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4-1 平面的表示法,一、几何元素表示法,二、迹线表示法,一.平面的表示方法,1.几何元素表示法,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,不共线的三点,一.平面的表示方法,2.迹线表示法,迹线：平面与投影面的交线。,P,PV,PH,PW,PX,PY,PZ,规定：V、H、W 各面迹线分别用PV、PH、PW 表示。,PV,PZ,PX,PH,PYH,PYW,PW,O,本节结束,4-2 各种位置平面的投影,一、投影面垂直面,二、投影面平行面,三、一般位置平面的投影特性,一、投影面垂直面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。,投影面垂直面分为三种：,铅垂面 (于H 面，于V 面和W 面),正垂面 (于V 面，于H 面和W 面),侧垂面 (于W 面，于H 面和V 面),一、投影面垂直面,1.铅垂面,投影特点：,H 投影积聚为-倾斜线； 反映和 V 投影和 W 投影为类似形。,空间分析：,O,c,b”,O,一、投影面垂直面,1.铅垂面,V,X,Z,Y,PV,PH,PW,PH,PW,PV,迹线表示?,P,O,O,一、投影面垂直面,2.正垂面,O,V 投影积聚为-倾斜线； 反映和； H 投影和W 投影为类似形。,投影特点：,空间分析：,O,V,X,Z,Y,一、投影面垂直面,2.正垂面,RH,RW,RV,RV,RH,RW,迹线表示,R,O,O,一、投影面垂直面,3.侧垂面,W 投影积聚为-倾斜线； 反映和 ； H 投影和 V 投影为类似形。,投影特点：,空间分析：,O,一、投影面垂直面,3.侧垂面,QW,QV,QV,QH,QW,迹线表示,O,QH,Q,一、投影面垂直面,例1 包含A（a，a）作=30 的正垂面。,两相交直线决定平面,迹线表示平面,b,c,b,c,RV,RH,d,d,一、投影面垂直面,例2 包含AB（ab，ab ）作铅垂面。,a,b,a,b,X,O,c,c,一、投影面垂直面,例3 完成侧垂面的水平投影。,1,6,5,2,4,3,侧垂面,注意： V、H 投影的“类似性”。,投影分析：,X,O,Z,YH,YW,6,二、投影面平行面,平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。,投影面平行面分为三种：,水平面 (于H 面，于V 、W 面),正平面 (于V 面，于H 、W 面),侧平面 (于W 面，于H 、V 面),二、投影面平行面,1.水平面,C,投影特点：,H 投影反映实形； V 投影和 W 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OZ 轴。,O,二、投影面平行面,1.水平面,QW,QV,QV,QW,迹线表示,C,O,二、投影面平行面,2.正平面,投影特点：,V 投影反映实形； H 投影和 W 投影积聚为直线； 积聚投影都垂直于OY 轴。,O,二、投影面平行面,2.正平面,PH,PH,迹线表示,O,二、投影面平行面,3.侧平面,投影特点：,W 投影反映实形； H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。,O,二、投影面平行面,3.侧平面,RH,RV,RV,RH,迹线表示,O,二、投影面平行面,例1 包含点A（a，a）作正平面。,正平面的水平投影为一条OX 轴的直线。,b,c,b,c,二、投影面平行面,例2 含水平线BC（bc，bc）作平面P 平行于H 面。,b,b,x,o,c,c,PV,三、一般位置平面,倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。,三个投影均是类似形。,投影特点：,b,B,A,C,o,o,三、一般位置平面,用迹线表示的一般位置平面,PV,PZ,PX,PH,PYH,PYW,PW,三、一般位置平面,例 包含A（a，a）作一般位置平面。,任作两相交直线决定一平面.,b,c,b,c,无数解!,本节结束,4-3 平面内的直线和点,一、直线在平面内的几何条件,二、平面内的一般位置直线,三、平面内的投影面平行线,四、平面内对投影面的最大斜度线,五、平面内的点,一、直线在平面内的几何条件,通过一平面上的两个点；,通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。,M,N,二、平面内的一般位置直线,例1 在平面ABC 内作一任意直线。,1,2,2,a,b,c,X,O,a,b,c,1,无数解!,二、平面内的一般位置直线,例2 判断直线 是否在ABC 平面内。,1,2,2,a,b,c,X,O,b,a,c,1,否,3,4,4,3,三、平面内的投影面平行线,1.定义: 平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内的投影面平行线。,在一般位置平面内可取三类投影面平行线:,水平线； 正平线； 侧平线。,三、平面内的投影面平行线,从属性(属于平面); 投影面平行线的投影特性。,D,E,e,d,e,d,取平面内的水平线DE,2.投影特性:,deOX 轴,B,三、平面内的投影面平行线,例 在平面(ABCD )内作直线EF V 面，使距离V面为15 。,e,f,f,e,四、平面内对投影面的最大斜度线,对H 面的最大斜度线,对V 面的最大斜度线,对W面的最大斜度线,1.定义： 平面内对投影面倾角最大的直线，称为对该投影面的最大斜度线。,3.分类：,2.性质：,平面内对某一投影面的最大斜度线垂直于该平面内对相同投影面平行的直线。,垂直平面内的侧平线。,垂直平面内的水平线。,垂直平面内的正平线。,a,四、平面内对投影面的最大斜度线,A,M,PH,P,1,1,AM 为平面P 上对H面的最大斜度线。,H 面最大斜度线对H面的倾角反映平面对H 投影面的倾角。,4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例),四、平面内对投影面的最大斜度线,对H 面的最大斜度线垂直该平面的水平线。,M,PH,a,A,1,AM PH,CPH,C AM,证明要点：,C为平面内的水平线,4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例),证明完毕,P,四、平面内对投影面的最大斜度线,小结：,对H 面的最大斜度线 垂直平面内的水平线； 反映平面对H 面的倾角； 其H 投影与水平线的H 投影垂直。,对V 面的最大斜度线 垂直平面内的正平线； 反映平面对V 面的倾角； 其V 投影与正平线的V 投影垂直。,对W 面的最大斜度线？,四、平面内对投影面的最大斜度线,例1 取平面ABC 内对H 面的最大斜度线。,投影作图：,1.取水平线C；,2.取最大斜度线A；,最大斜度线的水平投影与水平线的水平投影垂直。,a,c,b,a,c,b,1,1,2,2,c1 a2,作图分析：,A线为所求。,四、平面内对投影面的最大斜度线,例2 求ABC 对V 面的倾角。,y2-ya,2,2,1,1,a2,A,作图步骤：,1.取正平线B；,2.取对V面最大斜度线A；,3.用直角三角形法求 （A与a2 的夹角）。,作图分析：,V 面的最大斜度线对V面的倾 角反映该平面对V面的倾角。,取对V 面的最大斜度线,五、平面内的点,点在平面上的几何条件：,在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线求解。,点在平面内的一条直线上。,五、平面内的点,例1 已知点K 在平面ABCD 内，据k 求k。,作图分析：,在平面内取一条过K 点 的直线，如AI 。使k 在 a 1上，则K 在平面内。,k,1,1,作图：,五、平面内的点,平面的水平投影积聚；,K,k,例2 已知点K 在平面ABC 内，据k 求k 。,使k 落在投影abc上即可。,作图分析：,作图：,五、平面内的点,例3 完成平面四边形ABCD 的水平投影。,作图分析：,平面四边形ABCD 的 对角线必相交。,k,c,X,k,作图：,五、平面内的点,例4 试判断K 点是否在平面内。,分析：,1,1,作图：,KD 与平面内的线不平 行或相交。,点K 不在平面内,K 与平面内任一点连线,若K 在平面内则该连线应与平面内的线平行或相交。,五、平面内的点,例5 完成平面多边形的水平投影，并求侧面投影。,作图：,投影分析：,带切口的三角形 一般位置平面 有关线段平行,b,4,1,3,1,4,2,a”,c”,b”,4”,1”,3”,2”,本节结束,4-4 平面图形的实形,一、将一般位置面变为投影面垂直面,二、将一般位置面变为投影面平行面,概述,概述,水平面,若平面平行于投影面则其投影反映实形，如水平面。,概述,X1,若平面不平行于投影面，可通过换面法使平面平行新的投影面，进而求得平面图形的实形，如下图铅垂面。,铅垂面,概述,若将一般位置平面变为投影面平行面，需要二次换面。,涉及换面法的两个基本问题:,1.将一般位置平面变为投影面垂直面。,2.将一般位置平面变为投影面平行面。,1.首先将一般位置平面变为投影面垂直面； 2.然后再将投影面垂直面变为投影面平行面。,一、一般位置平面变为投影面垂直面,分析:,1.在平面上取投影面平行线； 2.使新轴垂直于投影面平行线反映实长的投影。,若一平面垂直另一平面内的一条直线,则两平面相互垂直。,因此，若将一般位置平面变为新投影面的垂直面，只要在该平面内取一条原投影面内的平行线,使新投影面垂直该直线，则平面垂直垂直新投影面。,一次换面即可。,作图关键：,一、一般位置平面变为投影面垂直面,例1 换面法求ABC 平面对V 面的倾角。,a,b,c,a,c,b,作图分析：,X,一平面垂直另一平面内的一直线，则两平面垂直。,X1,D,d,d,一、一般位置平面变为投影面垂直面,例1 换面法求ABC 平面对V 面的倾角。,a,b,c,a,c,b,a1d1,b1,c1,作图要点：,1.在ABC 内取正平线，如AD ；,2.作X1ad ；求新投影。,作图分析：,d,d,X1,X,新投影与X1夹角即。,X1,O,D,二、将一般位置平面变为投影面平行面,例2 求平面ABC 的实形。,作图要点：,1.在ABC 内取投影面平行线， 如正平线，如AD ；,2.作X1ad ；求积聚性投影；,分析：,3.作X2ad ；求得平面实形。,d,d,X1,X2,a1d1,b1,c1,a2,c2,b2,求实形即将平面变换为投影面平行面。 需两次换面。,O,本章结束,
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