平面桁架有限元分析及程序设计.ppt

第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,2.1 平面桁架单元的离散 2.2 平面桁架单元分析 2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成 2.4 边界条件的处理 2.5 单元内力与支座反力的计算 2.6 平面桁架有限元程序设计,有限单元法及程序设计,解题方法,方法1：节点法,方法2：截面法,静定桁架,回顾,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,解题方法：力法和位移法,超静定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,如图所示桁架，求各杆轴力。,力的平衡条件：,位移的协调方程：,1杆和3杆位移：,2杆位移：,超静定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,1杆轴力竖向分量：,2杆轴力：,式中： 和 为杆件的刚度系数；,物理意义： 4点产生单位位移，杆端产生的竖向杆端力； 由杆件的物理性质和几何性质决定；,V4为第4节点竖向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,超静定桁架,代入平衡方程：,结构的整体刚度系数,位移法求解超静定结构。,离散原则：每个结点离散后还是一个结点，每个杆件离散后变成一个单元,1,结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直杆单元,2,3,4,5,6,2.1 平面桁架单元的离散,9个单元，6个结点,1,2,3,4,5,6,7,8,16个单元，8个结点,2.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵,局部坐标系的建立,i,E，A，l,j,e, 轴：沿单元的杆轴方向；,2.2 平面桁架的单元分析, 轴：从 轴逆时针旋转90。, 原点：以第一个结点为坐标原点；,杆端位移：,i,j,e,杆端力：,符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。,单元右端杆端力：,单元左端杆端力：,单元应力：,单元应变：,右结点固定,结点位移：,左结点固定,杆的受力分为两种情况：,2.2 平面桁架的单元分析,任意情况（左右结点均有变形）即为以上两种状态的叠加：,杆端力为：,式中 为单元刚度矩阵(局部坐标系),杆单元轴力为：,式中 为单元应力(广义)矩阵；,2.2 平面桁架的单元分析,单元杆端力方程：,杆端位移：,杆端力：,单元轴力：,2.2 平面桁架的单元分析,杆端位移和杆端力,符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。,杆端力：,2.2 平面桁架的单元分析,2.2.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵,若局部坐标系与整体坐标系重合，则整体坐标系下的单元刚度矩阵与局部坐标下的单元刚度矩阵相同。,若局部坐标系与整体坐标系不重合，如下图所示：,杆端位移：,杆端力：,杆端位移：,i 结点：,j 结点：,2.2 平面桁架的单元分析,设杆件的长度为 l ，则：,两边微分：,由于杆件的变形产生位移：,因此，杆件应变为：,杆件轴力为：,符号：杆件轴力以拉为正，压为负。,杆件的结点力为：,因此，杆件结点力向量为：,式中 是整体坐标系下的单元刚度矩阵；,2.2 平面桁架的单元分析,写成分块矩阵形式：,式中：,2.2 平面桁架的单元分析,（1）单元刚度系数kij的意义,j自由度(结点)产生的单位杆端位移引起的i自由度(结点)的杆端力,（2）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,式中：,杆件单元的应力矩阵为：,单元刚度矩阵的性质,2.2 平面桁架的单元分析,（3）单元刚度矩阵一般是不可逆的,2.2.3 单元坐标转换矩阵,2.2 平面桁架的单元分析,取任意杆件,建立如图所示的局部坐标系：,杆端力：,杆端位移：,2.2.3 单元坐标转换矩阵,x,y,2.2 平面桁架的单元分析,杆端力：,杆端位移：,在上图中,建立如图所示的整体坐标系：,以i结点为例：,同理，对于j 结点：,2.2 平面桁架的单元分析,写成矩阵形式：,因此：,其中，T为转换矩阵：,转换矩阵的性质,转换矩阵是正交矩阵；,同理，位移也存在转换关系：,代入局部坐标系下 的刚度方程：,2.2 平面桁架的单元分析,与利用微分得到的单元在 总体坐标下的刚度方程相同,1、对总体结点位移和单元进行编码；,2、单元局部坐标系下的刚度矩阵;,1,2,3,例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求三个单元在整体坐标系下的刚度矩阵。,2.2 平面桁架的单元分析,3、单元整体坐标系分析:,解：,单元整体坐标系下的刚度矩阵为:,4、单元整体坐标系分析:,5、单元整体坐标系分析:,1,2,3,例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求结构的刚度矩阵。,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、单元整体坐标系下刚度矩阵分块,解：,2.3.1 结点的平衡方程,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,F,1,2、结点1的平衡方程：,结点1的受力状态为（如右图）:,结点1的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点1的平衡条件:,3、结点2的平衡方程：,同理，结点2的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点2的平衡条件:,4、结点3的平衡方程：,同理，结点3的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点3的平衡条件:,5、系统的平衡方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,6、结构整体刚度方程,写成矩阵形式，即可得到结构的整体刚度方程,其中，K为结构的整体刚度矩阵；,2.3.2 整体刚度矩阵的集成步骤,1、定位,单元结点编号,2、累加,整体结点编号,单元刚度系数,整体刚度系数,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,单元定位向量,1,2,3,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,例：求上例平面桁架结构的整体刚度矩阵；,1、定位,单元：,1 2 3,1 2 3,(2) (1),(2) (1),2、累加,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、定位,单元 ：,(2) (1),(2) (1),2、累加,1、定位,单元 ：,2、累加,(1) (2),(1) (2),2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,结构的整体刚度矩阵为:,将每个字块展开，结构的整体刚度矩阵为:,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、整体刚度矩阵的性质,2.3.2 整体刚度矩阵的集成方法,（1）刚度系数Kij的意义,分块矩阵：,（2）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,j结点产生的单位杆端位移引起的i结点的杆端力；,j自由度产生的单位杆端位移引起的i自由度的杆端力；,不分块矩阵：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,思考题：如何由刚度矩阵元素的意义确定整体刚度矩阵每个元素的组成？,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1,2,3,4,练习题：利用整体刚度矩阵的意义确定以下桁架刚度矩阵元素（分块）的组成。,2.3.2 整体刚度矩阵的集成步骤,1、定位,单元自由度编号,2、累加,整体自由度编号,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,自由度定位向量,单元刚度系数,整体刚度系数,练习题：利用整体刚度矩阵的意义确定以下桁架刚度矩阵元素（自由度）的组成。,2.4.1 结点边界条件,2.4 边界条件的处理,结点可以自由变形，整体结点力等于对应的外荷载。,1、自由变形的结点,2、约束结点或给定了结点位移的数值,约束结点：,给定结点位移：,2.4.2 边界条件的处理方法,2.4 边界条件的处理,1）划行划列法,处理方法：若第i个自由度位移为零，则将总刚第i行和第i列划掉，刚度矩阵相应降低一阶。,0,0,0,优点：简单易行，矩阵降阶，减小计算工作量；,缺点：矩阵行列、位移、荷载向量需重新编号，程序实现比较复杂；,只适用于约束结点情况；,2.4 边界条件的处理,2）0、1置换法（填0置1法）,处理方法：将与约束自由度对应整体刚度矩阵对角线元素全部置换成1，相应行和列其他元素置换成0，将同一行荷载分量置换成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,适用条件：只适用于约束结点，不适用给定位移边界条件；,2.4 边界条件的处理,3）乘大数法,处理方法：将与约束自由度对应整体刚度矩阵对角线元素乘以一个大数N (1010-1015)，将同一行荷载分量置换成N与对角线元素的乘积与给定位移之积。,N,N,N,NK33b1,NK44b2,NK66b3,优点：处理工作量小，适用于给定位移情况；,0,0,0,2.5 单元轴力及支座反力的计算,单元轴力：,(1)整体坐标系下的单元杆端位移,(2)整体坐标系下的单元轴力,2.5.1 单元轴力的计算,位移和荷载向量分解为自由结点和约束结点两部分，刚度矩阵相应分块，如下所示：,2.5.2 支座反力的计算,其中：,为自由位移;,为约束位移;,为外荷载;,为约束自由度结点力;,因此：,为支座反力;,为约束自由度结点荷载;,其中：,2.5 单元轴力及支座反力的计算,1、计算分析题 平面桁架结构网格如图所示，已知EA=1500 kN，采用乘大数方法引入支撑条件，试求后处理法引入支撑条件后的满阵存贮的整体刚度矩阵 K。结构坐标系下单元刚度矩阵计算公式如下：,例题,式中：,2、计算分析题 按照有限元法的计算步骤，求图示桁架结构各杆轴力。已知：EA=10 kn。结构坐标系下的单元刚度矩阵计算公式如下： ：,例题,式中：,2.6 程序设计,程序设计原则 完整性 扩充性 兼容性 逻辑性 可读性 可维护性 模块化,2.6 程序设计,程序设计流程图（程序框图） 什么是流程图？ “程序流程图”常简称为“流程图”，是一种传统的算法表示法，程序流程图是人们对解决问题的方法、思路或算法的一种描述。它利用图形化的符号框来代表各种不同性质的操作，并用流程线来连接这些操作。,2、如何画流程图,编码和单元测试 这个阶段的任务是程序员根据目标系统的性质和实际环境，选取一种适当的高级程序设计语言(必要时用汇编语言)，把详细设计的结果翻译成用选定的语言书写的程序，并且仔细测试编写出的每一个模块。 程序员在书写程序模块时，应使它的可读性、可理解性和可维护性良好。,综合测试,这个阶段的任务是通过各种类型的测试，使软件达到预定的要求。 最基本的测试是集成测试和验收测试。集成测试是根据设计的软件结构，把经单元测试的模块按某种选定的策略装配起来，在装配过程中对程序进行必要的测试。验收测试是按照需求规格说明书的规定，由用户对目标系统进行验收。 通过对软件测试结果的分析可以预测软件的可靠性；反之，根据对软件可靠性的要求也可以决定测试和调试过程什么时候可以结束。 在进行测试的过程中，应该用正式的文档把测试计划、详细测试方案以及实际测试结果保存下来，作为软件配置的一部分。,2.6 程序设计,2.6.1 程序框图,输入数据,单元局部刚度,坐标转换矩阵,单元整体刚度,集成整体刚度矩阵元素,约束条件处理、解方程,计算单元轴力、约束反力,单元循环,包括单元、结点、材料、荷载、约束数据,2.6 程序设计,2.6.2 程序说明,1、总体刚度矩阵的半带宽存储,总体刚度矩阵：,对称稀疏矩阵；,0,0,半带宽：,总体刚度矩阵集成：,2.6 程序设计,行号：,0,列号：,主对角线,半带宽存储下三角：,2.6 程序设计,2、先处理法处理边界条件,单元定位向量：,(1,2),(3,4),(5,6),后处理：,(1,2),(0,0),(3,0),划行划列法,先处理法：,单元定位向量：,void force() int i,j,ie,m; float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7; for(ie=1; ie=ne; ie+) i=jmie1; j=jmie2; m=jmie0; w1=f2*i-2; w2=f2*i-1; w3=f2*j-2; w4=f2*j-1; dx=xyj1-xyi1; dy=xyj2-xyi2;,例题,3、程序说明 下面为一个平面桁架计算程序段，试在左端有编号的程序右面写出其注释。（10分）,l=sqrt(dx*dx+dy*dy); cx=dx/l; cy=dy/l; ea=EAm/l; dx=w3-w1; dy=w4-w2; l=ea*(cx*dx+cy*dy); Fie=l; ,1,2,4,5,3,1、运用有限单元法，计算图示桁架：杆件截面积为A，弹性模量为E，结点2作用集中力，结点3给定水平位移b，要求写出整体平衡方程及边界条件处理方法。,作业,2、运用有限单元法程序,计算程序书第4页作业题，要求打印输入文件、输出文件，并画出各个杆件的轴力图。,3、计算分析题（15分） 平面桁架结构网格如图所示，已知EA=6000 kN，采用填0置1法（0、1置换法）引入支撑条件，试求后处理法引入支撑条件后的满阵存贮的整体刚度矩阵 。结构坐标系下单元刚度矩阵计算公式如下：,式中：,作业,4、程序说明（10分） 下面为一个平面桁架计算程序段，左端有编号的程序部分有两处错误，请改正，并在没有错误的程序右面写出其注释。（10分）,int ekzk(int ie ) int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji; for(i1=1;i1=2;i1+) for(i2=1;i2=2;i2+) 1 i=2*(i1-1)+i2; 2 ii=2*jmiei1+i2; for(j1=1; j1=2; j1+) for(j2=1; j2=2; j2+) j=2*(j1-1)+j2; 3 jj=2*(jmiej1-1)+j2; 4 ji=bw+jj-ii+1; 5 if(ji=bw) Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij; ,作业,