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5.3 导数在研究函数中的应用 一、选择题（共15小题）1. 已知函数 fx 在 x=x0 处连续，下列命题中正确的是 A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在 x=x0 附近的左侧 fx0，右侧 fx0，右侧 fx0，那么 fx0 是极小值D. 如果在 x=x0 附近的左侧 fx0，那么 fx0 是极大值 2. 函数 y=lnxx 的最大值为 A. e1B. eC. e2D. 103 3. 函数 fx=x2lnx 的减区间为 A. 0,eB. ee,+C. ,eeD. 0,ee 4. 设函数 fx=2x+lnx，则 A. x=12 为 fx 的极大值点B. x=12 为 fx 的极小值点C. x=2 为 fx 的极大值点D. x=2 为 fx 的极小值点 5. 函数 fx=3x4x3，x0,1 的最大值是 A. 12B. 1C. 0D. 1 6. 已知函数 fx=2xx2ex，则 A. f2 是 fx 的极大值也是最大值B. f2 是 fx 的极大值但不是最大值C. f2 是 fx 的极小值也是最小值D. fx 没有最大值也没有最小值 7. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值与极小值，则实数 a 的取值范围为 A. 1,2B. 3,6C. ,12,+D. ,36,+ 8. 已知函数 fx=x3+ax2x1 在 ,+ 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 A. ,33,+B. 3,3C. ,33,+D. 3,3 9. 若函数 fx 在 0,+ 上可导，且满足 fxxfx，则一定有 A. 函数 Fx=fxx 在 0,+ 上为增函数B. 函数 Fx=fxx 在 0,+ 上为减函数C. 函数 Gx=xfx 在 0,+ 上为增函数D. 函数 Gx=xfx 在 0,+ 上为减函数 10. 已知 fx=lnx+axa0，则 A. 当 a0 时，fx 存在极小值 faB. 当 a0 时，fx 存在极小值 faD. 当 a0 时，fx 存在极大值 fa 11. 函数 fx=3x4x3x0,1 的最大值是 A. 1B. 12C. 0D. 1 12. 若函数 fx=kxlnx 在区间 1,+ 上单调递增，则 k 的取值范围是 A. ,2B. ,1C. 2,+D. 1,+ 13. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 A. 1,2B. ,36,+C. 3,6D. ,12,+ 14. 若关于 x 的不等式 e2xalnx12a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A. 0,2eB. ,2eC. 0,2e2D. ,2e2 15. 已知 a0 且 a1，若当 x1 时，不等式 axax 恒成立，则 a 的最小值是 A. eB. 1eeC. 2D. ln2 二、填空题（共7小题）16. 函数 fx=2x33x2+10 的单调减区间为 17. 已知函数 fx=x3+ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 18. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品每件的零售价为 p 元，销量 Q（单位：件）与每件的零售价 p（单位：元）有如下关系：Q=8300170pp2，则该商品每件的零售价定为 元时，总利润最大 19. 已知函数 fx=x3+2x，若 f1+flog1a30（a0 且 a1），则实数 a 的取值范围是 20. 若函数 fx=x3+bx2+cx+2 在 x=1 时有极值 6，则 b= ；c= 21. 函数 fx=3xx3 在 2,2 上的最大值是 22. 若定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+fx2ex+1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 三、解答题（共6小题）23. 已知函数 fx=x33x（1）求函数 fx 的单调区间；（2）求函数 fx 在区间 1,3 上的最大值和最小值 24. 求函数 y=13x34x+4 的极值 25. 已知函数 fx=lnxsinx+axa0（1）若 a=1，求证：当 x1,2 时，fxasinx1+1xe1x 在区间 1,+ 内恒成立（e=2.71828 为自然对数的底数）答案1. B【解析】根据极值的概念，在 x=x0 附近的左侧 fx0，函数单调递增；在 x=x0 附近的右侧 fxe 时，y0 ，当 0x0 ，所以当 x=e 时，函数有极大值，极大值为 1e ，因为函数在定义域内只有个极值，所以 ymax=1e .3. D4. D【解析】函数 fx 的定义域为 0,+，fx2x2+1x=x2x2，当 x=2 时，fx=0；当 x2 时，fx0，函数 fx 为增函数；当 0x2 时，fx0，函数 fx 为减函数，所以 x=2 为函数 fx 的极小值点5. D6. A【解析】由题意得 fx=22xex+2xx2ex=2x2ex，当 2x0，函数 fx 单调递增；当 x2 时，fx0，f2=221e2xfx，构造函数 y=fxx，其导数为 y=xfxfxx20 时，令 fx0，解得 xa，令 fx0，解得 0xa，故 fx 在 0,a 上递减，在 a,+ 上递增，故 fx 的极小值为 fa，无极大值；当 a0，fx 在 0,+ 上递增，无极值11. A【解析】fx=312x2，令 fx=0，则 x=12（舍去）或 x=12， f0=0，f1=1， f12=3212=1， 所以 fx 在 0,1 上的最大值为 112. D【解析】fx=k1x=kx1x，且 x0，由题意可知当 x1 时，fx0，即得 kx10，解得 x1k（k0，即 a23a180所以 a6 或 a314. C【解析】当 a0 时，fx=e2xalnx 的导数为 fx=2e2xax，由于 y=2e2xax 在 0,+ 递增，设 fx=0 的根为 m，即有 a=2me2m，当 0xm 时，fxm 时，fx0，fx 递增，可得 x=m 处 fx 取得极小值，且为最小值 e2malnm，由题意可得 e2malnm12a，即 a2malnm12a，化为 m+2mlnm1，设 gm=m+2mlnm，gm=1+21+lnm，当 m=1 时，g1=1，m1 时，gm0，gm 递增，可得 m+2mlnm1 的解为 00 且 a1，当 x1 时，不等式 axax 恒成立，所以 ax1x，两边取自然对数，得：x1lnalnx，令 px=lnxx1lna，则 x1 时，px0，因为 px=1xlna，当 lna0，px 递增，当 x1 时，pxp1=0，与 px0 矛盾；当 lna0，即 a1,+ 时，令 px=0，得 x=1lna， x0,1lna，px0，px 递增； x1lna,+，px1，即 a1,e，当 x1,1lna 时，px 递增，pxp1=0，矛盾；若 1lna1，即 ae,+，当 x1,+ 时，pxp1=0，成立综上，a 的取值范围是 e,+故 a 的最小值是 e16. 0,1【解析】令 fx=6x26x0，解得 0x1，所以 fx 的单调递减区间为 0,117. ,0【解析】fx=3x2+a，由题意可知 fx=0 有两个不等的根，所以 a0，所以 fx 在 R 上单调递增，因此由 f1+flog1a30，得 f1flog1a3=floga3=floga3，即 1loga3当 a1 时，a3；当 0aloga3 恒成立故实数 a 的取值范围为 0,13,+20. 6，921. 2【解析】容易判断此函数为 2,2 上的偶函数，故只需考虑函数 fx=3xx3 在 0,2 上的最大值即可因为 fx=3xx3,0x3,x33x,3x2, 所以 fx=33x2,0x3,3x23,3x2. 令 fx=0，解得 x=0因为 fx=0，f1=2，f3=0，f2=2，所以 fx=3xx3 在 0,2 上的最大值是 2，此时 x=1，或 x=2故 fx=3xx3 在 2,2 上的最大值是 222. ,0【解析】设 gx=exfxex，xR，则 gx=exfx+exfxex=exfx+fx1，因为 fx+fx1，所以 fx+fx10，所以 gxex+2，所以 gx2，又因为 g0=e0f0e0=31=2，所以 gxg0，所以 x023. （1） 因为 fx=x23x，所以 fx=3x23令 fx=0，解得 x1=1，x2=1随着 x 的变化，fx，fx 变化情况如下表：x,111,111,+fx+00+fx极大值极小值所以，函数 fx 的单调递增区间为 ,1 和 1,+，单调递减区间为 1,1（2） 因为函数 fx 在区间 1,1 上单调递减，在区间 1,3 上单调递增，又 f1=2，f1=2，f3=18，所以，函数 fx 在区间 1,3 上的最大值为 18，最小值为 224. 因为 y=x24，令 y=0 得 x1=2，x2=2当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表： x,222,222,+y+00+y28343 所以当 x=2 时，函数有极大值，极大值为 283，当 x=2 时，函数有极小值，极小值为 4325. （1） 当 a=1 时，fx=lnxsinx+x令 gx=fx2x1=lnxsinxx+1，x1,2，则 gx=1xcosx1=1xxcosx0，所以 gx 在 1,2 上单调递减，故 gxg1=sin10，所以 fx0 与函数 y=cosx，x0,2 的图象只有一个交点，所以 12+acos2=1，即 a112，所以 a 的取值范围为 0,11226. fx=3x22ax令 fx=0，解得 x1=0，x2=2a3当 2a30，即 a0 时，fx 在 0,2 上单调递增，从而 fxmax=f2=84a当 2a32，即 a3 时，fx 在 0,2 上单调递减，从而 fxmax=f0=0当 02a32，即 0a3 时，fx 在 0,2a3 上单调递减，在 2a3,2 上单调递增，从而 fxmax=84a0a2,02a2.27. 由题意得 fx=3ax2+2bx+c因为 fx 在 x=1 和 x=1 处有极值，且 f1=1，所以 f1=0,f1=0,f1=1, 所以 3a2b+c=0,3a+2b+c=0,a+b+c=1, 所以 a=12,b=0,c=32, 所以 fx=12x332x，所以 fx=32x232=32x+1x1，所以在 ,1，1,+ 上，fx0，函数为增函数；在 1,1 上，fx0，函数为减函数，所以当 x=1 时，fx 有极大值，为 f1=1；当 x=1 时，fx 有极小值，为 f1=128. （1） 因为 fx=ax21lnx，x0,+，所以 fx=2ax1x=2ax21x，当 a0 时，fx0 时，令 fx=0，则 x=2a2a，令 fx0，则 x2a2a，令 fx0，则 0xasinx1+1xe1x 在区间 1,+ 内恒成立，则 ax21lnxasinx11x+e1x0 在区间 1,+ 内恒成立，令 gx=ax21lnxasinx11x+e1x，则只需 gx0 在 x1,+ 内恒成立即可，因为 g1=a121ln1asin1111+e11=0，所以 g10 必须恒成立 gx=2ax1xacosx1+1x2e1x，g1=2a11acos11+112e110，所以 a1令 Fx=gx=2ax1xacosx1+1x2e1x，当 a1 时， Fx=2a+1x2+asinx12x3+e1x2+1x2+sinx12x3+e1x=1+sinx1+x3+x2x3+e1x, 因为 x1,+，所以 x3+x20，1+sinx10，e1x0，所以 Fx 在 x1,+，a1 时恒大于 0所以 Fx 在 x1,+ 上单调递增，所以 FxF1=a10，故 gx 在 x1,+ 上单调递增，gxg1=0，所以 gx 在 x1,+ 上恒大于 0，所以 a1故实数 a 的取值范围是 1,+第9页（共9 页）
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