小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.ppt

小学数学中的基本思想,东北师范大学 史宁中 2014. 9,报告目录,一、数学的基本思想 二、小学数学中的抽象 三、小学数学中的推理 四、小学数学中的模型,一、数学的基本思想,1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变 过去的教育理念：以知识为本 教学大纲 关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练） 教学形式是： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）,现代的教育理念：以人为本 教育方针：育人为本（纲要）、立德树人（十八大） 课程标准 以学生的发展为本 人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法 不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能 还要培养学生数学的基本素养（素质教育） 感悟数学的基本思想，积累基本活动经验 课程目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 基本活动经验：思维经验、会想问题；实践经验、会做事情,2. 什么是数学的基本思想 数学是研究数量关系和空间形式的科学 研究对象：数量、图形 研究内容：数量性质与关系、图形性质与关系 数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型 数学教学的责任：会抽象、会推理 、会一般性地思考,通过抽象：现实 数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征： 一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）,数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟） 教学要点：创设情境，让学生感悟。 感悟什么？如何感悟？ 数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达。 同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少 数关系的本质是大与小。 抽象有两种方法：对应起名（外延）、述说定义（内涵） 对应：三个苹果、三只鸡 3 （去掉物理属性） 述说：一个一个多起来（后继数）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，,二、小学数学中的抽象,小学阶段的数学教育： 开始用对应的方法，以后用述说方法 比如数的认识 对应：负数 量相等、意义相反 不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释 述说：如何认识 10000、比 9999 多 1 比如几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形,数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 （基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题 高等教育出版社，2013年） 读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002 符号 0 很重要： 1 10 1 9 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a 数位与数不同 数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 数：10 = 9 + 1 10000 = 9999 + 1,数的运算 与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义。 定义： 3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 3 + 1 = 4 对应： 哪边多 哪边多？ 3 + 1 = 4 理解等号的意义：等号两边讲两个故事， 这两个故事量相等 （方程：含有未知数的等式？）,点、线、面的抽象 0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。 日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的。,角的抽象 角是由两条有公共端点的射线组成的图形。 称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。 几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力,抽象的小结 抽象出数学研究的对象： 把外部世界的数量和数量关系、 图形与图形关系引导数学内部。 概念：自然数、负数、点、线、面、体、角 关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线 法则：加法 减法、乘法、除法 抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 抽象的东西是理念的存在 郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,三、小学数学中的推理,推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理 数学的结论都是命题 数学命题：可供正确或者错误判断的陈述 可供判断，下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的 仅供判断，下面两个陈述都是数学命题 三角形内角和180度 三角形内角和120度 直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程,逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。 A P，x A， x P。 x P，x A， A P。 前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。 柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。 苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。 两种逻辑推理 演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。 归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。,演绎推理,演绎推理需要前提：公理或者假设。 “数与代数”演绎推理的前提 命题1 等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a b），b = c (a b） a = c (a c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。 a = b (a b） a + c = b + c (a + c b + c） a - c = b - c (a - c b - c）,演绎推理,加上一个正数比原来的数大。 符号表示：对于任意的数 a 和正数 b，有 a + b a。 因为 b 为正数，所以 b 0 在上面不等式两边分别加上 a，由命题 2 得到 a + b a 结论成立。 利用类似的方法可以证明对称命题： 加上一个负数比原来的数小。,演绎推理,减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小 用数学符号表示这个命题： a - b = a + (-b) 其中b 0。因为“减法是加法逆运算”： a - b = x a = b + x 由命题2，在右边等式的两边分别加上（-b）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1： a - b = x = a + (-b),演绎推理,减去一个负数等于加上这个负数的相反数。 减去一个负数等于加上一个正数。 减去一个负数比原来的数大。 用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b 令 x = a + b。等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2： x + (-b) (-b) = a (-b) 因为同样的数相减为 0：x = a (-b)。由命题1： a - (-b) = a + b,演绎推理,演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。 论证问题的形式是： 已知 A 求证 B 其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识 发现知识需要下面两个能力： 从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力 因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西,归纳推理,归纳推理需要前提：经验或者想象 经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 3 + (-2) = (-2) + 3 a + b = b + a 结论的正确与否需要演绎证明,归纳推理,探究成因 混合运算：先算括号、先乘除后加减 为什么？举例说明 (3 + 2)6 = 56 = 30 3 + 26 = 3 + 12 = 18 上： 一队同学，每排3名女生2名男生，共6排，问有多少同学。 下：操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排，问现 在操场上有多少同学。 现在同学数 = 原来同学数 + 后来同学数 = 3 + 26 混合运算讲两个以上的故事。 除分数等于乘这个分数的倒数,归纳推理,类比的方法：几何 一个点把直线分为两个部分。如何表达？ 一条直线把平面分为两个部分。如何表达？两条直线呢？ 一个平面把空间分为两个部分。如何表达？两个平面呢？ 数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论。 因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理， 因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。,四、小学数学中的模型,抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学 推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展 模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实 模型：是沟通数学与现实世界的桥梁 用数学的语言讲述现实世界的故事 力是什么？ F = ma 重力是什么？ s = gt2/2,课标中主要要求两个模型 总量模型（加法模型）：总量 = 部分 + 部分 部分 = 总量部分 顺序模型：现在 = 过去 + 变化 路程模型（乘法模型）：路程 = 速度 时间 速度 = 路程 / 时间 植树模型、工程模型,如果在我国的中小学数学教育中 一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面又添加了“基本思想”和“基本活动经验”，必将会出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。 就必将会出现“外国没有的我们有，外国有的我们也有”的局 面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于 世界。,谢谢！,改造于九章算术方程篇第八题。 在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下： 第一次 卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱； 第二次 卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当； 第三次 买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。 如何用数学的方法表达？,文字形式 牛 羊 猪 合计 第一次 收入24 收入25 支出39 收入10 第二次 收入36 支出45 收入90 0 第三次 支出60 收入30 收入24 支出6 数字形式 牛 羊 猪 合计 第一次 24 25 -39 10 第二次 36 -45 90 0 第三次 -60 30 24 -6 负数与自然数：数量相等（绝对值）、意义相反。,除以一个分数等于乘这个分数的倒数。为什么？ 有鹅4只，是鸭子的三分之一，问有几只鸭子？ 教学目的：4 1/3 = 4 3 = 12 为什么用除法：有鹅4只，是鸭子的2倍，问有几只鸭子？ 为什么乘倒数：破题，解释什么是1/3 1只鹅对应3只鸭子，2只鹅对应6只鸭子，3只鹅对应9只鸭子， 所以：4只鹅对应12只鸭子。,