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22.2等差数列的性质,学习目标,1.进一步巩固等差数列的概念和通项公式 2掌握等差数列的性质,课堂互动讲练,知能优化训练,2. 2.2等差数列的性质,课前自主学案,课前自主学案,1数列an为等差数列_ 2等差数列的通项公式an_ 3A是a、b的等差中项_,an1and(常数)(nN*),a1(n1)d，nN*.,1等差数列的项与序号的关系,(nm)d,aman,思考感悟,在等差数列an中，若amanapaq，则mnpq(m、n、p、qN*)成立吗？ 提示：不一定，若an3，则a1a2a3a4，但1234.,2等差数列的性质 (1)若an是公差为d的等差数列，则： can(c为任一常数)是公差为_的等差数列； can(c为任一常数)是公差为_的等差数列 (2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列panqbn(p、q是常数)是公差为_的等差数列,d,cd,pd1qd2,课堂互动讲练,等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到，而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下： (1)等差数列an中，若公差d0，则数列为递增数列；若d0，则数列为递减数列；若d0，则数列为常数列 (2)等差数列an中，若mnpq，则amanapaq.特例：若mn2p，则aman2ap.,(1)(2010年高考大纲全国卷)如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7() A14B21 C28 D35 (2)已知等差数列an，若a1126，a5154，则a14_.,【思路点拨】利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题(1)利用2a4a3a5，(2)利用anam(nm)d.,【答案】(1)C(2)20,变式训练1(1)数列an中，a3、a10是方程x23x50的两根，若an是等差数列，则a5a8_； (2)在等差数列an中，已知a1a4a8a12a152，则a3a13_. 解析：(1)由根与系数的关系知a3a103， 故a5a8a3a103. (2)由a1a15a4a12， 得a82，a3a132a84. 答案：(1)3(2)4,(1)若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.,(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为8，求这四个数 【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解 【解】(1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为ad，a，ad， 依题意，3a6，且a(ad)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24，,化简得d216，于是d4， 故这三个数依次为2,2,6或6,2，2. (2)设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四个数成递增等差数列， d0，d1， 故所求的四个数依次为2,0,2,4.,某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？,【解】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，. 设从第1年起，第n年的利润为an，则anan120，n2，nN*.所以每年的利润可构成一个等差数列an，且首项a1200，公差d20.,所以ana1(n1)d22020n. 若an11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损 【名师点评】“亏损”“利润小于零”由于公差d0，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，an的值越来越小，an0时(此处暗含an10成立)公司将出现亏损,变式训练2夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m，平均降低0.7 ，已知山顶处的温度是14.8 ，山脚处的温度为26 ，问此山相对于山脚的高度是多少？ 解：每升高100 m温度降低0.7 ， 该处温度的变化是一个等差数列问题 山脚温度为首项a126，山顶温度为末项an14.8， 26(n1)(0.7)14.8，解得n17， 此山的高度为(171)1001600(m),(4)若an是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1ana2an1ai1ani. (5)数列anb(、b是常数)是公差为d的等差数列,
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