五年级奥数 加法原理

加法原理【例1】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：432=9（种）不同走法。以上利用的数学思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+mn种不同的方法。乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。【例2】有红、黄、蓝小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，做出不同的信号，一共可以做出多少种不同的信号？分析：因为选一面符合要求，选2面或3面都符合要求，这三类之间是单独成立的，事独成则加；而选两面时，第一步确定第一面，第二步确定第2面，要分步才能完成选两面这件事，事分步则乘。这道题是加法原理与乘法原理的综合运用。解：如一次升一面，则有3种信号；如一次升两面，则有32=6种信号；如一次升三面，则有321=6种信号；一共有：3+6+6=15种。【例3】两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有33=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9918（种）。【举一反三】从19、20、21、22、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法共有多少种？【例4】从2、3、4、5、6、10、11、12这8个数中，取出两个数组成一个最简真分数有多少种取法？【举一反三】有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司洽谈一次，问要安排多少次会谈场次？【例5】1995的数字和是1+9+9+5=24，问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？解：小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数数字和是23。因为十位、个位数字和最多为9+9=18，因此百位数字至少是5，于是可以根据百位数字为5时，为6时，为7时，为8时，为9时这五类情况考虑。百位数字为5时，只有1599一个。百位数字为6时，只有1689、1698两个。百位数字为7时，只有1779、1788、1797三个。百位数字为8时，只有1869、1878、1887、1896四个。百位数字为8时，只有1959、1968、1977、1986、1995五个。总计共：1+2+3+4+5=15个。【举一反三】从1-9这九个数中，每次取2个数，这两个数的和必须大于10，能有多少种取法。【例6】从3名男生与2名女生中选出3名三好学生，其中至少有一名女生，共有多少种选法？分析：因为至少有一名女生，即有只有一名女生和有两名女两类情况，需要用到加法原理。又因为可以分先选女生，再选男生两步进行，所以需用到乘法原理。解：只有一名女生，女生的选法有2种；相应的男生要选出2名，在3名男生中选两名有3种选法。共有23=6种。两名女生都是三好学生，女生的选法只有1种；相应的在3名男生中选出一名三好学生有3种选法。共有：13=3种。 总种数：6+3=9（种）【举一反三】从8个班选12个三好学生，每班至少1名，共有多少种不同的选法。【例7】有3个工厂共订300份南方日报，每个工厂最少订99份，最多订101份，一共有多少种不同的订法？解：三个工厂都订100份，有1种情况；三个工厂分别订99、100、101份，有6种情况，所以三个工厂共有1+6=7种不同的订法。【举一反三】把12支铅笔分给3个人，每人分得偶数支，且最少得2支，共有多少种分法？【例8】一位小朋友横着一排画了6个苹果，其中至少有3个苹果连在一起画的方法有多少种？解：6个苹果连在一起1种，5个苹果连在一起1+5,5+1，共2种。4个苹果连在一起有2+4,4+2,1+1+4,1+4+1,4+1+1共5种，3个苹果连在一起有3+3,3+2+1,3+1+2,2+1+3,2+3+11+3+2,1+2+3,3+1+1+1,1+3+1+1，1+1+3+1，1+1+1+3共11种。合计：19种。我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。下面我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。【例9】在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？ 分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a6），到F点有b种走法（此处b4），根据加法原理，到D点就有（ab）种走法（此处为64=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35条不同路线。【举一反三】左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？ 【例10】小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+23（种）一般地，登上第n级台阶，或者从第（n-1）级台阶跨一级上去，或者从第（n-2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n-1）级和第（n-2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（ab）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。【举一反三】小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？同步测试姓名： 得分：1、由A村去B村有2条路可走，由B村去C村有4条路可走，问从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？CAB2、数字和是4的三位数有多少个？3、16、书桌上有10本不同的音乐书，5本不同的数学书，4本不同的外语书。（1）从中任取1本有多少种取法？（2）从三种书中各取1本有多少种取法？ 4、十把钥匙开十把锁，但不知道那把钥匙开哪把锁，问最多试多少次，就能把锁和钥匙配起来？5、有4本不同的书，一个人去借，共有多少种不同的借法？6、小明全家五口人到郊外春游，由其中一人轮换给其他人拍照，如果单人各照一张，每两人合影一张，每三人合影一张，每四人合照一张。用36张的彩色胶卷拍照最后还剩几张？7、用1、9、9、5四张数字卡片，可以组成多少个不同的四位数？8、小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？9、在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？10、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？ 6 / 6