直线方程是,为 l 段内图 M(x) 的面积,88,M(x),x,l,x,C,C 为图M(x)的形心,xC为其坐标,为图M(x)对 y 轴坐标的静矩,89,M(x),x,l,x,C,对于等直杆有,当M图为正弯矩时,w应代以正号.,当M图为负弯矩时, w应代以负号.,90,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,91,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,92,例题18 均布荷载作用下的简支梁,其 EI 为常数. 求跨中点的挠度.,93,A,B,C,F,94,例题19 图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷q及集中力F作用. 用图乘法求: （1）集中力作用端挠度为零时的F值； （2）集中力作用端转角为零时的F值.,F,C,A,B,a,q,95,F,C,A,B,解：,a,a,q,96,例题20 图示开口刚架,EI为常数.求A和B两截面的相对角位移qAB和沿F力作用线方向的相对线位移AB .,a,a,a/2,a/2,A,B,F,F,97,解：,Fa/2,a/2,Fa/2,Fa/2,a/2,a/2,98,例题21 图示刚架,EI为常数. 求A截面的水平位移AH 和转角qA .,B,A,a,a,99,a,qa2/2,解：,a,1,qa2/2,100,例题22 拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知:E=210GPa,G=0.4E,求B点的垂直位移.,5,A,300,B,500,解:（1）画单位载荷图,5,A,300,B,500,101,（3）变形,（2）求内力,102,质点和质点系的虚位移原理:质点和质点系处于平衡状态的充要条件是,作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零.,13-7 虚功原理 （Principle of virtual work）,一、虚功原理 （Principle of virtual work）,作用在杆件上的力分为外力和内力,外力:荷载和支座反力,内力:截面上各部分间的相互作用力,对于处于平衡状态的杆件,其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零.,103,杆件的约束条件:,（1）支座约束条件,（2）各单元体变形的几何相容条件,杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件,且为微小量,即符合虚位移的基本要求. 所以,可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移.,104,梁上荷载:,F1, F2, F3, F4, FRA, FRB,给梁任一虚位移,荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为,1, 2, 3, 4,（1） 梁的外力虚功,A,l,B,外力虚功为,105,（2） 梁的内力虚功,弯矩虚功,（受拉）,106,剪力虚功,107,（1） 该微段的外力虚功,M,FS应看作该微段的外力,该微段的外力虚功为（略去二阶小量）,108,（2）该微段的内力虚功 dWi,由该微段的虚位移原理,（3）梁的内力虚功,梁的虚位移原理为,109,若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力FS, 还有轴力FN和扭矩T,则杆的虚位移原理为,（a）i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移,d,d,d,d 分别为与弯矩M,剪力FS,轴力FN 和扭矩T相对应虚位移；,（b）虚位移原理既不限定于线性问题,也不限定于弹性问题.,第十三章结束,
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