复习专题：导数

导数一、导数公式(1) 、几种常见的导数 C=: 3)=(a 6 R)；(ax ) =:(ex ) =; (log x)=；a (lnx) =； (sin x) =； ；(cosx) =(2) 、导数运算规则：伙-f (x)=，f (X) 土 g (x)=；f (x) - g (X) =f (x)g (x)练习：1、函数y =兰坚的导数为x2、若 f (x) = x2 ln x 顶 f(x) =3、若 f (x) = sin a - cos x,则 f (a ) =二、函数的单调性f (x)丰C, f (x)在区间A单调递增o f(x) 0在A恒成立 f (x)丰C, f (x)在区间A单调递减o f (x) 0 时，f(x) 0, g (x) 0 ,则x 0, g(x) 0 B. f (x) 0, g(x) 0C. f (x) 0 D. f (x) 0, g(x) 05、若f(x) = x3 ax2 + (a 1)x +1在(1, 4)内为减函数，在(6, +8)上为增函数，则a的范围三、极值和极值点(1) 、极值点的判别法函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点函数的草图导数的草图注意点：如图，(气，f RD是边界点不是极值点；(，f (x2，% f %。是转折点，才是极值点，其中(，f (x2) )极大值点，(，f叩极小值点，f幻是极大值，g)极小值;极大值、极小值统称极值是函数值 由于极值点由横坐标决定，因此，常称x2为极大值点，x3极小值点；所以求极值点-求横坐标(即f(x) = 0的解) 导数的草图需画x轴；x轴上方，导数大于0,函数单调递增；下方导数小于0,函数单调递减画x轴(2) 、求函数y = f的极值的方法:求出f(X = 0的根气；利用导数草图判定气是极大值点还是极小值点；求出极 值(3) 求最值的方法求出 g = 0的根x ；作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值i练习：1、已知函数f (x) = x3 -12x + 8在区间3,3上的最大值为M，则M =. f (x) = x4 + 2x2 + 3 在(一3，2)的值域 2、已知f (x) = x3 + bx2 + ex。如图，y = f(x)的图象过点(1，0)，(2，0)，则下列说法中：不正确的有3 x = 时，函数y = f (x)取到极小值; 函数y = f (x)有两个极值点； C = 6 ； x = 1时，函数y = f (x)取到极大值；3、设a 0).(I)求f (x)的最小值h(t) ； (II )若h(t) v2t + m对t g (0,2)恒成立，求实数m的取值 范围.4、已知函数f (x) = x3 + mx2 + nx-2的图象过点(一1,6)，且函数g(x) = f(x) + 6x的 图象关于j轴对称.(1)求m、n的值及函数j=fx)的单调区间；(1)若。0,求函数jfx)在区间(。-1,。+1)内的极值.15、已知函数f (x) =3x3 -x2 + ax + b的图像在点P (0,f(0)处的切线万程为y=3x-2(I) 求实数a,b的值；(II) 设g (x) =f(x)+当是2,+8上的增函数。x 一 1(i) 求实数m的最大值；(ii) 当 m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭 图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数 f (x) = lnx一ax + _a 一 1(a g R)x(I)当a = 1时，求曲线j = f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(II)当a 0， 如果过点(a, b)可作曲线j = f (x)的三条切线，证明：-a v b v f (a).9、已知函数 f (x) = 3ax4 - 2(3a + 1)x2 + 4x(I)当a = 1时，求f (x)的极值；(II)若f (x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围 6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小 值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等 于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设f （x）在x 0二阶可导，且f （x0） = 0f （寸0，则f（ x）在” 0取得极大值,若若 f ”(X 0) 0则f（ ）在 0取得极小值.f （气） 0f （ x） = a sin x + 1sin3 x 兀例 试问a为何值时，函数3在X = 2处取得极值？它3是极大值还是极小值？求此极值.f（x） = a cos x + cos 3x解 由假设知f =0,从而有2 -1=0，即a = 2.f (x) = -2 sin x - 3sin3 x，且又当a = 2时，f C3)= r 3 o1兀所以f (x) = 2sin x + 3 Sin 3x在x =处取得极大f (孑=J3值，且极大值3f (x) = x 3 一 3 x 2 9 x + 5例求函数的极大值与极小值.解f (x)在-2,4上连续，可导.令f (x) = 3x2 - 6x 一 9 = 3(x +1)(x 一 3) = 0，得x=-1 /=3，思考：f (x)在x = -1取得极大还是极小值？在x = 3取得极大还是极小值？f x) = 6 x - 6-1代入二阶导数表达式为-12，f (x)在x = -1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在x = 3取得极小值三、函数图像凹凸定理 若f (x)在(a,b)内二阶可导，则曲线y = f (x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是尸(X) 2 0，x e (a,b).f”(x) 0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反 之在该线段的上方。1.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情 况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它f () + f ()兀 +1、12 f ( 12 )2T定义4.5.1设y = f (1)在(a,b)内可导，若曲线y = f (x)位于其每点处切线的上方，则 称它为在(a,b)内下凸(或上凹);若曲线y = f (x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内 上凸(或下凹).相应地，也称函数y = f (x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通常把下 凸函数称为凸函数).从图11和图12明显看出，下凸曲线的斜率tan a = f f( x)(其中a为切线的倾角) 随着x的增大而增大，即f X x)为单增函数；上凸曲线斜率f(x)随着x的增大而减小，也就 是说，f Xx)为单减函数.但f! (x)的单调性可由二阶导数f(x)来判定，因此有下述定理.定理4.5.1 若 f (x)在(a, b)内二阶可导，则曲线y = f (x)在(a内下凸 (凹函数)的充要条件是广, 、 八x e (a, b).f (x) Z 0