空间点线面的位置关系.ppt

空间点、线、面之间的位置关系,考试要求,1. 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.异面直线所成角的论证和计算是重点. 3. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,一.平面的基本性质,公理1.若直线有两个点在平面内,则直线上所有点都在平面内.,公理2.经过不在一直线上的三点,有且只有一个平面.,推论1.经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面,推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面,推论3.经过两条平行线有且只有一个平面,作用:判断直线在平面内的依据.,作用:判断点、线共面（即确定平面）的理论依据.,(一)知识要点,公理3.若两个不重合的平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线.,作用:判断点共线、线共点，作截面的依据.,公理4.平行于同一条直线的两条直线平行.,等角定理： 空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,【例1】 判断下列命题的真假： 如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； 过一条直线的平面有无数多个； 两个平面的交线可能是一条线段； 两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点； 经过空间任意三点有且仅有一个平面； 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面 其中真命题序号是_(把你认为正确的命题序号都填上),题型1.点、线、面的位置关系,(二)主要题型,【练习】 已知E，F，G，H是空间中的四个点，设命题M：点E，F，G，H不共面；命题N：直线EF和GH不相交那么() AM是N的充分不必要条件 BM是N的必要不充分条件 CM是N的充分必要条件 DM不是N的充分条件，也不是N的必要条件,A,题型2.点线共面问题,B,2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面必定有（ ）. A.4个 B.4个或1个 C.3个或1个 D. 1个或3个或4个,B,3.求证:两两相交且不共点的三条直线共面.,A,B,C,方法:先用部分点线确定一个平面,再证明余下的点线在此平面内.,方法:(同一法) 分别用部分点线确定两个或多个平面,再证明这些平面重合.,证明若干点或直线共面,A,B,C,D,E,F,P,小结:(1)证明多点共面,转化证线线共面. (2)证明多线共点,先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过这点.,题型3. 线共点问题,练习:,A,C,P,题型4.点共线问题,方法:1.证明这些点是两个相交平面的公共点. 2.先由两点确定一直线，再证其它的点在这直线上。,2.如图，O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线,题型5作截面,例.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M为AA1的中点, N是CC1上的点, 且CN=1，P是BC上一点，且CP=2.请作出平面MNP截此三棱柱所得的截面.,截面MNPQ为所求.,即作出截面与几何体每个面的交线(两个公共点).,二.空间点、线、面之间的位置关系,相交直线: 在同一平面内只有一个公共点的两条直线.,异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线,3、空间两条直线的位置关系,平行直线：在同一平面内没有公共点的两条直线.,直线与平面平行,无公共点,直线和平面相交,有且只有一个公共点,直线在平面内,有无数个公共点,直线在平面外,4、空间直线与平面的位置关系,2、空间点与平面的位置关系,1、空间点与直线的位置关系,点在直线上 点在直线外,点在平面内 点在平面外,5、空间两个平面 的位置关系,平行,无公共点,相交,不重合且有公共直线,1、异面直线所成的角及距离,(2)异面直线所成的角,(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线.,设a、b是异面直线，经过空间任一点O，分别引直线 ，则直线 所成的锐角(或直角)叫 异面直线a、b所成的角.,范围是,(3)公垂线指和两条异面直线都垂直相交的直线,(4)两异面直线的距离：两异面直线间的公垂线段的长度,三.相关的几个概念,2.直线和平面所成的角及距离 直线和平面所成的角分三种情况: 一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);,直线和平面垂直,直线和平面所成的角是,直线和平面平行或直线在平面内,直线和平面 所成的角为 .,二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 二面角的大小是通过其平面角来度量,其平面角须有以下三个特点: 顶点在棱上; 两边分别在两平面内; 两边与棱都垂直. 二面角的范围是 .,3.二面角及两平面的距离,主要题型,题型1.点、线、面位置关系的命题判断,1.判断以下命题的真假 (1)平行于同一条直线的两条直线平行; (2)平行于同一条直线的两个平面平行; (3)平行于同一个平面的两条直线平行; (4)平行于同一个平面的两个平面平行; (5)垂直于同一条直线的两条直线平行; (6)垂直于同一条直线的两个平面平行; (7)垂直于同一个平面的两条直线平行; (8)垂直于同一个平面的两个平面平行;,2.下列几个平面几何命题是否成立？这几个命题在空间是否也成立？如果在空间成立，试加以说明；如果不成立，请举反例. 不相交的两条直线一定平行； 平行于同一直线的两直线一定平行； 垂直于同一直线的两直线一定平行； 一条直线垂直于两条平行线中的一条，也必垂直于另一条.,注解答本题要注意平面与空间的区别.,3.（09广东,理）给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 和 B. 和 C. 和 D 和,D,判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.,例2.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( ). A.18对 B.24对 C.30对 D.36对,D,例1.已知异面直线m、n,若A，Bm，C、Dn，则直线AC、BD的位置关系是_.,异面直线,题型2.异面直线的判定,练习如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。,（1）求证：A1D1与B1B是异面直线； （2）求AE与BF所成的角。,G,例1. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，若CD=4, AB=2, EFAB，则EF与CD所成的角等于_,30,-平移转换法,题型3.求异面直线所成角问题,M,练习 在棱长都是a的四面体A-BCD中，E、F分别为AD、BC的中点， (1)求异面直线AF和CE所成的角的余弦值.,G,(2)求证：EF为AD、BC 的 公垂线.,O,F,D,练习下图是一个几何体的三视图（单位：cm） （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （2）求这个几何体的表面积及体积； （3）设异面直线AA与BC所成的角为，求cos.,练习如图，已知几何体的三视图（单位：cm). （）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （）求这个几何体的表面积及体积； （）设异面直线A1Q、PD所成角为，求cos.,E,