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第五章 梁弯曲时的位移,位移的度量,1 梁的位移-挠度及转角,挠度,转角,挠曲线 梁变形后各截面形心的连线,挠度向下为正，向上为负.,转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。,2 梁的挠曲线近似微分方程及积分,梁挠曲线近似微分方程,在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。,通过积分求弯曲位移的特征：,1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。,2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。,3、积分常数由位移边界条件确定。,积分常数C1、C2由边界条件确定,求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。,边界条件,求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。,边界条件,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。,AC段,CB段,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。,最大转角,力靠近哪个支座，哪边的转角最大。,最大挠度,令x=a,转角为零的点在AC段,一般认为梁的最大挠度就发生在跨中,画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。,两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,全梁仅一个挠曲线方程,共有两个积分常数,边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,叠加法计算位移的条件：,1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；,2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；,3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。,试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度c和梁端截面的转角AB.,AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.,计算C点挠度,将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半,查表,试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。,变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度c.,多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度E.,图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.,C处挠度等于弹簧变形。,根据对称关系,平衡关系,叠加法求挠度,悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?,AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。,5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施,1,梁的刚度校核,悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力=160MPa，梁的许可挠度/L=1/500。试选择工字钢的型号。,1.按强度选择,查表：选16号工字钢,2.按刚度选择,查表：选22a号工字钢,2,提高刚度的途径,提高刚度主要是指减小梁的弹性位移,弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关,对于梁,其长度对弹性位移影响较大.,因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.,6 梁内的弯曲应变能,横力弯曲,轴力FN,扭矩T,内力分量,弯矩M,剪力FS,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,应力分布规律,正应力与中性轴距离成正比,切应力沿截面高度呈抛物线,应力状态,单轴应力状态,纯剪切应力状态,单轴应力状态,纯剪切应力状态,强度条件,变形公式,轴向线应变,单位长度扭转角,挠曲线曲率,截面位移,轴向线位移,扭转角,挠度与转角,刚度条件,变形刚度条件,变形刚度条件,位移刚度条件,应变能,本章作业,51，,53，,54，,59，,513，,514，,520，,