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数字电子技术基础电子课件,郑州大学电子信息工程学院 2020年8月21日,第一章 逻辑代数基础,1.1 概述,1.1.1 脉冲波形和数字波形 图1.1.1几种常见的脉冲波形，图(a)为矩形波、图(b)为锯齿波、图(c)为尖峰波、图(d)为阶梯波。,脉冲信号的参数,通常规定：0表示矩形脉冲的低电平；1表示矩形脉冲的高电平，如图1.1.3波形所示。,矩形脉冲数字表示法,1.1.2 数制和码制,一、数制 每一位的构成 从低位向高位的进位规则 我们常用到的： 十进制，二进制，八进制，十六进制,十进制，二进制，八进制，十六进制,逢二进一,逢八进一,逢十进一,逢十六进一,十进制数325.12用位置计数法可以表示为 任意一个具有n为整数和m为小数的二进制数表示为 八进制有07个数码，基数为8，它的计数规则是“逢八进一”。八进制一般表达式为,十六进制数的符号有0、1、2、8、9、A、B、C、D、E和F，其中符号09与十进制符号相同，字母AF表示1015。十六进制的计数规则“逢十六进一”，一般表示形式为 例如：,二、数制间的转换 各种进制转换为十进制 十进制转换为二进制 所以,二进制转换与十六进制间的转换 十六进制转换为二进制正好和上述过程相反,三、二进制数算术运算,算术运算 二进制数的0/1可以表示数量，进行 加，减，乘，除等运算 二进制数的正、负号也是用0/1表示的。 在定点运算中，最高位为符号位（0为正，1为负） 如 +89 = （0 1011001） -89 = （1 1011001）,二进制数的补码：,最高位为符号位（0为正，1为负） 正数的补码和它的原码相同 负数的补码 = 数值位逐位求反 + 1 如 +5 = （0 0101） -5 = （1 1011） 通过补码，将减一个数用加上该数的补码来实现,7 4 = 3 7 + 8 = 3 （舍弃进位） 4 + 8 = 12 产生进位的模 8是-4对模数12的补码 特别要注意的是，运算过程中所有的数都用补码表示。,1110 0110 = 1000 （14 - 6 = 8） 1110 + 1010 = 11000 =1000（舍弃进位） （14 + 10 = 8） 0110 + 1010 =24 1010是- 0110对模24 （16） 的补码,16,8,4,12,14,2,6,10,四、BCD码（Binary Coded Decimal） 8421BCD码与十进制数之间的转换是直接按位转换，例如 BCD码除842l码外，常用的还有2421码、余3码、余3循环码、BCD格雷码等等,1.2 基本逻辑函数及运算定律,基本概念 逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值： 0/1 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、C、表示。其取值只有0或者l两种。这里的0和1不代表数量大小，而表示两种不同的逻辑状态，如，电平的高、低；晶体管的导通、截止；事件的真、假等等。,1.2.1 逻辑代数中的三种基本运算,与（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示等不亮；三种电路的因果关系不同：,与,条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = A&B=AB=AB,或,条件之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B,非,条件不具备，结果发生,几种常用的复合逻辑运算,与非 或非 与或非,几种常用的复合逻辑运算,异或 Y= A B,几种常用的复合逻辑运算,同或 Y= A B,一、运算定律,1.2.2 逻辑代数的运算定律及规则,证明方法：推演 真值表,用真值表证明 的正确性。,二、逻辑代数的常用公式,三、逻辑代数的基本规则,代入规则 -在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。,应用举例：,反演规则 -对任一逻辑式,变换顺序 先括号，然后乘，最后加,不属于单个变量的上的反号保留不变,应用举例：,一、逻辑函数 Y=F(A,B,C,) -若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。 注： 逻辑函数表达式的运算顺序为先算括号内，后括号外；先算与，后算或； 非号下面有一个括号时，括号可以省去，如 可以写成,1.3 逻辑函数及其表示方法,二、逻辑函数的表示方法,真值表 逻辑式 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换,真值表 由逻辑函数表达式转换成真值表时，将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑表达式求出函数值，列成表，即可得到真值表。,逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。逻辑图与逻辑函数表达式也可以互相转换 a 用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的运算符号，就可以画出逻辑图了 b 根据逻辑门的连接方式和每个门的逻辑功能逐级写出它的表达式,波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。,各种表现形式的相互转换：,逻辑式 真值表,【例1.3.1】已知逻辑函数,列出真值表。,真值表 逻辑式： 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量 将这些变量相加即得 Y 把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出Y，列表,【例1.3.2】已知真值表如表1.3.2所示，写出逻辑函数式。,逻辑图 逻辑式 1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符,逻辑式 逻辑图 1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符 2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,最小项 m： m是乘积项 包含n个因子 n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次,对于n变量函数 有2n个最小项,1.3.2 逻辑函数的标准形式： 最小项之和 最大项之积,最小项举例：,两变量A, B的最小项 三变量A,B,C的最小项,最小项的编号：,最小项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1 全体最小项之和为1 任何两个最小项之积为0 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 -相邻：仅一个变量不同的最小项 如,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,利用公式 可将任何一个函数化为,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,最大项：,M是相加项 包含n个因子 n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次 如：两变量A, B的最大项,对于n变量函数 2n个,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0 全体最大项之积为0 任何两个最大项之和为1,最大项编号方法是：把使最大项为0的那一组逻辑变量组合成二进制数，与这个二进制数对应的十进制数就是该最大项的编号。 n 个变量的最大项一共有 个,从真值表归纳逻辑函数,逻辑函数有两种标准表示形式，一是最小项的与或表达式，也称为最小项之和形式；另一种是标准或与表达式，也称为最大项之积形式。 一、从真值表求最小项之和形式 1、找出使逻辑函数为1的变量组合； 2、写出使函数为1的变量取值组合对应的最小项； 3、将这些最小项相或，即得到标准的最小项之和表达式。,二、从函数真值表求最大项之积形式的方法如下： 1、在真值表中找出逻辑函数为0的变量组合； 2、写出对应于函数为0的最大项； 3、将所有最大项相与。 利用恒等式 可以把任何一个逻辑函数写成最小项项之和形式.,1.4 逻辑函数的公式化简法,1.4.1 逻辑函数的最简形式 最简与或 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。,1.4.2 常用公式化简法 反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。 1、并项法 解：,2、吸收法 利用 可以将两项合并为一项，并消去一个变量 解： 3、消因子法 利用常用公式 可将 中的 消去,4、消项法 利用常用公式 将多余项 消去 解： 5 配项法 利用重复律 和互补律 ，将一项拆成两项，然后与其他项合并，重新组合之后再化简。,用配项法化简逻辑函数 解：,1.5 逻辑函数的卡诺图化简,1.5.1 逻辑函数的卡诺图表示法 实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来 以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,表示最小项的卡诺图,2变量卡诺图 3变量的卡诺图,4变量的卡诺图,5变量的卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数,把逻辑函数写成最小项之和形式，然后在卡诺图方格中，找出对应的最小项的位置，并填入1，在其余位置上填入0，就得到了该逻辑函数的卡诺图。 任何一个逻辑函数等于它的卡诺图中填入1的最小项之和,用卡诺图表示逻辑函数,例：,用卡诺图表示逻辑函数,1.5.2 用卡诺图化简函数,依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。,合并最小项的原则： 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子,两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子,1、画出逻辑函数的卡诺图 2、找出可以合并的最小项 3、选取可以合并的乘积项。选取的原则是： 画矩形圈时应包含所有的最小项，即应覆盖卡诺图中所有的1 ； 方格中的1可以被一个以上的圈所包围 ； 圈的个数尽可能的少。这是因为每一个圈对应于一个乘积项，圈的个数越少，乘积项的个数就越少 ； 圈围成的面积尽可能的大，但必须为 个方格。这是因为圈越大，合并时消去的变量个数越多，乘积项的因子也越少 ；,用卡诺图化简的步骤：,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,化 简 结 果 不 唯 一,用卡诺图化简下式为最简与或函数式 首先画出函数的卡诺图 ，如图：,其次，找出可以合并的最小项。将可以合并的最小项用圈画出，如图（a）（b）所示，其中图（a）为不正确的圈法，因为圈的个数为四个，不是最少的；而图（b）是正确的圈法，只有三个圈，即合并后有三个乘积项。合并最小项得到,例： 画出Y的卡诺图：,约束项 任意项 逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。,在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项,在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项,具有约束项的逻辑函数化简,无关项在逻辑函数化简中的应用,合理地利用无关项，可得更简单的化简结果 加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少. 从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少,例：用卡诺图化简带约束条件的逻辑函数 约束条件： 解 画出逻辑函数的卡诺图 ：,
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