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第五章 相似矩阵及二次型,定义1,内积,第一节 向量的内积 一、内积的定义及性质,内积的运算性质,长度，,定义2,二、向量的长度及性质,长度的基本性质,内积性质(iv),(1)(非负性),(2)(齐次性),(3) (三角不等式),数乘的长度 = 数的绝对值乘长度,许瓦兹不等式和夹角,许瓦兹不等式:,定义3. 非零n维向量,规定为:,解:,注意:,三、向量的正交性及其性质,证明,问题: 线性无关的向量组是否为正交组?,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基., 向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,则有,解, 规范正交基,例如,同理可知, 求规范正交基的方法,第二步：单位化. 取,解 先正交化，,取,以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特(Schmidt)正交化过程.,再单位化，,得正交规范向量组如下,例3,解,把基础解系正交化，即为所求亦即取,1. 定义6,2. 简单性质,四、正交矩阵,行,则称A 为n 阶正交矩阵.,结论,方法一、 用定义 方法二、 用结论,正交,3. 正交矩阵的判定,方法二.,P 的行向量是单位向量.,P 的行向量两两正交.,解.,方法一.,例4 设 A 为正交阵，B 为与 A 同阶的对称阵，求,解,由条件知,则任意两个变换后的向量 y1 , y2 的内积:,4、正交变换,定义,正交变换。,正交变换不改变向量的内积和线段的长度,旋转变换是 正交变换,镜面反射,是正交变换,2. 特征值与特征向量,一、特征值和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的计算方法,三、特征值和特征向量的性质,方程组:,一、特征值和特征向量的概念,称为 A 的特征阵.,行列式:,特征多项式.,称为A的特征方程.,定义8.,存在 n 维非零列向量 X , 使,特征值.,特征向量.,特征向量非零。,注意：,如对,及,则数,是矩阵 A 特征值,是矩阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量,有,(1).,证明:,X0.,按定义,非零解.,根据定义8，式可写成:,二、特征值和特征向量的计算方法,(2). 在复数范u围内, n 阶方阵有n 个特征值.,例1. 求对角方阵,0,0,的特征值.,解:,0,0,求方阵A的特征值和特征向量的步骤：,，它们就是A的全部特征值,（2） 分别把A的每个特征值,代入方程组,得到,分别求出它们的基础解系：,则所有向量,解 （1） 求特征值,由,（2）求特征向量,对于,即：,也即,所以对应的特征向量可取为：,因此属于特征值3的全部特征向量为,对于,即,也即,所以对应的特征向量可取为：,其中 k 取遍所有非零数 .,例 求A 的特征向量,解 求特征值,求特征向量,对于,即：,由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个,非零解，解得,其中 k 取遍所有非零数,解 求特征值,所以A的特征值为,求特征向量,得,作为基础解系，于是A的全部特征向量为,取单位向量组,这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系，,例4,证,已知矩阵,题,在求行列式时特别有用,A 可逆 特征值均不为零,2. 特征值的和、积公式,题.设矩阵A和B有相同的特征值，其中 求a,b的值,3. 特征值与矩阵运算的关系,重要的公式,1,40,A+3E 的特征值：4, 2, 5,例5,利用特征值求行列式,4 , 1 , 4 .,题,证,定理 4,三、特征向量的相关性,再左乘 A, ，,左乘 A,定理3.,定理5,线性无关。,其行列式为范德蒙行列式,例,证,由题知,反证,同一特征值的特征向量的线性组合仍是这一特征值的特征向量,分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量,
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