Mathematica实验一一元函数及其图形.ppt

基础实验,实验一 一元函数及其图形,实验目的 通过图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性，建立数形结合的思想,有关实验报告的说明,每章教学内容后安排一次大实验，大实验用汉字表示序号，如“实验一：一元函数及其图形” 每个大实验中包括若干个小实验，用阿拉伯数字表示序号，如“实验1” 每个小实验中又包含若干练习，如“练习3” 实验一中共有14个练习，实验报告就是有关这14个练习的解答。,有关实验报告的说明,实验报告以邮件的形式提交到： fling_ 邮件主题请按照如下格式： 学号后4位_姓名_实验编号 如：1001_张三_实验一 附件的名称同邮件主题！不按规范的邮件将不接受！ 邮件从自己的邮箱直接发送，不要通过中转或网盘提交。,1.1 函数及其图形,Mathematica绘制区间a,b上函数y=f(x)的图形的命令为Plotf,x,a,b，详见教材P48 绘制参数方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲线的图形的命令为 ParametricPlotf,g,t,a,b parametric adj. 数物参(变) 数的,参(变)量的,1.1 函数及其图形,plot n.小块土地, 地区图, 图, 秘密计划(特指阴谋), (小说的)情节.结构 vt. 划分, 绘图, 密谋 vi. 密谋, 策划,1.1 函数及其图形,? Plot Plotf, x, xmin, xmax generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plotf1, f2, . , x, xmin, xmax plots several functions fi.,二维参数图,在二维平面内，有时无法将隐函数 化成显函数 的形式，所以无法使用Plot命令直接绘图。 在某些情况下，可以把平面上的 曲线化成： 的形式，其中变量t为方程式的参数，而这个方程式则被称为参数方程。 随着t的变化，可以在平面上描绘出曲线的轨迹，所得的曲线称为参数图。,参数方程,圆心在原点，半径为r的圆的方程为 x2+y2=r2 你能从其中得到圆上某点的x坐标和y坐标间的普通方程吗？ y=SQRT(r2-x2) 绘制圆可用参数方程或专门的隐函数绘图函数(P16) x=cos(),y= sin(),二维参数图,Mathematica用ParametricPlot命令绘制二维参数图。它的使用形式有两种： (1) ParametricPlotx(t),y(t),t,下限,上限,可选项 绘制二维参数图 (2) ParametricPlotx1(t),y1(t),x2(t),y2(t), t,下限,上限 同时绘制多个参数图 绘制参数方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲线的图形的命令为 ParametricPlotf,g,t,a,b,x坐标,y坐标,参数方程,对于Plot命令，第一个参数也可以是一个列表，但其含义与ParametricPlot是不同的 Plotfx,gx,x,a,b PlotSinx,Cosx,x,0,4 Pi,绘制多条曲线,如果用Plot函数画两个或多个函数的图形，可以用PlotStyle为每条曲线设定不同格式 把描述一条曲线的项放在一个表里作为PlotStyle值的一个子表。 例 分别用红、绿、蓝三种颜色画出的图形。 PlotSinx,Sin2x,Sin3x,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1,1.1 函数及其图形,实验1 给定函数f(x)=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2) 画出f(x)在区间-4,4上的图形； 画出区间-4,4上f(x)与(sinx)f(x)的图形,1.1 函数及其图形,实验1 解(a)： fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2); g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0;,定义一个函数，以x为哑元,指名要设置Plot函数的具体参数,设定颜色为红色,函数f作为函数Plot的参数,x的范围,1.1 函数及其图形,解(b)： g2=PlotSinx fx,x,-4,4, PlotStyle-RGBColor0,1,0;Showg1,g2; Show的用法见教材P88 有关颜色的设定见教材P93,同时显示g1，g2两个图形,设定颜色为绿色,1.1 函数及其图形,实验1 练习1 观察第二个图，解释为什么两个图形在此区域内有一个交点 练习2 画出基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数的图形，观察它们的特点(函数的名称见教材P27),1.1 函数及其图形,实验2 观察函数y=sin(1/x)的图形 PlotSin1/x,x,-1,1 解释函数在x=0附近震荡的原因 观察图形在x=0附近的最大最小值 练习3 分别作出以下函数的图形，观察函数的复合 (a) f(x)=Sqrt(1+x2)在区间-5,5 PlotSqrt1+x2,x,-5,5,PlotStyle- Dashing0.02,0.01;,1.1 函数及其图形,实验2 练习3 分别作出以下函数的图形，观察函数的复合 (b) f(x)=sin cos sin x,在-Pi，Pi PlotSinCosSinx,x,-Pi,Pi; 注意函数图形的周期和值域 (c) f(x)=(tan sin x-sin tan x)/x2，在-5,5 Plot(TanSinx-SinTanx)/x2,x,-5,5,1.1 函数及其图形,实验2 练习3 (d)同时绘制多个函数的图形 f1(x)=exp(x),f2(x)=arctan x,f3(x)=exp(arctanx)在-6,6 PlotExpx,ArcTanx,ExpArcTanx,x,-6,6, PlotPoints-100,1.1 函数及其图形,数学软件包做图时在选定区间插入15个点分别计算函数值做图，然后用光滑曲线将这些点连起来（注意：数学软件包有自动光滑功能） PlotPoint-50 表示将插入50个点进行计算。 如果绘制的参数图不平滑或有明显的误差，可以更改PlotPoints的值获得比较准确的图形。 ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi,PlotPoints-200,1.1 函数及其图形,实验2 改变PlotPoints的值和定义域，观察图形的变化。 PlotSin1/x,x,-1,1, PlotPoints-100,1.1 函数及其图形,实验3 参数方程的图形 绘制以下参数方程的图形 1、x(t)=2(cost)3,y(t)=2(sint)3 2、x(t)=2(t-sint),y(t)=2(1-cost) 解 x1t_=2Cost3;y1t_=2Sint3; ParametricPlotx1t,y1t,t,0,2Pi; x2t_=2(t-Sint);y2t_=2(1-Cost); ParametricPlotx2t,y2t,t,0,4Pi;,极坐标作图,极坐标方程也可以转化为参数方程的形式从而在直角坐标系中用命令ParametricPlot绘图。 极坐标方程式可以写成 的形式，而极坐标上的点在x-y直角坐标系统上的坐标，根据几何关系可以写成 如果把ParametricPlotx,y,t,下限,上限命令中的x和y改成 ，则参数方程式的图形即为极坐标方程式的图形。,1.1 函数及其图形,实验3 练习4 极坐标图形的绘制：心形线、三叶玫瑰线 心形线 r1t_:=2(1-Cost);ParametricPlotr1t Cost, r1t Sint,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic 将r1的定义改为参数形式：a(1-b*Cost)，其中a、b为实数。改变a、b的值，你能发现图形随a和b变化的规律吗？,1.1 函数及其图形,实验3 练习4 极坐标图形的绘制：心形线、三叶玫瑰线 三叶玫瑰线 rt_:=2Sin3t;ParametricPlotrtCost,rtSint,t,0,2Pi 注：这里的“:=”与“=”作用相同,极坐标绘图,也有专门的极坐标绘图命令： PolarPlotr_,t_,下限,上限,可选项 它与下述命令等价： ParametricPlotr*Cost,r*Sint,t,下限,上限,可选项 如前面的三叶玫瑰线 rt_:=2Sin3t; PolarPlotrt,t,0,2Pi,1.1 函数及其图形,实验4 用条件语句绘制分段函数 分段函数可以用“/;”条件语句定义，格式为 fx_:=表达式/;条件,1.1 函数及其图形,实验4 用条件语句绘制分段函数 fx_:=x2Sin1/x/;x!=0; fx_:=0/;x=0; Plotfx, x,-1,1 注：此时只能用“:=”定义函数，区别见教材P38 尝试去掉x=0处的表达式，会有什么变化？,1.1 函数及其图形,实验5 列表的图形绘制 在很多实际问题中，并不知道函数的表达式，仅能测量到函数在某些点处的值，这些值可以列成数据表，称为函数的列表表示 例 分别画出坐标为(i,i2)，(i2,4i2+i3)，(i=1,2,10)的散点图，并画出折线图 有关Table命令的用法见教材P62,1.1 函数及其图形,实验5 列表的图形绘制 ListPlot命令常用的可选项,1.1 函数及其图形,实验5 解 t1=Tablei2,i,10; (*定义一个列表*) g1=ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott1,PlotJoined-True; Showg1,g2;,指定点的大小,在点之间用线相连,1.1 函数及其图形,实验5 解 t2=Tablei2,4i2+i3,i,10; g1=ListPlott2,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott2,PlotJoined-True; Showg1,g2;,把离散点按顺序连线,1.1 函数及其图形,实验5 练习5 运行以下语句，观察所得图形，体会参数PlotRange的作用 Plotx4+Sin10 x,x,0,5; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-All; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-1,1; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-0,1,-1,2;,1.1 函数及其图形,实验5 练习6 利用函数的图形研究函数的性质。函数f(x)= sinx/x当x=0时没有定义，然而函数的图形在x=0点有很好的性质。 a、在区间-2,2上画出函数的图形，并另外给出一个不具有这个性质的函数 b、当x很小时，f(x)接近于1，在同一坐标系中，画出f(x)和常函数x=0.9，并观察它们的图形 c、选择更小的x，重复b的操作,1.1 函数及其图形,注意绘图命令的工作方式 计算机显示器上的点是有限个数的 而定义在一个区间上的函数图形包含无限多点 绘图命令只能绘制区间内函数图形上有限的点，再将点连成线 可不可以设置绘图区间为(-,+ )? 可不可以设置绘图区间为一个开区间(0,1?,1.1 函数及其图形,实验5 练习7 a、在区间-1.3,2.5上画出函数f(x)=1/(x-1)的图形，并观察所得的图形，哪一部分是正确的，哪一部分是错误的？ b、尽可能找出不正确的部分，并用以下语句在同一区间画出f(x)的图形： Plot1/(1-x),x,-1.3,2.5,PlotRange-0.95,1.05,All;,1.1 函数及其图形,练习7 a、在区间-1.3,2.5上画出函数f(x)=1/(x-1)的图形，并观察所得的图形，哪一部分是正确的，哪一部分是错误的？ 问题：在x=1处f(x)没有定义 在先绘点后连线的方式中，Mathematica能计算到x=1这个点吗？ Plot1/(1-x),x,1,2.5,1.2 函数性质的研究,从图形观察函数的单调性、奇偶性、周期性 实验6 研究函数f(x)=x5+3exp(x)+log3(3-x)在区间-2,2上图形的特性 Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2; 结论：增函数,1.2 函数性质的研究,实验6 练习8 选用不同的区间，如-3,3，-10,10画出函数f(x)=x5-x的图形，并判断其单调性，试解释两种不同的结果,1.2 函数性质的研究,实验7 判断函数f(x)=sin2 Pi x+cos2 Pi x是否为周期函数 解：选一个比较大的范围，如-4,4，在此区间上画出函数f(x)的图形，如果函数的图形以某一宽度为单位重复出现，则该函数为周期函数。 PlotSin2 Pi x+Cos2 Pi x,x,-4,4;,反函数,实验8 若一个函数满足：一个y对应着一个x（单射），则其反函数一定存在，且在表达式中将y换成常量求解x，即将所得表达式中y换成x，x换成y即得到反函数的表达式。 判断函数y=f(x)=x3+3x2+3x+1的反函数的存在性。若存在，求反函数的表达式，并画出图形,1.2 函数性质的研究,实验8 从方程y=x3+3x2+3x+1种求出x关于y的表达式 Solvey = x3+3x2+3x+1,x 有关Solve命令的详细信息请看课本P150 能不能在同一个图中绘制这两个函数及第一象限对角线y=x的图形？ Plot-1+x(1/3),x,0,3,1.2 函数性质的研究,实验8 练习9 给定f(x)=x3+2x2-3x+4 a、观察f(x)与f(-x)的图形，给出它们之间的关系 b、f(x)与f(x+3)的图形之间有什么关系 c、f(x)与f(x+3)-3的图形之间有什么关系 d、观察f(x)、f(|x|)、|f(x)|、|f(|x|)|之间的关系,1.2 函数性质的研究,可借助于Mathematica中的动画功能来理解不同图形之间的关系 实验9 用循环实现动画 制作函数sincx的图形动画，观察参数c对图形的影响 DoPlotSinc x,x,-Pi,Pi,PlotRange-1,1, c,1,4,1/3;,1.2 函数性质的研究,实验10 作出函数f(x)=x2+sincx的图形动画，观察参数c对函数图形的影响 DoPlotx2+Sinc x,x,-3,3,PlotRange-1,5,c,1,5,1/3; 有关Do命令的用法请看课本P45 练习 10 观察幂函数y=xp，当p连续变化时函数图形的变化 练习 11 观察函数y=sin xp，当p连续变化时函数图形的变化,1.3 关于函数图形的进一步研究,利用Mathematica，我们可以画出一些难以想象的图形 实验 11 画出以下参数方程的图形 a、x(t)=5cos(-11t/5)+7cost y(t)=5sin(-11t/5)+7sint b、x(t)=cos t cos 5t y(t)=sin t cos 3t c、x(t)=(1+sin t-2cos 4t)cos t y(t)=(1+sin t-2cos 4t)sin t,1.3 关于函数图形的进一步研究,实验 11 解 ParametricPlot5Cos-11/5 t+7Cost,5 Sin-11/5 t+7Sint,t,0,10 Pi,AspectRatio-Automatic; ParametricPlotCos5 tCost, SintCos3 t,t,0,Pi,AspectRatio-Automatic; ParametricPlot(1+Sint-2Cos4 t)*Cost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-Automatic,Axes-None;,1.3 关于函数图形的进一步研究,实验12 画出前25个素数的散点图 解 TablePrimen,n,25; ListPlotTablePrimen,n,25,PlotStyle-PointSize0.015;,1.3 关于函数图形的进一步研究,练习12 敏感多项式 一个n次多项式最多有n个根。例如三次多项式(x-1)(x-2)(x-3)当x=1,2,3时为0 a、画出这个三次多项式的图形，然后在区间 -1,7.5上画出7次多项式(x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) (x-6) (x-7)的图形,1.3 关于函数图形的进一步研究,练习12 敏感多项式 一个n次多项式最多有n个根。例如三次多项式(x-1)(x-2)(x-3)当x=1,2,3时为0 b、利用命令Expand 将这个7次多项式展开，将得到x6的系数为-28。将该系数变为-28.01，并在相同的区间上画出改变后的多项式的图形，与之前的图形作比较，观察有多少个根发生了变化？ Expand命令用法见教材P167,1.3 关于函数图形的进一步研究,练习13 首先回忆sinx的性质，研究一个函数f(x)乘以sinx后图形变化的趋势 a、区间0,15上作出函数y1=x,y2=-x,y3=x sinx的图形 b、在区间0,15上作出函数y1=lnx,y2=-lnx,y3=lnx sinx的图形 c、任取函数f(x)和一个区间，做函数y1=f(x)和y2=sinf(x)的图形 d、试给出函数y1=f(x)和y2=f(x)sin x之间的关系,1.3 关于函数图形的进一步研究,练习14 a、任取一个x0，观察sin(x0),sin(sin(x0), sin(sin(sin(x0)等等，能得到什么结论？ b、画出sin(sinx) 以及sinx的等多重复合函数的图形，能得出什么结论？ 回顾区间套定理，有什么相似的地方吗？,1.3 关于函数图形的进一步研究,定义域实轴(-,+ )在Sin的映射下映射到值域 -1,1 定义域-1,1在Sin的映射下映射到值域Sin-1, Sin1 定义域Sin-1, Sin1在Sin的映射下映射到值域SinSin-1, SinSin1 . 当x!=0时，|Sinx|x|,1.3 关于函数图形的进一步研究,每做一次映射，区间长度缩小，极限是多少？ 在这个区间套中，唯一始终包含的点是哪一个？ x=0是Sinx的不动点 你怎样证明呢？,Plot命令,Plot命令表达式中的可选项是对画图的细节提出的各种要求和设置 每个选项都有一个确定的名字和选项值以“选项名-选项值”的形式放在Plot命令的最后位置，一次可设置多个选项，以逗号相隔依次排列。,Plot命令常用的可选项,PlotRange：指定作图范围 默认：Automatic 可用y1,y2的形式要求绘出坐标在y1,y2内的图形 AspectRation：图形的高度与宽度的比例 默认：黄金分割值0.618. 如果要图形按实际情况显示,则需要设置为Automatic PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio-Automatic,Plot命令常用的可选项,Axes 是否画出坐标轴以及设置坐标轴的原点位置 默认值：True，表示画出坐标轴 Axes None：不画坐标轴 Axes x0,y0：设置坐标原点为x0,y0,Plot命令常用的可选项,AxesLabel：设置坐标轴上的标记符号 默认：None，不作标记 AxesLabel字符串1，字符串2：定义轴的纵坐标和横坐标标记。 PlotSinhx,x,0,10,AxesLabel-Sinhx Plot2Sinx,x,0,10,AxesLabel-x,2Sinx,Plot命令常用的可选项,Ticks：设置坐标轴上刻度的位置 默认：Automatic，由系统自动定位 Ticks None：不标坐标刻度 Ticks xi,yi：规定x轴和y轴的刻度值 Ticks t1,t2,: 在一个轴上按t1，t2,设置刻度。 PlotSinx,x,0,10,Ticks-None PlotSinx,x,0,10,Ticks-Automatic PlotSinx,x,0,10,Ticks-0,Pi,2Pi,3Pi,-1,1,PlotStyle命令的可选项,曲线的样式通过PlotStyle命令来调用 默认值Automatica下线型为黑实线 Thichnesst指定线的宽度t，以占整个图形的宽度的比来量度 GrayLeveli描述曲线使用的灰度其中i是区间0,1中的一个数，0表示白色，1表示黑色。 RGBColorr,g,b曲线红、绿、蓝三色的强度 ，r,g 和b取0到1之间的数。,PlotStyle命令的可选项,Dashingd1,d2,曲线用虚线表示，虚线长度为d1,d2， PointSized给出一个点的大小，以图形的宽度为单位1。,TableShowGraphics Dashingr, 0.1 - r, Line0, 0, 2, 1, r, 0.01, 0.07, 0.02 TableShowGraphics3DDashingr,0.1-r,Line0,0,0,2,1,1,r,0.01,0.07,0.02,