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专练06 空间线面的垂直一、基础强化1. 设l是直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l,l,则 B.若l,l,则C.若,l,则l D.若,l,则l【参考答案】B【解析】对于A选项,设=a,若la,且l,l,则l,l,此时与相交,即A选项错误;对于B选项,若l,l,则存在直线a,使得la,此时a,由平面与平面垂直的判定定理得,即B选项正确;对于C选项,若,l,则l或l,即C选项错误;对于D选项,若,l,则l与的位置关系不确定,即D选项错误.故选B.2. (2019山东潍坊月考)已知平面和直线a,b,若a,则“ba”是“b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】根据空间中直线与平面之间的位置关系,由a,b,可得ba,反之不成立,可能b与相交或平行“ba”是“b”的必要不充分条件故选B.3. 已知在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB,AD,BD,AA11,则异面直线A1B与B1D1所成角的大小为()A B C D【参考答案】C【解析】如图所示：在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB,AD,AA11.所以D1C,B1C.且易知D1CA1B,所以B1D1C(或其补角)即为所求在B1D1C中,D1C,B1C,BD,所以D1CB1,B1D1C.故选C.4. 如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是()A平面ABCDB平面PBCC平面PADD平面PAB【参考答案】C【解析】由PA平面ABCD得PACD,由四边形ABCD为矩形得CDAD,从而有CD平面PAD,所以平面PCD平面PAD. 故选C.5.在直三棱柱ABC A1B1C1中,BAC,ABAC2AA1,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为()ABCD【参考答案】A【解析】将三棱柱补为长方体ABDCA1B1D1C1,异面直线AC1与A1B所成的角即为AC1D,设AA11,则ACCD2,AC1DC1,AD2.由题意知cos AC1D.故选A.6. 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O,若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心.【参考答案】垂【解析】如图PCPA,PBPC,PAPB=P,PC平面PAB,又AB平面PAB,PCAB,又ABPO,POPC=P,AB平面PGC,又CG平面PGC,ABCG,即CG为AB边上的高.同理可证BD,AH分别为AC边,BC边上的高,则O为ABC的垂心.7. 如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.【参考答案】【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.8. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条,其中与体对角线AC1垂直的有条.【参考答案】6【解析】如图,连接AC,则BDAC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,C1C平面BCD,BD平面BCD,C1CBD,又ACCC1=C,BD平面ACC1,AC1平面ACC1,AC1BD.同理A1B,A1D,B1D1,CD1,B1C都与AC1垂直.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱,故与体对角线AC1垂直的有6条.9.如图,点M,N分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点,则MN和CD1所成角的大小是_.【参考答案】60【解析】因为MNBC1,CD1A1B,所以A1BC1就是MN和CD1所成角,而A1BC1是等边三角形,所以A1BC160.10.已知长方体的外接球体积为,且,则与平面所成的角为 。【参考答案】【解析】设外接球的半径为R,则,解得.则长方体的体对角线.又由得,解得.因为平面,平面,即,所以直线与平面所成的角为,则. 11. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,E,F分别为AD,PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；【参考答案】证明(1)因为PAPD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD,所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.12.如图,在三棱锥P ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点已知BAC,AB2,AC2,PA2. 求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值【解析】(1)SABC222,三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.二、能力提升1. 已知为异面直线,平面平面.直线满足,则（ ）A.且B.且C.与相交,且交线垂直于D.与相交,且交线平行于【参考答案】D【解析】由于m,n为异面直线,平面平面,则平面与平面必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足,则交线平行于l.2.(2019福建福州检测题)直三棱柱ABC A1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90【参考答案】C【解析】如图,延长CA到点D,使得ADAC,连接DA1,BD,则四边形ADA1C1为平行四边形,所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB,所以A1DB为等边三角形,所以DA1B60.3. ABC中,ACB90,AB8,ABC60,PC平面ABC,PC4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为_.【参考答案】2【解析】作CHAB于H,连接PH.因为PC平面ABC,所以PHAB,PH为PM的最小值,等于2.4. (2019河南洛阳月考检测试题)如图所示,在四棱锥P ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【参考答案】DMPC(或BMPC等)【解析】PA底面ABCD,BDPA,连接AC,则BDAC,且PAACA,BD平面PAC,BDPC. 当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.5. 如图所示,四边形ABCD是矩形, ABE, ,F为CE上的点,且平面ACE,AC与BD交于点G。（1）求证：平面BCE（2）求证：AE/平面BFD（3）求三棱锥的体积【解析】（1）平面ABE,AD/BC平面平面又平面又,平面平面（2）依题意可知：G是AC中点由平面ACE知,而F是EC中点在中,FG/AE又平面,平面AE/平面（3）AE/平面BFDAE/FG,而平面BCE,平面BCE,即平面BCFG是AC中点,F是CE中点FG/AE且又知在中,科教兴国6
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