正交基与标准正交基.ppt

7.2 正交基与标准正交基,授课题目 正交基与标准正交基 授课时数 3学时 教学目的 掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用 教学重点 标准正交基的求法，标准正交基的作用 教学难点 施密特正交化方法的理论证明 .,定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组.,1正交组的定义,例1 向量,一、正交组的定义、性质,函数组,(1) 1，cosx, sinx, ,cosnx ,sinnx,事实上，我们有,把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C0，2的一个标准正交组,2正交组的性质,1标准正交基的定义,二、标准正交基的定义、性质及存在性,（3）,其次，令,（3）,（4）,3标准正交基的性质,取,因而,4标准正交基的存在性,又由,取,得,所以,定理得证.,定理7.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基.,第二步，先取,然后令,第三步，取,再令,三、n 维欧氏空间同构的概念及判别,1n维欧氏空间同构的定义,2n维欧氏空间同构的概念及判别,定理7.2.4 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等.,证,令,的标准正交基为：,证,线性无关,思考题,求,的解空间W 的一个标准正交基.,