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1,2.4 麦克斯韦速率和速度分布规律 一分子速率分布函数 二麦克斯韦速率分布律 2.5 麦克斯韦速率分布实验验证 一麦克斯韦速率分布实验验证 二麦克斯韦速度分布律 2.6 玻尔兹曼分布定律,2,气体分子热运动是杂乱无章的，由于其他分子的不断碰撞，单个分子的运动速度的方向和大小是不可预知，但是大量分子的整体却会出现一些统计规律：,分子数按位置分布平均说来是均匀的。 分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。,在容器内任何一处，不论怎样取体积 V，只要 V 中包含有大量的分子N ，则,3,1. 无论在容器中的什么地方，只要V 大小相同， V 包含的分子数占总分子数的比率就相等； 分子数按空间位置分布是等概率的,分子数按位置分布平均说来是均匀的。 分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。,2. 同理，无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占 总分子数的比率都相等； 分子数按速度方向分布是等概率的,4,理论和实验发现： 当气体处于平衡态时，分子数按速率的分布也遵循 着一个完全稳定的统计规律 麦克斯韦速率分布律,问题： 分子数按速度的大小的分布有什么规律呢？,1859年，理论上,也就是说，在总数为N 的分子中，具有各种速率 的分子各有多少？ 或这些分子在运动过程中，出现在各个速率范围 内的概率是多少？,5,2.5 麦克斯韦速率分布律和速度分布律,一分子速率分布函数,为了说明这个规律， 下面首先介绍分子速率分布函数的概念,分子的速率在原则上可以连续地取值，从0 到； 在各个速率范围中分子数 是不连续的； 3. 如何来研究分子数按速率的分布？ 将速率分成一些小的区间，按这些区间来计算分子数,设气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间的分子数为 dN ，,6,特点： 1. 不同v 附近的速率区间dv 内分子数dN 是不同 的，这一比率是速率v 的函数； 2. 在区间 dv 足够小的情况下，这一比率还应和区间的大小dv 成正比。,设定：气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间 的分子数为dN ：,速率在v 到 v+dv 之间的分子数占总分子数比率为,7,式中,写成等式,分子速率分布函数,物理意义：由等式右边可以看出 分子速率分布函数表示速率在v 附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。,8,分子速率分布函数,讨论,1. 就大量分子而言，表示速率在v 到 v+dv 区间内 分子数占总分子数的比率,2. 对单个分子而言，由于分子的速率在不断的改 变，它的速率有时处在v 到 v+dv 区间内，有时 也可能处在这个区间外，因此 f(v)dv表示单个分子 处于v 到 v+dv 区间内一种预计或者估计， 也就是前面提到的概率,9,1. 它的大小反映单个分子处于v 到 v+dv 区间的 可能性的大小； 2. 任何时刻分子具有什么样的速率无法确定，但 是具有某一速率的可能性大小是可以预计的。,因此 表示单个分子处于v 到 v+dv 区间内 一种预计或者估计，也就是前面提到的概率,f(v)dv对于单个分子的意义,说明：,10,分子速率分布函数,讨论,速率处在v1 到v2 这个有限速率区间中的分子数 可用下列积分计算,表示速率处在v 到 v+dv 区间内的分子数；,速率处在0 到 整个区域中的分子数,3. 函数变式： Nf(v)v=dN,11,意味着： 1. 对大量分子来说，任意分子的速率必然落在0 到 整个区域中的； 2. 对单个分子来说表示按速率分布单个分子处于0 到 整个区域中的概率等于1。,4.分子速率分布函数的归一化,12,二麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的 速率分布函数的具体形式,麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦速率分布函数,在平衡态下，气体分子速率在v 到 v+dv 区间内 的分子数占总分子数的比率为,其中,13,麦克斯韦速率分布函数,T 是 气体的热力学温度，m 是一个分子的质量， k 是玻尔兹曼常数,对于给定气体（ m 一定）， 只与温度有关。,14,麦克斯韦速率分布曲线,以速率v 为横轴，以 为纵轴，画出的图线 就是麦克斯韦速率分布曲线， 它能形象地表示出气体按速率分布的情况,15,则曲线下所围整个面积等于 1,曲线所围面积及物理意义,在曲线下v 附近取一 宽度为dv 的小窄条,小窄条面积就等于,物理意义： 就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率,思考？,图示阴影部分的面积的意义,16,曲线特征,从曲线形状可以看出， 速率很小和速率很大 的 分子数都很少, 或者说分 子取速率很大或很小的概率都很小；,2. 从曲线看，在某一速率vp 处，f(v)函数有一极大值。,或者说分子速率取 的概率最大,物理意义：若把整个速率范围分成许多相等的小区间， 则 所在区间内的分子数占总分子数的比率最大,最概然速率,17,温度对分布曲线影响,不同温度下的分布曲线有何不同呢？,对于给定气体（ m 一定），f(v) 只与温度有关。,下图给出了某种气体在不同温度下的速率分布函数 请分析温度对分子速率分布的影响？,T1,T3,T2,18,温度升高，曲线的峰变低，并且向速率大的 一侧移动；,2. 随温度升高，曲线下的面积高度下降， 宽度变宽，最可几速率的值变宽，而f(v) 减小。,19,1、最概然速率vp,由速率分布函数的极值条件：,与分布函数f（v）的极大值对应的速率,即：,得：,麦克斯韦速率分布律应用 三种特殊速率,20,因考虑到分子速率是从0 连续分布的， 故应用自 0 的积分来求和。于是,大量分子无规则运动速率的算术平均值,21,从而可求得方均根：,同理：,速率的方均值为,大量分子无规则运动速率平方的平均值的平方根,22,三种速率的比较,以上三种统计速率各有不同的意义和作用,计算分子的平动动能；,讨论分子的速率分布；,计算分子平均自由程。,23,1)T一定时,2) m（）一定时,24,要验证分子速率分布规律，需要高真空技术。,直到20世纪20年代，才开始能对气体分子速率进行实验测定：,最早测定分子速率的是1920年斯特恩（Stern） 1934年我国物理学家葛正权曾测定过铋（Bi）蒸汽分子的速率分布实验结果都与麦克斯韦速率分布律大致相符。 1955年 蜜勒（Miler）和库什（P.Kusch）做的比较精确地验证了麦克斯韦速率分布律,下面介绍一个测定分子速率分布的实验,2.5 麦克斯韦速率分布实验验证,一麦克斯韦速率分布实验验证,25,小孔充分小, 改变, 测D上的沉积厚度, 就可测气体速率分布,密勒-库什实验装置及演示,1955年，Miller和Kusch用钾（和铊）蒸汽作的分子射流实验。,26,高真空的容器,显然只有满足下面两个关系的分子，才通过C 盘狭缝射到P上。,当 ，l ， 一定时，只有速率满足上式的分子，才能通过C 盘狭缝射到P上。这时B 和C 起着速率选择器的作用，改变 （或l 及），可使速度大小不同的分子通过。,27,实验结果表明： 实验与理论符合较好。说明蒸汽源内的原子的速率分布是遵守麦克斯韦速率分布律的,实验表明：大量分子的速率分布遵从一定的统计规律 麦克斯韦速率分布律,28,例. 有N个粒子，其速率分布函数为,求: 1）速率分布曲线 2）由v 0 求常数C 3）粒子的平均速率,解:1）速率分布曲线（如 图所示）,2）常数 C 由归一化条件求得,3）平均速率：,所以，有,29,二麦克斯韦速度分布律,只要用速度分量代替速率，并将其推广到三维情形， 就可以得到麦克斯韦速度分布律。,它表示分子速度分量处在,之间的概率,30,麦克斯韦速度分布函数,31,是气体分子具有速度分量 vi 的概率。,32,平均速度,是气体分子具有速度分量 vi 的概率。,33,说明： 上面介绍了分子按速率和速度分布的情况，并假设分子在空间位置的分布是均匀的，即认为在容器中的任一处都有相同的分子数密度。,但这仅适用于气体不处在外力场中的情形，如果气体受到外力场的作用情形就会不同,例如： 处在地面附近的空气，气体分子在重力作用下要落向地面，即倾向于落向势能最低处，但由于分子存在热运动，又使它们向上扩散开来，这两倾向达到平衡时，就出现了空气分子沿竖直方向作上疏下密的分布。,34,麦克斯韦速度分布函数只与分子运动有关， 那么分子按空间位置的分布也必然与 分子在外力场中的势能有关。 玻尔兹曼将麦克斯韦速度分布律作了推广。,2.6 玻尔兹曼分布定律(自学),35,玻尔兹曼提出： 气体在平衡态下，分子速度处在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ，和 位置处在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz 中的分子数目为：,式中,分别表示分子动能和 分子在外场中的势能。,玻尔兹曼分布定律,36,玻尔兹曼分布定律,将上式对位置积分就是麦克斯韦速度分布；,将上式对速度积分就得到气体分子数按位置的分布。,37,分子数密度,上式表明： 对于相同的体积元 dxdydz 来说， 势能大的区域分子数少，势能小的区域分子数多。 或者说分子处在高势能状态的概率小， 处在低势能状态的概率大， 而显然n0 是 Ep=0 处的分子数密度。,38,以重力场中的空气为例， 选取竖直方向为 z 轴方，重力势能表示为,上式给出了空气分子在重力场中按高度的分布规律， 看到随着高度增加，n 减小，空气越稀薄， 这一结论已为实验所证实,39,如果假设空气为理想气体， 并略去空气温度随高度的变化，,将理想气体状态方程代入,空气压强随高度的分布,是 （ 地表面附近）处的压强,
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