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矩形、菱形与正方形,第五章图形的性质(一),1矩形的概念、性质及判定,直角,互相平分且相等,2,三个角,相等,2菱形的概念、性质及判定,相等,互相垂直平分,一组对角,中心,2,相等,互相垂直,3.正方形的概念、性质及判定,垂直平分,邻边,矩形,菱形,对角线,1一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法 2三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)可判定为矩形,(2)平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形 (3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形),3选择、填空中小规律,1(2015沈阳)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是() A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 2(2014鞍山)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8，DB6，DEBC于点E，则DE的长为() A2.4 B3.6 C4.8 D6,B,C,3(2013本溪)在菱形ABCD中，BAD2B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，则图中与ABE全等的三角形(ABE除外)有() A1个 B2个 C3个 D4个,C,A,5(2015朝阳)如图，在矩形ABCD中，AB5，BC7，点E为BC上一动点，把ABE沿AE折叠，当点B的对应点B落在ADC的角平分线上时，则点B到BC的距离为() A1或2 B2或3 C3或4 D4或5,A,解析：如图，连接BD，过点B作BMAD于M.点B的对应点B落在ADC的角平分线上，设DMBMx，则AM7x，又由折叠的性质知ABAB5，在直角AMB中，由勾股定理得到AM2AB2BM2，即(7x)225x2，解得x3或x4，则点B到BC的距离为2或1,C,7(2015丹东)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是_ 8(2014丹东)如图，在菱形ABCD中，AB4 cm，ADC120，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒DEF为等边三角形，则t的值为_,20,9(2015鞍山)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上(点E不与点B，C重合)，过点E作EMOB于点M，ENOC于点N，则EMEN的值为_,10(2015盘锦)如图，菱形ABCD的边长为2，DAB60，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使PBE的周长最小，则PBE的周长的最小值为_,11(2015朝阳)如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DEDF，给出下列条件：BEEC；BFCE；ABAC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是_(只填写序号),证明：BDCD，DEDF，四边形BECF是平行四边形，当ABAC时，D是BC的中点，AF是BC的垂直平分线，BECE，平行四边形BECF是菱形,12(2014葫芦岛)如图，在ABC中，ABAC，点D(不与点B重合)在BC上，点E是AB的中点，过点A作AFBC交DE延长线于点F，连接AD，BF. (1)求证：AEFBED. (2)若BDCD，求证：四边形AFBD是矩形,解：(1)AFBC，AFEEDB，E为AB的中点，EAEB，又BEDAEF，AEFBED(ASA)(2)AEFBED，AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABAC，BDCD，ADBD，四边形AFBD是矩形,13(2015铁岭)如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点E，F分别在边CD，AB上 (1)若DEBF，求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长,14(2015朝阳)问题：如图(1)，在RtACB中，ACB90，ACCB，DCE45，试探究AD，DE，EB满足的等量关系 【探究发现】小聪同学利用图形变换，将CAD绕点C逆时针旋转90得到CBH，连接EH，由已知条件易得EBH90，ECHECBBCHECBACD45. 根据“边角边”，可证CEH_，得EHED. 在RtHBE中，由_定理，可得BH2EB2EH2，由BHAD，可得AD，DE，EB之间的等量关系是_,CED,勾股,AD2EB2DE2,矩形,【例1】(2015内江)如图，将ABCD的边AB延长至点E，使ABBE，连接DE，EC，DE交BC于点O. (1)求证：ABDBEC； (2)若BOD2A，求证：四边形BECD是矩形,【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便,对应训练 1(本溪模拟)如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足为E.求证：AECE.,证明：过点C作CGAB交AB的延长线于G点，可证：CGBCED，CGCE.又GACEA90，四边形CGAE是矩形，CGAE，CEAE,菱形,【例2】(2015巴中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N. (1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由； (2)过点D作DEAC交BC的延长线于点E，当AB6，AC8时，求BDE的周长,【点评】菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法,对应训练 2(2015甘南州)如图，在ABC和EDC中，ACCECBCD；ACBDCE90，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H. (1)求证：CFCH； (2)如图，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论,正方形,【例3】(朝阳模拟)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EHAB于点H. (1)求证：HFAP； (2)若正方形ABCD的边长为12，AP4，求线段EQ的长,【点评】正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点,对应训练 3(2014扬州)如图，已知RtABC中，ABC90，先把ABC绕点B顺时针旋转90至DBE后，再把ABC沿射线平移至FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形,解：(1)FGED.理由如下：ABC绕点B顺时针旋转90至DBE，DEBACB，把ABC沿射线平移至FEG，GFEA，ABC90，AACB90，GFEDEB90，FHE90，FGED(2)证明：根据旋转和平移可得GEF90，CBE90，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180，BCG90，四边形BCGE是矩形，CBBE，四边形CBEG是正方形,特殊平行四边形综合题,【例4】(沈阳模拟)如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE. (1)求证：CEAD； (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由,解：(1)证明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四边形ADEC是平行四边形，CEAD(2)四边形BECD是菱形，理由是：D为AB中点，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四边形BECD是平行四边形，ACB90，D为AB中点，CDBD，四边形BECD是菱形(3)当A45时，四边形BECD是正方形，理由如下：ACB90，A45，ABCA45，ACBC，D为BA中点，CDAB，CDB90，四边形BECD是菱形，四边形BECD是正方形，即当A45时，四边形BECD是正方形,【点评】在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法,对应训练 4(2015南京)如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，AEF，CFE的平分线交于点G，BEF，DFE的平分线交于点H. (1)求证：四边形EGFH是矩形； (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路,由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MNNQ，由已知条件_，MNEF，故只要证GMFQ，即证MGEQFH，易证_，_，故只要证MGEQFH，易证MGEGEF，QFHEFH，_，即可得证,FG平分CFE,GEFH,GMEFQH,GEFEFH,(2)答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MNNQ，由已知条件：FG平分CFE，MNEF，故只要证GMFQ，即证MGEQFH，易证 GEFH，GMEFQH.故只要证MGEQFH，易证MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得证,22.不认真画图导致错误,试题在ABC的两边AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于点M，求证：FMMH.,错解 证明：如图，四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFHABC，52.3190，3290，12，15.14，45.AMFM.同理，AMMH，故FMMH.,正解 证明：分别过F，H画FKMD，HLMD，垂足为K，L.四边形ACGH是正方形，ACAH，CAH90，1290，ADBC，2390，13.又HLAADC90，AHLCAD，HLAD.同理：AFKBAD，FKAD，FKHL.又FMKHML，FKMHLM90，FMKHML，FMMH,剖析上述解法错在将BAC画成了直角(题中没有这个条件)，从而导致FAH，BAC和1，4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误,
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