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3.3 幂函数,知识整合,1一般地，形如_(R)的函数称为幂函数，其中_是自变量，_是常数 特别警示：幂函数必须是形如yx(R)的函数，幂函数的系数为1，底数为单一的自变量x，指数为常数例如：y3x4，yx21，y(x2)2等都不是幂函数,2幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在_上都有定义，并且图象都通过点_； (2)如果0，则幂函数的图象通过_，并且在区间0，)上是_； (3)如果0，则幂函数在区间(0，)上是_在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近_轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近_轴 (4)如果幂函数图象过第三象限，则一定过点_,答案：1.yxx 2(0，)(1,1)原点增函数减函数 y轴x轴(1，1),名师解答,(3)在(0，)都有定义，并且图象都过点(1,1) 当n0时，图象都通过原点，并且在(0，)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n0时，图象是除去点(0,1)的直线y1；当n0时，图象都不过原点，并且在(0，)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数 在直线x1的右侧，指数n越大图象越在上边,深入学习,题型一 各种函数概念的区别 【例1】已知函数 ，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数 分析：利用函数的定义解题,变式训练 1(1)如果幂函数y(m23m3) 的图象不过原点，则m的取值是 () A1m2Bm1或m2 Cm1或m2 Dm1 (2)幂函数f(x)(m2m1) 在区间(0，)上是增函数，那么实数m的取值集合为_ 答案：(1)B(2)1 分析：(1)利用幂函数的定义求解 (2)根据幂函数的定义判断,题型二 幂函数的定义域和值域 【例2】求下列函数的定义域和值域 分析：把分数指数幂化为根式，并使根式有意义 解：(1)yx6的定义域是R，值域是0，)；,评析：幂函数的定义域由解析式是否有意义来确定，实质上与指数有关，而定义域确定值域,变式训练 2函数f(x)(mN)的定义域是_，奇偶性为_，单调区间为_ 解：m2mm(m1)(mN)是非负偶数， m2m1m(m1)1是正奇数 定义域为R. f(x)为奇函数 又由，知f(x)是正的奇次根式 答案：R，奇，(，),题型三 利用幂函数的性质比较大小 【例3】比较下列各组数的大小：,评析：比较大小的类型题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数,变式训练 3用不等号填空： (1)5a4a， yxa为增函数，a0； (2)由0.39b0.38， yxb为减函数，b(2),分析：(1)利用幂函数的性质求解；(2)先求(x)的解析式，再求a、b，确定(x)的奇偶性,解：(1)f(x)在(0，)上是减函数， m22m30， 1m3. 又mZ，m0,1,2. 而m0,2时，f(x)x3不是偶函数； m1时，适合 m1，f(x)x4.,评析：由幂函数的性质，确定幂指数的取值范围以达到求解的目的,整体探究解读,题型一 利用幂函数的性质求参数的取值范围 【例1】求下列各式中参数的取值范围： 分析：同指数两个幂的大小已知，就可利用单调性知底数的大小关系,评析：此类问题仍然是函数单调性的应用，同时也体现分类讨论的数学思想,分析：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可,评析：(1)函数图象在解方程和不等式时，有着重要的应用，请同学们仔细体会 (2)注意本题中，g(x)的定义域为x|xR且x0，所以3问中不包括0.,分析：先化简函数解析式，再利用幂函数图象平移的有关知识解题,由于yx2在(，0)上是增函数；在(0，)上是减函数，故f(x)的图象关于直线x2对称且在(，2)上递增，在(2，)上递减,题型四 幂函数在实际生活、生产中的应用 【例4】某工厂的年产值从1949年的100万元增加到40年后的(1989年)的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？(自然对数lnx是以e2.718为底的对数，本题中增长率x0.1，可用自然对数的近似公式ln(1x)x，取ln102.3，lg20.3来计算) 分析：本题可用公式来求解,答：每年的年产值增长率约为4%.,评析：1.本题联合考查幂函数、指数函数、对数函数，要注意综合能力的培养 2若用a表示原有数量，x表示增长(降低)率，n表示时间，A表示经过时间n后的总量，则有Aa(1x)n.这是应用较为广泛的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等变化率方面都涉及此式，根据方程思想，已知其中三个量，可求第四个量,题型五 幂函数的综合应用 【例5】已知二次函数yf1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数yf2(x)的图象与直线yx的两个交点间距离为8，f(x)f1(x)f2(x) (1)求函数f(x)的表达式； (2)证明：当a3时，关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解,评析：根据题意画出函数大致图象可迅速找到解题思路,
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