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专练01 平面向量的概念及运算一、基础强化1. 如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则（ ） A BCD 【参考答案】D【解析】根据题意得：,又,所以.故选D.2. 设a, b都是非零向量,下列条件中,一定能使+=0成立的是()A. ab B. ab C. a=2b D. a= - b【参考答案】D【解析】由+=0得=-0,即b=-a0,则向量a,b共线且方向相反,因此当向量a,b共线且方向相反时,能使+=0成立,故选D.3. 在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A. - B. - C. + D. +【参考答案】A【解析】因为AD为中线,E为AD的中点,所以=+=+=(+)+(-)=-.4. 已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4 a +5b与n=2 a +b共线,则实数的值为()A.5 B.3 C. D.2【参考答案】C【解析】向量m=4 a +5b与n=2a+b共线,存在实数tR,使得m=tn,即4 a +5b =t(2 a +b),又向量a,b互相垂直,a,b不共线,解得故选C.5. 设a,b是不共线的两个向量,已知=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,则()A. A,B,D三点共线 B. B,C,D三点共线C. A,B,C三点共线 D. A,C,D三点共线【参考答案】D【解析】由题意=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,得=-=(4a-4b)-(a+2b)=3a-6b=-3(-a+2b)=-3,即=-3,所以,所以A,C,D三点共线.6. 已知向量a(2,4),b(1,1),c(2,3),若ab与c共线,则实数()A B CD【参考答案】B【解析】由已知得ab(2,4),因为向量ab与c共线,设abmc,所以解得故选B.7. 已知向量a(1,1),b(3,m),若a(ab),则m()A2 B2 C3D3【参考答案】D【解析】向量a(1,1),b(3,m),则ab(2,m1),a(ab),则(m1)2,解得m3. 故选D.8.已知向量a(1,2),b(m,1),若ab,则m()A2 B C D2【参考答案】D【解析】由题得abm20,m2.故选D.9. 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,则|a2b|()A B C6 D7【参考答案】B【解析】a,b均为单位向量,它们的夹角为60,|a2b|.故选B.10. 设向量a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则m_.【参考答案】2【解析】|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2,ab0. 又a(m,1),b(1,2),m20,m2.11. 设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.【参考答案】【解析】由于ab与a2b平行,所以存在R,使得ab(a2b),即()a(12)b0,因为向量a,b不平行,所以 0,120,解得.12. 已知a,b为单位向量,且ab=0,若,则_.【参考答案】【解析】因为,所以,所以,所以 二、能力提升1.已知O为ABC内一点,且4=+2,则AOB的面积与AOC的面积之比为()A.11 B.12 C.13 D.21【参考答案】D【解析】设AB的中点为D,连接CD.O为ABC内一点,且4=+2,-4=-+2-2,+ = -2,O为中线CD的中点,AOD,BOD,AOC的面积相等,AOB的面积与AOC的面积之比为21,故选D.2. 在矩形中,与相交于点,过点作,垂足为,则ABCD【参考答案】B【解析】如图：由,得：,又,又.故选B.3. 设向量a,b,c满足|a|b|1,ab,ac,bc60,则|c|的最大值等于()A1 B C D2【参考答案】D【解析】由于|a|b|1,ab|a|b|cos cos ,故a,b两个向量的夹角为120,结合ac,bc60,画出图象如下图所示a,b,c,四边形对角互补的话,该四边形是圆的内接四边形,故当O1C为直径时,|c|取得最大值由于直径所对的角为直角,故|2|2,即|c|取得最大值为2.4. 已知向量,若,则实数ABCD【参考答案】C【解析】因为,所以,又,所以,即,解得.故选C.5. 已知|a|2|b|,|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根,则向量a与b的夹角是_.【参考答案】【解析】由已知可得|a|24ab0,即4|b|242|b|2cos 0,cos .又0,.科教兴国4
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